643第1课时余弦定理教学设计-高一下学期数学人教A版

第1课时6.4.3余弦定理、正弦定理【教学内容】余弦定理.【教学目标】（1）能用向量探究三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理的推导过程，发展逻辑推理核心素养；（2）运用余弦定理及其推论解决两类解三角形问题，发展数学运算核心素养.【教学重点与难点】教学重点：余弦定理及应用.教学难点：发现三角形边角关系，正确运用余弦定理及其推论解三角形.【教学过程设计】环节一创设情景，提出问题引导语：对于一般三角形，SSS、SAS、ASA、AAS等判定三角形全等的方法表明，给定三角形的三个角和三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.那么三角形的其他元素由与给定的某些元素有怎样的数量关系呢？结合上节内容，我们利用向量方法来研究这个问题：问题1：在中，三个角A,B,C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b，c和C表示c？图6.48师生活动：学生独立思考，教师可以选择以下问题进行引导学生明确利用向量进行探究：图6.48设计意图：“已知三角形的两边及其夹角，求第三边”的数学问题，使学生发现用旧知识是难以解决这个问题的，激发学生学习新知识的欲望，利用追问引导学生思考用向量探究．环节二探究推导，得出定理问题2：第三边如何表示用向量出来？怎样从向量转化为模长？师生活动：教师给出问题引导，学生独立思考，教师总结得出余弦定理.教师引导问题：①回忆向量减法的几何意义，如何表示？②研究的目标用，和C表示出，向量的模长是如何计算的？学生分析作答：①利用向量减法，可以得到.②根据向量的数量积的定义，向量模长是自身与自身作数量积运算，等式右边为两个向量的差作乘积运算.教师总结：第三边可以利用向量的减法用已知的两边表示，要求的是第三边长联想到向量的数量积的性质，考虑用与其自身作数量积运算.解：如图，设，，，那么①由①得向量的数量积可以用模长来表示，因此可以直接把等式转化为同理可得教师规范书写板书：余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦值的积的两倍，即设计意图：结合所学习的向量知识，让学生明白可以用向量法推导出余弦定理，此过程中学生能从向量相乘联想到数量积的性质，回顾之前所学习的知识，有利于增强知识的连贯性.同时培养学生观察能力，逻辑推理和数学运算核心素养.问题3：利用余弦定理，可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边.如果已知三角形的三边，怎么确定三角形的三个角？师生活动：学生独立思考，作答，教师总结.学生分析作答：把余弦定理变形，可以用三条边表示出三个角的余弦值，即确定了三个角.教师总结：如果已知三角形的两边及其夹角，可以利用余弦定理求出第三边；如果已知三角形的三边，可以通过余弦定理的推论求出三个角.从余弦定理及其推论可以看出：（1）三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式.（2）它们把“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画.（3）同时它们也是方程，蕴含了三条边和一个角这四个几何量，并且边长和角度可以相互转化.教师规范书写板书：余弦定理推论：设计意图：通过问题的回答，明确余弦定理及其推论是三角形边长和角度可以相互转化的公式，进一步理解余弦定理刻画的边角关系，培养了发展了数学运算核心素养.问题4：在初中学习了勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中一个角之间关系.你能说说这两个定理之间的关系吗？师生活动：学生独立思考，作答，教师总结.学生分析作答：如果中有一个角是直角，由余弦定理可以得出勾股定理.教师总结：如果中有一个角是直角，例如，这时.由余弦定理可得，这就是勾股定理.由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例.设计意图：通过问题的回答，明确余弦定理和勾股定理的关系.将新知识与旧知识联系起来，便于学生纳入知识体系顺化知识结构，同时培养了逻辑推理核心素养.问题5：通过前面的学习，在三角形中我们利用余弦定理能够解决哪些问题？师生活动：学生独立思考，作答，教师在此基础上给出解三角形定义.学生作答如下：①已知两边及其夹角，求第三边和角；②已知三边求三角.解三角形：一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.设计意图：让学生明确余弦定理及其推论可以解决两类基本的解三角形问题，凸显了应用价值，为后续学习利用正弦定理解三角形打下基础.环节三例题练习，加深理解例1（教科书第43页例5）在中，已知，，，解这个三角形（角度精确到，边长精确到）师生活动：学生独立完成，规范书写，教师根据学生完成情况，做点评和总结.解：由余弦定理，得所以利用计算器，可得所以设计意图：让学生学会应用余弦定理及其推论，在老师的引导下逐步完善并规范步骤，体会解三角形的过程，培养数学运算核心素养.例2在中，已知，，，则等于？师生活动：教师引导学生思考本题与上一个例题的相同和不同之处。学生独立思考后回答：两道题都是已知两边一角，不同在于例1是已知两边及其夹角，例2是已知两边和其中一边的对角.针对例2，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.解：由余弦定理，得所以解得或（负值舍去）.所以设计意图：进一步熟练、巩固定理，强化学生求解“已知两边及一角”这类基本解三角形问题的能力，培养数学运算核心素养.例3（教科书第44页练习2）在中，已知，，，解这个三角形.师生活动：学生独立完成，规范书写，教师根据学生完成情况，做点评和总结.解：由余弦定理推论，得由于，可得，同理可得，由于，可得，进而.变式1已知在中，，则等于？师生活动：本题虽然不知道三边长度，但是知道三边长度的比值，也可以用余弦定理推论解三角形.学生独立完成，规范书写，教师根据学生完成情况，做点评和总结.解：由已知得，设，，（），则有由于，可得.设计意图：通过练习，让学生掌握用余弦定理及其推论求解“已知三边”这类基本解三角形问题，体会边长和角度的互相转化，发展数学运算核心素养.环节四小结提升，厘清重点问题6：请你带着下列问题回顾本节课内容，并给出回答：（1）这节课我们学习的余弦定理及其推论的内容是什么？从公式中你能分析出哪些特点？（2）什么是解三角形？余弦定理及其推论可以解决哪两类解三角形问题？师生活动：学生独立回答，教师补充点评，师生共同归纳总结.（1）余弦定理：余弦定理推论：特点：①公式是等式亦是方程，蕴含了三条边和一个角这四个几何量，知道了其中三个量就可以求出剩下的一个量;②在三角形中，边长和角度是不同的几何量，通过余弦定理及其推论，两者可以相互转化.③公式具有轮换美，完美揭示出了三角形边长和角度的数量关系.（2）解三角形：一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.余弦定理及其推论可以解决“已知两边及一角（SAS、SSA）”和“已知三边（SSS）”这两类解三角形问题，结合题目具体给出的条件去选择公式求解.设计意图：进一步反思巩固所学知识，厘清公式中的特点，让学生在将余弦定理纳入知识体系时能够清晰地抓住结构特点、明确解三角形问题的类型，同时能够提升思维，发展素养.环节五目标检测，巩固所学目标检测：教科书第44页练习1、2、3.设计意图：通过3个练习题，检测本堂课教学效果，对学生学习结果进行课堂测评，其中第1题和第3题都是已知两边及其夹角，第1题（1）问和第3题是余弦定理及其推论的综合应用，第1题第（2）问需用到余弦定理求第三边；第2题是已知三边，需用到余弦定理的推论求出三个角.课后作业：教科书习题6.4第6题、第7题（2）问.