2024年湖南省娄底市新化县中考三模数学试题（含答案）

第第页2024年湖南省娄底市新化县中考三模数学试题一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．)1．下列各数中，最大的数是（）A．−2 B．0 C．2 D．42．第十四届全国人民代表大会第二次会议2024年3月5日在北京人民大会堂开幕．李强总理在政府工作报告中回顾过去一年，成绩来之不易、鼓舞人心——国内生产总值超过126万亿元．请将126000000000000用科学记数法表示为（）A．126×1012 B．12.6×1013 C．3．下列立体图形中，左视图与主视图不同的是（）A．正方体 B．圆柱C．圆锥 D．球4．一个多边形的每一个外角都等于40°，那么这个多边形的内角和为（）A．1260° B．900° C．1620° D．360°5．如图所示，已知直线a∥b，∠1=110°，∠2=62°，则∠3的度数为（）A．48° B．49° C．50° D．52°6．下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形7．若a≠0，下列计算正确的是（）A．−a0=1 B．a6÷a38．九年级1班30位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中有两个数据被遮盖成绩24252627282930人数▄▄23679下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（）A．平均数，方差 B．中位数，方差C．中位数，众数 D．平均数，众数9．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠ACD=22.5°，AB=4，则CD的长为（）A．22 B．5 C．42 第9题图 第10题图10．如图，在Rt△ABC中，延长斜边BC到点D，使CD=12BC，连接AD，若tanA．33 B．35 C．13二、填空题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分)11．若代数式5x−2有意义，则实数x的取值范围是12．分解因式：a3b−4ab=13．关于x的方程x2−6x+p=0的两个根是α,β，且2α+3β=20，则p=14．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，OC=6，则AD=． 第14题图 第15题图 第17题图15．如图，△ABC内接于圆O，∠B=65°，∠C=70°，若圆O的半径为2，则阴影部分的面积为．16．mm2−117．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y=kxx>0同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，∠AOB=∠OBA=45°18．如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，F为AB的中点，DF的延长线与CB的延长线交于点H，CE与DH相交于点G．若CG=45，则BG的长为：三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．计算：(20．先化简，再求值：(x−1−x2x+121．为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）此次调查的总人数为________；（2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是________°；（3）请将条形统计图补充完整；（4）为了共同进步，何老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率．22．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行.某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元.该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元.（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最少需要购买甲型自行车多少台？23．为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板CD长为1.6m，踏板CD与地面DE的坡比i=1:3，支架AC长为0.8m，跑步机手柄为AB，且AB∥ED（1）求C到地面DE距离；（2）该人身高为1.8米，通过尝试h是身高0.8倍运动起来更加舒服．①求此时点C到手柄AB的距离；②求此时支架与踏板之间夹角的度数（参考数据：cos50°≈0.64，cos37°≈0.8，24．如图1，E点为x轴正半轴上一点，OE交x轴于A、B两点，P点为劣弧BC上一个动点，且A(−1,0)、E(1,0)．（1）BC⏜的度数为（2）如图2，连接PC，取PC中点G，则OG的最大值为；（3）如图3，连接AC、AP、CP、CB．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，求AQ的长；25．综合与实践．【问题发现】（1）如图1，在正方形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作AC的垂线，两条垂线交于点F，连接EF，求证：BE=BF，【类比探究】（2）如图2，在矩形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作AC的垂线，两条垂线交于点F，且∠ACB=60°，连接EF，求CFAE【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线AC上的动点，其余条件不变，取线段EF的中点M，连接BM，CM，若AB=23，则当△CBM是直角三角形时，请求出CF26．综合与探究如图，抛物线y=ax2+bx+23与x轴交于点A−2,0和点B1,0，与y轴交于点C．连接AC，点D是线段AC上的一个动点，过点D作（1）求点C的坐标和抛物线的函数表达式；（2）设点D的横坐标为m，在点D运动过程中，请求出m为何值时，32（3）在（2）的条件下，若点P是x轴上一点，在平面内是否存在一点Q，使四边形DGPQ是面积为23

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】因为−2<0<2<4，所以最大的数是4．故答案为：D．【分析】本题考查有理数的大小比较．先比较出四个数可得：−2<0<2<4，进而可找出最大数，求出答案.2．【答案】C【解析】【解答】解：126000000000000=1.26×故选C．

