江苏2018高三数学一轮复习 基本初等函数

第二章函数概念与基本初等函数I

第1讲函数的概念及其表示法

考试要求1.函数的概念，求简单函数的定义域和值域，B级要求；2.选择恰当

的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，B级要求；3.简单的分段函数及

应用，A级要求.

基础诊断梳理自测，理解记忆

知识梳理

1.函数与映射的概念

函数映射

两个集合设/,5是两个设/,n是两个

A,B非空数集非空集合

如果按照某种确定的对应关如果按某一个确定的对应关

对应关系系力使对于集合力中的任意系力使对于集合力中的任意

f：AB一个数x,在集合B中都有唯一个元素X,在集合5中都有

二a定的数段)和它对应唯一确定的元素第与之对应

称江上三为从集合/到集称。4fB为从集合4到集

名称

合B的一个函数合B的一个映射

记法函数y=/(x),X^A映射：f：A^B

2.函数的定义域、值域

(1)在函数y=/(x),中，x叫做自变量，x的取值范围2叫做函数的定义域;

与尤的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.

(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等

函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子

来表示，这种函数称为分段函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的丑集，其值域等于各段函数的值

域的并集,分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

诊断自测

1.判断正误(在括号内打“♦”或“X”)

(1)函数y=l与y=x°是同一个函数.()

(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.()

(3)函数+l—1的值域是()

(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()

解析(1)函数y=l的定义域为R,而y=x°的定义域为*|xWO),其定义域不同，

故不是同一函数.

(3)由于x2+l^1,故—120,故函数—1的值域是{y[y>0}.

(4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数.

答案(1)X(2)V(3)X(4)X

2.(必修1P26练习4改编)下列给出的四个对应中：

①N=_B=N*,对任意的xG/,ftx-|x-2|；

②z4=R,B={y\y>0},对任意的x©/,f：》一志

③N=5=R,对任意的xG/,ftx-3x+2；

®A={(x,y)|x,yGR},B=R,对任意的(x,y)^A,f-.(x,y)->x+y.

其中对应为函数的有(填序号).

解析①中，当x=2时，\2-2\=0tB,此对应不是函数；②中，x=0时，△无

意义，此对应不是函数；③对应是函数；④中，/不是数集，故此对应不是函数.

答案③

3.(2017•苏、锡、常、镇四市二调)函数/)=1"匚J)的定义域为.

ln(2x—X?)2x—x?〉。，

解析要使函数段)=,,有意义,则解得04<2,且xWl,

工-1lx—17^0,

故函数作)的定义域为(0J)U(l,2).

答案(0,1)U(1,2)

’1,x>0,

1,X为有理数,

4.（必修1P52习题6改编）设於尸0,x=0,g(x)='

0,x为无理数,

A,x<0,

德（兀））的值为•

解析gm）=o,xg（K））=xo）=o.

答案0

5.（2015•全国II卷）已知函数段）=/—2x的图象过点（一1,4）,则4=.

解析由题意知点（一1,4）在函数"》）=双3—2r的图象上，所以4=—。+2,则a

=-2.

答案一2

I考点突破分类讲练，以例求法

考点一求函数的定义域

r±

[例1]（1）（2017・南通调研）函数上）=ln-十力的定义域为.

（2）若函数y=«x）的定义域是[1,2017],则函数g（x）的定义域是

X

-7>0>x

解析⑴要使函数本）有意义，应满足X—1解得X>1,故函数危尸后占

IJC1

、工20,

+工？的定义域为（1,+°°）.

（2）..）二段）的定义域为[1,2017],

1WX+1W2017,

，g（x）有意义，应满足，

—1W0.

，0WxW2016,且xWl.

因此g（x）的定义域为{x|0WxW2016,且xWl}.

答案（1）（1,+oo）（2）{X|0WXW2016,且xWl}

规律方法求函数定义域的类型及求法

（1）已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式（组）求解.

(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.

(3)若已知兀r)的定义域为[a,b],则/(g(x))的定义域可由aWg(x)Wb求出；若已

知衣(x))的定义域为[a,b],则危)的定义域为g(x)在xG[a,6]时的值域・

【训练11(1)(2015・湖北卷改编)函数危)=狙4—国+lg*."6的定义域为

(2)若函数外)=、2/+2"”一1的定义域为R,则a的取值范围为

'4—|x|^0,

解析⑴要使函数本)有意义，应满足＜f—5x+6〉0

、x—3''

|x|W4,

则2<xW4,且xW3.

x—2>0且xW3,

所以人x)的定义域为(2,3)U(3,4].

(2)因为函数本)的定义域为R,所以炉2+2冰1巳0对xdR恒成立，则¥+2公

一口巳0恒成立.因此有/=(2a)2+4aW0,解得一iWaWO.

