山西省2025届高三下学期一模数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1山西省2025届高三下学期一模数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，则.故选：.2.若直线被圆所截得的弦的长度为，则（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】由题意得，圆的圆心坐标为，半径.∵弦长，∴圆心到直线的距离，即点到直线的距离为2，∴，解得或.故选：C.3.方差的单位是原数据单位的平方，为了使其与原数据的单位一致，对方差开方得到标准差.利用方差和标准差可以刻画数据的离散程度或波动幅度.观察下面两组数据：1，2，3，4，51001，1002，1003，1004，1005它们的方差和标准差相等，但两组数据的数量级不同，两个个位数相差1与两个四位数相差1，直观感觉应该是不同的.那么，最适合刻画这两组数据离散程度的统计量是（）A.方差 B.标准差C D.【答案】D【解析】题中已经明确指出，两组数据的方差和标准差相等，而两组数据的直观感觉是不同的，所以排除选项A与B.为了将这种“直观感觉应该是不同的”用统计量表达出来，需要消除因两组数据数量级不同造成的影响，根据统计量构造的经验，应该除以相同单位的数据更合理，即，所以排除C选择D.故选：D4.是函数为增函数的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由函数是增函数，得，解得，∴是函数为增函数充分不必要条件.故选：A.5.已知向量，，满足，，且在上的投影向量为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，由在上的投影向量为，知，解得.故选：A6.若，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为函数在上是减函数，，所以，又，所以.故选：.7.已知函数的定义域为，且，，则（）A.0 B.2025 C. D.1013【答案】D【解析】由得，且函数关于点对称；由得.又由得，所以，得函数是周期为2的函数，当时，，故.故选：D8.设为圆锥底面的一条直径，为底面圆周上异于的一点，为靠近的一个三等分点，且二面角与二面角的大小相等，则该圆锥的体积与三棱锥的体积之比是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在圆所在平面内，过作，垂足为，过作，垂足为，∵，∴，，∴为二面角的平面角，为二面角的平面角，∴.∵在和中，，∴.∵为上靠近的一个三等分点，∴.设，则，底面圆半径为，圆锥高.∵点在圆锥底面圆上，∴，∵点为中点，，，∴，，∴，即，∴，，∴.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.函数的最小正周期是2B.C.D.函数的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象【答案】ACD【解析】A.由图可知，最小正周期，A正确.B.由，得，故，B错误.C.将点代入中，得，∴，即，∵，∴，C正确.D.由题意得，，的图象向右平移个单位，所得函数解析式为，由函数定义域为，得为偶函数，D正确.故选：ACD.10.已知椭圆，左，右焦点分别为，，点是上的动点，点，则下列结论正确的是（）A.椭圆的离心率为 B.的最大值为10C.的最小值为5 D.被点平分的弦所在直线的斜率为【答案】ABD【解析】A.由题意得，，，故椭圆的离心率，A正确.B.由A得，，∴.由椭圆定义得，，∴，B正确.C.，C错误.D.由可知点在椭圆内部，设过点的直线与椭圆相交于点，，∴，两式相减，得，∵弦被点平分，∴，，∴，即直线的斜率为，D正确.故选：ABD.11.已知函数，过点作平行于轴的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点.则（）A.当时，切线的方程为 B.当时，的面积为C.点的坐标为 D.面积的最小值为【答案】BCD【解析】由已知得，，过点的切线方程为，当时，，则，故正确；当时，，则，以为切点的切线方程为，即，故错误；此时，的面积，故正确；因为，，，所以，，所以，令，所以，令，即，解得，当时，，所以函数在内单调递减，当时，，所以函数在内单调递增，所以当时，函数有最小值，最小值为，故正确.故选：.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列的前项积为，若，则__________.【答案】【解析】由题意得，，∵，∴，∴.故答案为：.13已知，则__________.【答案】【解析】因为，所以，化简得，所以，得.故答案为：.14.投掷两枚质地均匀的骰子，正面朝上的点数分别记为m、n，则能使成立的数对共有__________对.