【分析】本题主要考查了大于10的数的科学记数法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中3．【答案】B【解析】【解答】解：A.∵正方体的左视图与主视图均为以正方体棱长为边长的正方形，∴A不符合题意，A错误；B.∵倒放的圆柱体左视图为圆形，主视图为矩形，∴B符合题意，B正确；C.∵圆锥的左视图与主视图均为以圆锥母线为腰、以底面直径为底的等腰三角形，∴C不符合题意，C错误；D.∵球的左视图与主视图均为以球半径为半径的圆，∴D不符合题意，D错误；故答案为：B．【分析】本题考查三视图的应用.根据左视图和主视图的定义可得：正方体的左视图与主视图均为以正方体棱长为边长的正方形，据此可判断A选项；根据左视图和主视图的定义可得：倒放的圆柱体左视图为圆形，主视图为矩形，据此可判断B选项；根据左视图和主视图的定义可得：圆锥的左视图与主视图均为以圆锥母线为腰、以底面直径为底的等腰三角形，据此可判断C选项；根据左视图和主视图的定义可得：球的左视图与主视图均为以球半径为半径的圆，据此可判断D选项；4．【答案】A【解析】【解答】360°÷40°=9，∴（9-2）•180°=1260°．故答案为：A．【分析】先利用360°÷40°求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式（n-2）•180°计算即可求解．5．【答案】A【解析】【解答】解：∵∠1是△ACD的外角，∴∠1=∠2+∠CAD，∴∠CAD=∠1−∠2=110°−62°=48°又∵a∥b，∴∠3=∠CAD=48°故答案为：A．【分析】本题考查三角形的外角性质、平行线的性质．由∠1是ΔACD的外角，利用三角形的外角的性质可得：∠1=∠2+∠CAD，代入数据可求出∠CAD的度数，再根据a∥b，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得：∠3=∠CAD，据此可求出∠3的度数．6．【答案】D【解析】【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．故选D．【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．本题考查了正方形的判定，平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四边形的判定方法是解题的关键．7．【答案】A【解析】【解答】解：A．(−a)0B．a6C．a−1D．a6与a故答案为：A．【分析】本题考查零指数与负整数指数幂，同底数幂的除法运算，合并同类项．直接利用零指数的定义进行计算可得(−a)0=1(a≠0)，据此可判断A选项；根据同底数幂的除法运算可得：a6÷a3=8．【答案】C【解析】【解答】这组数据中成绩为24、25分的人数和为30-(2+3+6+7+9)=3，则这组数据中出现次数最多的数29，即众数29，第15、16个数据分别为29、29，则中位数为29，因此中位数和众数与被遮盖的数据无关，故答案为：C.【分析】通过计算成绩为24、25分的人数，进行判断，不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，同时不影响找第15、16位数据，因此不影响中位数的计算，进而进行选择.9．【答案】A10．【答案】D【解析】【解答】解：如图，过点C作CE∥AB交AD于点E．

∵∠BAC=90°，CE∥AB，∴∠ACE=90°．∵tanB=∴设AC=5k，AB=3k．∵CE∥AB，∴△CED~△BAD，∴CEAB∵CD=1∴CE=1∴tan∠CAD=故答案为：D．【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正切函数的计算.过点C作CE∥AB交AD于点E，根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，据此可得：∠ACE=90°，根据tanB=53，利用正切的定义设AC=5k，AB=3k．根据CE∥AB，利用相似三角形的判定定理可得：△CED~△BAD，利用相似三角形的性质可得：CEAB=11．【答案】x≠2【解析】【解答】解：由题意得x-2≠0，