答案(1)(2,3)U(3,4](2)[-1,0]

考点二求函数的解析式

【例2】(1)已知《+l)=lgx,贝I危)=；

⑵已知於)是二次函数且共0)=2,-+l)-/(x)=x—1,则危尸；

(3)已知函数作)的定义域为(0,+8),且於)=4电.而—1,则外)=.

22

解析(1)令，=7+1(61),则x==,

%I1

22

即於)=坨^7@>[),

(2)设作)=办2+6%+。(。#0),

由八0)=2,得。=2,

/(x+1)-fix)—a(x+1)2+b(x~\-1)+2—ax2—bx—2=x—1,

则2ax+a+6=x—1,

1

2a=1,

即i

a~\~b——1,z)=-|.

.123

.*./(x)=2^—/+2.

(3)在外)=皆停)点一1中,

将x换成;，则;换成x,

答案(l)lg^j<x>l)(2)^X2—|x+2(3)|\/x+1

规律方法求函数解析式的常用方法

(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.

(2)换元法：已知复合函数/但(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值

范围.

(3)构造法：已知关于｛x)与我或人一x)的表达式，可根据已知条件再构造出另

外一个等式，通过解方程组求出外).

(4)配凑法：由已知条件衣(x))=斤(x),可将斤(x)改写成关于g(x)的表达式，然后

以X替代g(x),便得“X)的表达式.

【训练2】⑴已知质6+1)=工+2而，则危尸.

(2)定义在R上的函数外)满足五x+l)=〃(x).若当OWxWl时，危)=x(l—x),

则当一lWxWO时，«x)=.

⑶定义在(-1,1)内的函数於)满足贺x)—X—x)=lg(x+l),则左尸.

解析(1)令也+1=7,则X=«—1)2(后1),代入原式得

xo=a-i)2+2a-i)=?-i,

所以外)=f—

(2)当一lWxWO时，OWx+lWl,

(3)当xG(-I」)时，

有2/(x)—X—x)=lg(x+1).①

将龙换成一X,则一X换成X,

得纨一x)—y(x)=ig(—x+i).②

由①②消去人一X)得，

21

/(x)=§lg(x+l)+§lg(l—x),xG(—1,1).

答案(l)x2—1(x21)(2)—：x(x+l)

21

(3)§lg(x+l)+§lg(l—x)(—1<X<1)

考点三分段函数(多维探究)

命题角度一求分段函数的函数值

1+log2(2—X),X<1,

【例3—1](2015•全国II卷改编)设函数穴x)=L1则八一2)

、29x1,

+Xlog212)=.

解析根据分段函数的意义，人-2)=1+1082(2+2)=1+2=3.又1。8212>1

.,•Xlog2l2)=2(iog212T)=2吗6=6,

因此五―2)+｛log212)=3+6=9.

答案9

命题角度二求参数的值或取值范围

3x—b,x<l,

【例3—2】(1)(2015・山东卷改编)设函数段)=｛》x>l若就打|=4,则

b=.

-1

rl,x<l,

(2)(2014・全国I卷)设函数｛x)=j则使得於)W2成立的x的取值范

,xNl,

围是.

解析（1湍）=3x（—b=|—6,

53

若即6>5时，

贝,」优）]HIi）=3住i）T=4,

7

解之得6=&,不合题意舍去.

O

541

若6N1,即则22=4,解得6=7

（2）当x<l时,e'1W2,解得xWl+ln2,

所以x<l.

।

当x2l时，/§W2,解得xW8,所以1WXW8.

综上可知x的取值范围是（-8,8].

答案（1）；（2）（—8,8]

规律方法（1）根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区

间，其次选定相应的解析式代入求解.

（2）已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析

式分别求解，但栗注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取

值范围.

提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.

—2,xWll,

【训练3】（1）（2015•全国I卷改编）已知函数穴x）={,:['且尬）

「10g2（X十1）,X>1,

=-3,贝1」八6一。）=.

Q+1,xWO,

（2）（2017南京、盐城模拟）已知函数外）=j2则不等式外）2—1

[—（X—1）2,X>0,

的解集是.

解析（1）当aWl时，穴4）=251—2=—3,

即2°T=—1,不成立，舍去；

当d>l时，角力=-log2（a+l）=-3,

即log2（a+1）=3,解得q=7,

7

此时共6_4）寸_1）=2-2_2=一］

（2）当xWO时，由题意得］+1》一1,

解之得一4WxW0.

当X>0时，由题意得一（X—1）2'—1,

解之得0<xW2,

综上段）2—1的解集为{x|一4WxW2}.

7

答案（1）—W（2）{x|-4WxW2}

课堂盘结

［思想方法］

1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二

是对应关系是否相同.

2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质

和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.

3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组

法.

4.分段函数问题要用分类讨论思想分段求解.

［易错防范］

1.复合函数德（X）］的定义域也是解析式中X的范围，不要和人X）的定义域相混.

