上海市虹口区2025届高三下学期期中学生学习能力诊断测试数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1上海市虹口区2025届高三下学期期中学生学习能力诊断测试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知全集，，则_________【答案】【解析】由题全集，，所以.故答案为：.2.不等式的解集是____________．【答案】【解析】原不等式等价于且，解为，故答案为『点石成金』：分式不等式，，这里容易出错，要注意．3.若，则___________.【答案】【解析】.故答案为：.4.已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为______________.【答案】【解析】由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为.5.若直线与直线平行，且经过圆的圆心，则的方程为______【答案】【解析】圆的标准方程为，圆心坐标为，因为直线与直线平行，且经过圆的圆心，所以，直线的方程为.故答案为：.6.某公司为了解用电量（单位：千瓦时）与气温（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，绘制了如右表格，由表中数据可得回归方程，则实数______【答案】【解析】由表格中的数据可知，，，所以，样本中心点的坐标为，将样本中心点坐标代入回归直线方程可得，解得.故答案为：.7.若的三条边的长分别为、、，则的外接圆面积为______.（结果保留）【答案】【解析】不妨设，，，由余弦定理可得，所以，角为锐角，故，设的外接圆半径为，则，所以，，因此，的外接圆的面积为.故答案为：.8.已知是实系数一元二次方程的一个虚根，且，若在复平面上所对应的点在抛物线上，则______.【答案】【解析】设，因为在复平面上所对应的点在抛物线上，所以，，因为，故，即，解得：或（舍去），故，，当时，代入方程得，，即，故,当时，代入方程得，，即，故,综上可得，故答案为：9.某工厂生产的零件长度（单位：毫米）服从正态分布，且，若对该工厂同批生产的4个零件逐一检查，则仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为______【答案】【解析】根据可得，即，又由对称性可知，所以，即任取1个零件其长度大于3.5毫米的概率为；因此4个零件逐一检查，仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为；故答案为：10.已知个小球的编号为、、、，从中有放回地摸取小球三次，并依次记录其编号，若这三个编号成等差数列，则共有______种不同的摸取方法.【答案】【解析】若三个编号成等差数列，若三个编号相同，共有种，若三个编号彼此都不相同，设这三个编号为、、，则，则、同为奇数或同为偶数，则可由来确定，奇数编号的小球共个，偶数编号的小球共个，若、同为奇数，则、的选择方法种数为种；若、同为偶数，则、的选择方法种数为种.当三个编号彼此不同时，不同的摸法种数为种.综上所述，不同的摸法种数为种.故答案为：.11.1798年，人口学家马尔萨斯假设：①人口数是随着时间连续变化的函数；②人口增长率为常数，且单位时间内的人口增长量与成正比，进而建立了人口增长模型.19世纪中叶的生物学家们发现由于人类生存条件的限制，不是常数，因此改进了马尔萨斯的假设②，并添加了1条假设：②是随着时间连续变化的函数，存在人口最大瞬时增长率，使，且仅与和有关；③存在最大人口数，当人口数达到时，.那么在这些假设下建立的人口增长模型______.（用含有、、的式子表示）【答案】【解析】根据假设，可得，当时，，代入可得，解得，由单位时间内的人口增长量与成正比，可得，将，代入可得，所以假设下建立的人口增长模型.故答案：.12.记为有限集合中的元素个数.设，能被整除}，若对于任意实数和任意正整数，恒有，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】由于，所以，被除余数为，因此，集合中的元素只需满足能被整除即可，设，从而可得,即需取以为间隔的等间隔分布的实数，不论实数和正整数如何选取，区间中最多只能找到三个值，考虑到任意性，考虑区间长度最长的情况，即求的最大值，设，其中，则，由可得，由可得，所以，函数的增区间为，减区间为，所以，，因此，问题的要求是在任意一段长度不超过的区间里最多只能找到三个值，而的取值是以为间隔的，故临界情况是：长度为的区间刚好对应个间隔，因此，只需，解得.故答案为：.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.13.若是实数，则“”是“”的（）条件.A.充要 B.充分非必要C.必要非充分 D.既非充分又非必要【答案】C【解析】“”即“或”，故“”不能推出“”，“”可以推出“”，故“”是“”的必要非充分条件.故选：C14.下列函数中为奇函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A选项，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数，A不满足要求；对于B选项，函数的定义域为，且，设，则，故函数为偶函数，B不满足要求；对于C选项，函数为偶函数，C不满足要求；对于D选项，函数为奇函数，D满足要求.故选：D.15.春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束.若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生.任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】第一步：第一次掷骰子的概率（1）掷出6点：概率为，弟弟直接吃1颗花生；（2）非6点：概率为，记下点数，进入后续阶段.