【答案】12【解析】由题意知m，n的取值依次为1，2，3，4，5，6，因此可得的取值如下表.经检验，符合题中不等式的在下表中用下划线标注，相应的数对共有12对.故答案为：12四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.（1）求证：；（2）若.（i）求；（ii）若，且的面积为，求的周长.（1）证明：因为，所以.又因为，所以原式左边右边，得证.（2）解：（i）由（1）可得.又由正弦定理得，即.由余弦定理得.因为，得.（ii）由题知，由，得.又由余弦定理，可得，即，所以.所以，故的周长为16.16.已知函数.（1）判断函数的单调性；（2）若存在，使得，求的取值范围.解：（1）由题意得，的定义域为，∵，∴.由得或.当时，恒成立；当时，由得，或，由得；当时，由得，或，由得.综上可得：当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）得时，在上单调递增，在上最大值为，故不存在，使得.当时，若，即，则在上单调递减，在上的最大值为.若存在，使得，只需，解得，故.若，即，则在上单调递增，在上单调递减，在上最大值为，若存在，使得，只需，解得.综上可得，的取值范围为.17.在三棱柱中，点在上，且，为线段上的动点.（1）若为的中点，（i）在图中画出的重心，并说明点与线段BE的位置关系；（ii）求证：平面.（2）若三棱柱是棱长均为2的正三棱柱，当二面角为时，求到平面的距离.解：（1）（i）连结，交于点，连结交BE于点.因为为的中点，为的中点，所以为的重心，所以.又因为为的中线，所以点也为的重心，所以点在线段BE上.（ii）连结，并延长交AC于点，连结DG.因为为的重心，所以.又因为，所以，即.又因为平面，平面，所以平面.（2）取AB的中点.因为为棱长相等的正三棱柱，所以为正三角形，所以.又因为在正三棱柱中平面，所以，.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，设，可知，所以，所以，.设平面的法向量为，则所以令，则可得.易知平面的一个法向量为，所以，即，解得（舍），或.所以，.又，则到平面的距离.18.2025年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A，B，C三个工程队负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A，B，C三个工程队所采冰块总数之比为6：7：5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8，0.6，0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率.（1）若只取1块，求它是由B队所采的概率；（2）若抽取2块，其中由A队采出的冰块数记为，求的分布列和数学期望；（3）假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65，那么能否判断今年冰块的利用率有显著提升？你有什么好的建议？解：（1）由题意知，冰块之间是没有差异的，所以，从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取一块抽到每一块冰的可能性可以看作是相等的.因为A，B，C三个工程队所采冰块总量之比为6：7：5，所以若只取1块，它是B队所采的概率为.（2）据题意知在计算过程中可以忽略少量冰块对计算结果影响，即可以将“从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取”看作是有放回的抽取.设事件A，B，C分别表示随机抽取的一块冰是由A，B，C二个队分別采回的，与（1）同理可求得若只取1块，则，由B，C两队所采的概率为.依题意可知的取值为0，1，2，且.所以，，，所以的分布列为：012P数学期望.（3）设事件表示冰块被利用，由（2）知，.所以，，.又，即今年冰块的利用率约为0.67.可见，今年冰块的利用率比往年提升了约.但依据该数据还不能判断今年冰块的利用率有显著提升.若要判断提升是否显著，可以进一步查阅数据，构造相关统计量再进行判断.19.定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为常数，则称数列具有“性质”.已知项数为的数列的所有项之和为，且数列具有“性质”.（1）若，数列具有“性质2”，且，，写出的所有可能值；（2）若数列具有“性质2”，且，，证明：“”是“（）”的充要条件；（3）若数列具有“性质”，其中为奇数，，，，证明：或.（1）解：根据定义，有，所以或3.由得或5.因此有如下三种情况：若为，此时，若为，此时，若为，此时.综上,的所有可能值为.（2）证明：必要性：因为，，所以，故数列是首项为，公差为2的等差数列，所以，必要