2.易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，

从力到5的一个映射，A,5若不是数集，则这个映射便不是函数.

3.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量

的范围不确定，要分类讨论.

课时作业分层训练，提升能力

基础巩固题组

（建议用时：25分钟）

1.（2017・扬州中学质检）函数段）=log2（/+2x—3）的定义域是.

解析使函数上）有意义需满足—3>0,解得x>l或x<—3,所以«x）的定

义域为（一8,—3）U（1,+°°）.

答案（一8,-3）U（1,+℃）

2.（2017・衡水中学月考）设力g都是由/到2的映射，其对应法则如下：

则地（1）］的值为.

解析由映射g的对应法则，可知g（l）=4,

由映射f的对应法则,知｛4）=1,故虑（1）］=1.

答案1

3.（2016・江苏卷）函数y=，3—2x—f的定义域是

解析要使函数有意义，则3—2x—

.*.X2+2X—3WO,解之得一3WxWl.

答案［-3,1］

lx,x<0,

4.已知函数外）='71

一tanx,

解析••・玛卜一tan^T

•••^j］=X-l）=2X（-l）3=-2.

答案一2

5.已知人x）是一次函数，且力/（x）］=x+2,则危尸.

解析设於）=丘+6（左W0）,又/［/（x）］=x+2,

得左（丘+6）+6=x+2,即9x+筋+6=x+2.

.二9=1,且劫+6=2,解得左=6=1.

答案x+1

6.（2017・盐城中学一模次x）=⑴a<°）'则/圈=.

,log3x（x>0）,

解析娘=log3/=—2，

.•槌卜汽-2）O=9.

答案9

7.（2016•全国II卷改编）在函数©y=x；®y=lgx；③y=2"；④中，其定

义域和值域分别与函数y=10L的定义域和值域相同的有（填序号）.

解析函数^=10殴的定义域、值域均为（0,+8）,而^=羽）；=2工的定义域均

为R；y=lgx的值域为R,的定义域和值域为（0,+°°）.

■\］x

答案④

8.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除

以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人

数x之间的函数关系用取整函数y=［对（团表示不大于x的最大整数）可以表示为

（填序号）.

八「、1—「x+3］-「x+4~|三「x+5

①尸国］;②尸O③尸［丁］;④尸［可♦

解析设x=10加+”（0WaW9,m,a£N）,

..———「x+3'|「।a+3'|「x

当0WaW6时，~J。=加+~YQ—=m=,

->,「x+3~|「,a+3~|,「x~L

当6<aW9时，=加+J。=m+l=正+1.

答案②

9.（2016・江苏卷）设人x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间［—1,1）上，加）

x~\~a,—lWx〈0,

2其中a£R.

x,OWx〈l,

一尹户记，则a=q,

32

故人5口）=/（3）=/（_1）=_1+5=—1

答案V2

10.（2017・南师大附中一模）设P（xo，加是函数加0图象上任意一点，且居》器

则作）的解析式可以是（填序号）.

14

①/a）=x—；；（sy（x）=ex-i；dy（x）=x+-；

（4）/（x）=tanx.

解析对于①，当X=l,/（l）=o,此时。2三仔不成立.对于②，取x=—1,

X—1）=|—h此时g—1，》（一1）2不成立.在④中，君7t）=tan（兀=1,此时

仔》©兀）不成立.

①②④均不正确.事实上，在③中，对Vx°GR，

近=（配+寺2有/一舄=裳+8>0,有器成立.

答案③

11.已知函数加）满足Cj=logzM^i，则段）的解析式是-

解析根据题意知X>0,所以《J=log2X,则上）=log2]=—log2X.

答案人x）=—log2X

2%,xWO,1

12.设函数｛x）=L,八则使人x）=5的x的集合为________.

JlogzR,x>0,

解析由题意知，若xWO,则2—,解得X=—1；若40,则|log2x|《，解得

1

1

.

，亭]

为啦

集合

或故X的

2

-

--

X

2

2

'/'

]一1

答案

升题组

能力提

分钟）

：10

用时

（建议

域为

的定义

二7

）+加

（l+§

）=ln

函数危

13.

1

r

>0,

1或%

&<一

0,

1+->

X

<

§

义，则

）有意

数｛x

要使函

解析

\Xx)

WL.

♦0<x

,

xWO

x#0,

xW1

、一1W

一

,1].

域为（0

的定义

（0,1]

答案

>0,

1,x

列四

给出下

0,

0,x=

<

gnx=

函数s

符号

,定义

£R

）设x

卷改编

・湖北

（2015

14.

x<0.

、-1,

论：

个结

x.

xsgn

（4）|x|=

nx；

|x|sg

\x\=

n|x|；®

\=xsg

|；®\x

|sgnx

①因=x

号）.

（填序

论是

的结

正确

其中

x；

sgn

则恸=x

=l,

gnx