第二步：后续阶段的概率分析设小明掷骰子时弟弟吃到花生的概率为，弟弟掷骰子时弟弟吃到花生的概率为，若小明掷骰子：（1）掷出：概率为，弟弟吃1颗花生；（2）掷出：概率为，小明吃3颗花生；（3）其他点数：概率为，轮到弟弟掷骰子，此时概率为，故有①；若弟弟掷骰子：（1）掷出：概率为，弟弟吃1颗花生；（2）掷出：概率为，小明吃3颗花生；（3）其他点数：概率，轮到小明掷骰子，此时概率为，故有②；联立①②两式，可得，即后续阶段弟弟吃到花生的概率为，故任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为.故选：D16.在空间中，点为定点，设集合，则以下说法正确的是（）.①若在上的数量投影为，则线段在运动过程中所形成的几何体体积为；②对于任意的以及任意的正实数，设，若，则.A.①是真命题，②是真命题 B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题 D.①是假命题，②是假命题【答案】A【解析】由，因且，可得，即，即，所以是以为球心，半径为的球体内部及其表面，①若在上的数量投影为，即，设是轴上的单位向量，点的坐标为，则满足，且，将代入可得，解得，所以轨迹为半径为，位于平面上，所以线段在运动中所形成的几何体为圆锥，其中底面半径为，高为，则圆锥的体积为，所以①是真命题；由集合是以为球心，半径为的球体内部及其表面，对于任意的，以及任意的正实数，且，即，且，且若，因为球体中的任意两点的连线段上的点均在球体内，根据是凸集，结合凸集的性质，可得，即，所以，所以②正确.故选：A.三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤.17.如图所示，在四棱锥中，平面，，，，.（1）求证：平面平面；（2）若异面直线和所成角为，求点到平面距离.（1）证明：取的中点，连接，，，，，且，四边形是平行四边形，，，，，，，,，，平面，平面，，，平面，平面，平面，平面，平面平面；（2）解：连接，，，由(1)可知，，四边形是平行四边形，，且，是异面直线和所成角，即，设，，，，是等边三角形，，，即，，，，由(1)知，平面，，，，设点到平面的距离为，，即，即，，即点到平面的距离为.18.已知函数的表达式为，.（1）解不等式：；（2）若存在实数，使得，，成等比数列，求实数的最小值.解：（1）由已知代入可得不等式：，根据对数函数的单调性可得：且，则且，解得：（2）由已知可得：则令，因为，所以，即，则，此时在上单调递增，则，要使得等式，则，故的最小值为.19.已知某区组建了一支120人的志愿者队伍，并由其中72人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有72人的周平均服务时长超过2小时，其中有54人来自“志愿模范队”，如下表所示.是“志愿模范队”成员不是“志愿模范队”成员总计周平均服务时长超过2小时5472周平均服务时长不超过2小时总计72120（1）已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率.（2）请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？（3）现从周平均服务时长超过2小时的人员中按照是否为“志愿模范队”成员进行分层抽样，选取8人组建“志愿突击队”，并从这8人中再随机选取2人做深度访谈，记随机变量为这2人中来自于“志愿模范队”的人数，求的分布与方差附录：，其中.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）由表可知，若一名志愿者是“志愿模范队”成员，则其周平均服务时长超过2小时的概率：.（2）根据题意，可将表格补充完整：是“志愿模范队”成员不是“志愿模范队”成员总计周平均服务时长超过2小时541872周平均服务时长不超过2小时183048总计7248120故，所以有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系.（3）由分层抽样可知，这8人中有6个来自“志愿模范队”，2个不是“志愿模范队”成员，故随机变量可能为且,故分布列如下：012所以期望：，方差：.20.已知点和是双曲线的左、右焦点.（1）若是双曲线的一条渐近线，求的离心率；（2）当时，若双曲线上存在一点满足，求的面积；（3）若在双曲线上分别存在两点和，点在第一象限，点在第二象限，使得四边形的面积为，且存在实数使，求实数的取值范围.解：（1）若是双曲线的一条渐近线，则，可得，此时，双曲线的离心率为.（2）若，不妨设点位于第一象限，且，则，由双曲线的定义可得，又因为，则，，所以，，所以，，故.（3）取点关于原点的对称点，由双曲线的对称性可知，点在双曲线上，连接、，则为、的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，，又因为，则，即、、三点共线，易知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，因为，所以，，则，联立可得，由题意可得，可得，由韦达定理可得，，所以，，整理可得，令，则，则关于的二次方程在上有解，设，则二次函数在上单调递减，所以，，解得，因此，的取值范围是.21.对于定义在上的函数和，，设.（1）若，，求；（2）若，，，求实数的取值范围；（3）已知对任意，均有，记，求证：“对任意，函数零点个数均有限”的充要条件是“在上是严格增函数”.（1）解：记，函数上的值域为，即．（2）解：设在上的最小值．.当时，严格增；当时，严格减；当时，严格增．当时取得极小值．当时，舍去．当时，．综上，．（3）证明：（充分性）若是严格增函数，则的最小值为，而，故对任意，都有，即与是相同函数．故是严格增函数，所以严格增函数，故对任意的零点个数有限．（必要性）对任意，都有，故的值域为，即在上的最小值为．先证是严格增函数．对任意，函数和的最小值分别为和，则由最小值的定义，，故函数是增函数．假设