九年级数学下册 第1章 二次函数1.2 二次函数的图象与性质第5课时 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质教学设计 （新版）湘教版

九年级数学下册第1章二次函数1.2二次函数的图象与性质第5课时二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质教学设计（新版）湘教版授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计意图嘿，亲爱的同学们，今天我们要一起探索二次函数的图象与性质啦！😄作为九年级的数学课代表，我可是精心准备了这一课呢！咱们湘教版教材里，二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质是咱们必须要掌握的核心知识哦！📚在接下来的课堂中，我会用生动有趣的方式，让大家轻松理解这些复杂的数学概念。让我们一起走进二次函数的世界，感受数学的魅力吧！💪核心素养目标培养学生数学抽象能力，通过二次函数的图象与性质的学习，引导学生理解函数与几何图形的关系，提升逻辑推理和直观想象能力。同时，培养学生数学建模意识，学会运用数学语言描述现实世界中的问题，并尝试解决实际问题。重点难点及解决办法重点：二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象特征，包括顶点坐标、开口方向、对称轴等。

难点：二次函数图象与系数的关系，以及如何根据系数判断图象的性质。

解决办法：

1.重点：通过绘制函数图象，让学生直观感受二次函数的形状和特征，并结合实际案例讲解顶点坐标和对称轴的求法。

2.难点：设计一系列练习题，让学生通过观察、比较、分析，总结出系数与图象性质的关系，同时引导学生运用数学建模方法解决实际问题。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：系统讲解二次函数的基本概念和性质，确保基础知识扎实。

2.讨论法：组织学生小组讨论，通过合作学习探究函数图象与系数的关系。

3.实验法：利用几何画板等软件，让学生动手操作，直观展示函数图象的变化。

教学手段：

1.多媒体投影：展示函数图象的动态变化，增强学生的直观感受。

2.教学软件：运用数学软件进行模拟实验，帮助学生理解抽象的数学概念。

3.互动平台：利用在线教学平台，进行课堂问答和作业提交，提高课堂互动性。教学过程设计一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示一组生活中的抛物线实例，如抛物线运动轨迹、建筑设计等，引发学生对抛物线的兴趣。

2.提出问题：引导学生思考抛物线的形状、开口方向等特征，激发学生的求知欲。

3.引入课题：提出本节课的主题——二次函数的图象与性质，明确学习目标。

二、讲授新课（20分钟）

1.二次函数的定义：介绍二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的基本概念，强调a、b、c系数对函数图象的影响。

2.顶点坐标：讲解顶点坐标的求解方法，包括配方法和公式法，通过实例展示。

3.开口方向：分析系数a对开口方向的影响，让学生通过观察实例得出结论。

4.对称轴：讲解对称轴的定义和求法，引导学生发现对称轴与顶点坐标的关系。

三、巩固练习（10分钟）

1.练习1：让学生根据给定的二次函数，判断其开口方向、顶点坐标和对称轴。

2.练习2：结合实际案例，让学生运用二次函数的性质解决实际问题。

3.小组讨论：分组讨论，让学生分享解题思路，互相学习。

四、课堂提问（5分钟）

1.提问1：如何根据二次函数的系数判断其图象的形状？

2.提问2：二次函数的顶点坐标与对称轴有何关系？

3.提问3：如何运用二次函数的性质解决实际问题？

五、师生互动环节（5分钟）

1.邀请学生展示自己的解题过程，鼓励学生积极发言。

2.老师对学生的解答进行点评，指出优点和不足，给予针对性的指导。

3.针对学生的疑问，进行现场解答，帮助学生克服难点。

六、核心素养拓展（5分钟）

1.引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，如工程、物理等领域。

2.鼓励学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的创新能力。

3.强调数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的重要性。

七、总结与布置作业（5分钟）

1.总结本节课的学习内容，强调二次函数的图象与性质。

2.布置作业：让学生完成课后练习题，巩固所学知识。

教学时间总计：45分钟学生学习效果学生学习效果是衡量教学成效的重要指标。在本章节的学习后，学生在以下几个方面取得了显著的效果：

1.理解二次函数的基本概念：学生能够清晰地区分二次函数的定义、图象、开口方向、顶点坐标和对称轴等基本概念，为后续学习打下坚实的基础。

2.掌握二次函数的图象特征：学生通过学习，能够准确地绘制二次函数的图象，并识别出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴等特征，提高了学生的空间想象能力和几何直观能力。

3.理解系数对图象的影响：学生能够根据系数a、b、c的取值，分析二次函数图象的形状、位置和开口方向，培养了学生的逻辑推理和分析问题的能力。

4.应用二次函数解决实际问题：学生在学习过程中，通过实际案例的分析，学会了如何运用二次函数的性质解决实际问题，如物理运动轨迹、工程设计等，提高了学生的实际应用能力。

5.提高数学抽象能力：本章节的学习内容涉及到数学抽象的概念，学生在学习过程中不断锻炼自己的数学抽象能力，能够更好地理解数学概念的本质。

6.培养数学建模意识：学生在学习过程中，通过二次函数的图象与性质，认识到数学建模在现实世界中的应用，提高了学生的数学建模意识。

7.增强合作学习意识：在小组讨论环节，学生积极参与，分享自己的解题思路，培养了学生的合作学习意识和团队协作能力。

8.提高自主学习能力：学生通过自主探究、课堂提问等方式，不断巩固所学知识，提高了自主学习能力。

9.增强课堂参与度：学生在课堂上的提问、讨论和展示，提高了课堂参与度，激发了学生的学习兴趣。

10.提升核心素养：通过本章节的学习，学生在数学抽象、逻辑推理、直观想象等方面得到了锻炼，有助于提升学生的核心素养。典型例题讲解例题1：已知二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，且顶点坐标为(-1,2)，求函数的解析式。

解答：由题意知，顶点坐标为(-1,2)，即x=-1时，y取得最小值2。因此，函数的解析式可以写为y=a(x+1)²+2。由于开口向上，a>0。又因为顶点坐标在y轴左侧，所以a的值可以通过顶点坐标代入求得。将x=-1代入得y=2，即2=a(-1+1)²+2，解得a=0。但是这与开口向上的条件矛盾，因此a的值应为1。所以，函数的解析式为y=(x+1)²+2。

例题2：二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为-4，求函数的解析式。

解答：设两个交点的横坐标分别为x₁和x₂，根据韦达定理，有x₁+x₂=-b/a。已知x₁+x₂=-4，所以-b/a=-4。由于函数与x轴有两个交点，说明a>0。因此，b=4a。假设a=1，则b=4，得到函数的解析式为y=x²+4x+c。由于题目没有给出交点的纵坐标，无法确定c的值。

例题3：二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A(2,3)，且顶点坐标为(1,-2)，求函数的解析式。

解答：由顶点坐标(1,-2)可知，顶点公式为y=a(x-1)²-2。将点A(2,3)代入得3=a(2-1)²-2，解得a=5。因此，函数的解析式为y=5(x-1)²-2。

例题4：二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向下，且与y轴的交点为(0,3)，求函数的解析式。

解答：由于与y轴的交点为(0,3)，可知c=3。函数的解析式可以写为y=ax²+bx+3。由于开口向下，a<0。假设a=-1，则函数的解析式为y=-x²+bx+3。由于题目没有给出更多信息，无法确定b的值。

例题5：二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴相切，且切点为(2,0)，求函数的解析式。

解答：由于与x轴相切，说明函数在x=2时取得极值0。因此，顶点坐标为(2,0)。函数的解析式可以写为y=a(x-2)²+0。由于开口向上或向下取决于a的值，假设a=1，则函数的解析式为y=(x-2)²。由于切点为(2,0)，所以函数的解析式为y=(x-2)²。课堂小结，当堂检测课堂小结：

1.本节课我们学习了二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与性质，包括顶点坐标、开口方向、对称轴等基本概念。

2.我们了解到系数a、b、c对二次函数图象的影响，以及如何根据系数判断图象的形状和位置。

3.通过实例讲解，学生掌握了如何根据二次函数的图象特征求解顶点坐标、对称轴等，并能够运用这些知识解决实际问题。

当堂检测：

1.选择题：

（1）二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象开口向下，则a的取值范围是：（）

A.a>0B.a<0C.a=0D.a不存在

（2）二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是：（）

A.a>0B.a<0C.a=0D.a不存在

2.填空题：

（1）二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（h，k），则对称轴的方程为__________。

（2）二次函数y=ax²+bx+c