∴x≠2，

故答案为：x≠2

【分析】根据分式有意义的条件结合题意即可求解。12．【答案】ab(a+2)(a−2)【解析】【解答】解：原式=ab故答案为：ab【分析】本题考查提公因式法与公式法的综合运用.先将原式提取公因式ab可得：原式=ab(13．【答案】−16【解析】【解答】由题意得α+β=6．∵2α+3β=20，可整理为2(α+β)+β=20，∴2×6+β=20，解得β=8．将x=8代入方程x2−6x+p=0，有解得p=−16，故答案为：-16．【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解.先利用一元二次方程根与系数的关系得出α+β=6．将2α+3β=20整理为2(α+β)+β=20，据此可列出方程2×6+β=20，解方程可求出β=8．将x=8代入方程x2−6x+p=0，得到14．【答案】6【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°、OA=OB=OC=OD，∵∠ADB=30°，OC=6，∴∠DBA=60°，∴△ABO是等边三角形，∴AB=OA=OC=6，∵∠ADB=30°∴BD=2AB=12，∴AD=B故答案为：63【分析】本题考查矩形的性质、直角三角形的性质．根据矩形的性质得出∠DAB=90°、OA=OB=OC=OD，利用角的运算可得∠DBA=60°，利用等边三角形的判定定理可得△ABO是等边三角形，进而可得AB=OC=6，再根据含30°角的直角三角形的性质得出BD=2AB=12，再利用勾股定理可求出AD的长．15．【答案】π−2【解析】【解答】解：连接OB、OC，作OD⊥BC，如图所示：∵∠B=65°，∠C=70°，∴∠A=45°，∵BC=∴∠BOC=2∠A=90°，∵OB=OC=2∴∠OBC=∠OCB=45°∵OD⊥BC∴BD=CD，BD=OD=2∴BC=22∴S△BOC=1∴S阴影故答案为：π−2．【分析】本题考查不规则图形的面积，扇形面积的计算公式和三角形的面积公式.连接OB、OC，作OD⊥BC，利用圆周角定理可得：∠BOC=2∠A=90°，利用等腰直角三角形的性质可得：∠OBC=∠OCB=45°，进而可求出BD=CD，BD=OD=2，BC=22，再根据图中阴影部分的面积等于扇形BOC面积减去三角形16．【答案】1【解析】【解答】解：m===1故答案为：1m+1【分析】本题考查分式的加减运算，平方差公式．先利用分式的减法运算可得：原式=m−1m217．【答案】1+18．【答案】10【解析】【解答】解：∵正方形ABCD中，E为AD的中点，F为AB的中点，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AF=BF=AE=DE，∴△ADF≌△DCE(SAS)，∴∠AFD=∠CED，∵∠ADF+∠AFD=90°，∴∠ADF+∠CED=90°，即CE⊥DH；∵F为AB的中点，即AF=BF，∠AFD=∠BFH，∠A=∠ABH=90°，∴△AFD≌△BFH(ASA)，∴BH=AD=BC，∴点B为CH的中点，在Rt△CGH中，BG是CH的中线，∴BG=BH=BC，∵CE⊥DH，即∠CGH=∠A=90°，∠H=∠ADF，∴△ADF∽△GHC，且CG=45，AF=∴ADAF=GH∴GH=85∴CH=C∵BG=1∴BG=1故答案为：10．【分析】根据正方形的性质得到△ADF≌△DCE(SAS)，△AFD≌△BFH(ASA)，即可得到点B为CH的中点，BG是CH的中线，再推理得到△ADF∽△GHC，然后利用相似三角形的对应边成比例得到CH的长，然后利用勾股定理解题即可．19．【答案】解：原式=4+1+4×=4+1+2=【解析】【分析】先利用负指数幂、0指数幂、特殊角的三角函数值及绝对值的性质化简，再计算即可。20．【答案】解：原式=[==−=−x+1当x=3时，原式=−3+1【解析】【分析】原式括号内先通分化简，再把x的值代入化简后的式子计算即可.21．【答案】（1）20人（2）36（3）解：C类学生总人数为：20×25%=5（人），则C类学生中女生人数为：5−2=3（人）D类学生总人数为：20×10%=2（人），则C类学生中男生人数为：2−1=1（人）补充完整的条形统计图如下：

​​​​​​​（4）解：记A类学生中的男生为“男1”，两个女生分别记为“女1”、“女2”，记D类学生的一男一女分别为“男”、“女”，列表如下：

男1女1女2男男男1男女1男女2女女男1女女1女女2则选取两位同学的所有可能结果数为6种，所选两位同学恰好是相同性别的结果数有3种，所以所选两位同学恰好是相同性别的概率为：36【解析】【解答】解：（1）由条形统计图知，B类学生共有6+4=10（人），由扇形统计图知，B类学生所占的百分比为50%，

∴参与调查的总人数为：10÷50%故答案为：20人；（2）由扇形统计图知，D类学生所占的百分比为：1−15%−50%−25故答案为：36；

【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用B类学生数除以其所占的百分比即可求得参与调查的总人数；

（2）根据四类学生占比等于1求出D类学生的占比，进而利用360°乘以D类学生占比即可求出扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数；

（3）利用本次调查的总人数分别乘以C、D两类学生的占比可分别求得C类、D类学生的人数，进而可求得这两类中未知的男女生数，从而可补充完整条形统计图；

（4）记A类学生中的男生为“男1”，两个女生分别记为“女1”、“女2”，记D类学生的一男一女分别为“男”、“女”，用列表法列举出所有可能的结果数，由表格可知选取两位同学的所有可能结果数为6种，所选两位同学恰好是相同性别的结果数有3种，从而可求得概率．22．【答案】（1）解：设一台甲型自行车利润为x元，一台乙型自行车利润为y元.3x+2y=650x=150∴一台甲型自行车利润为150元，一台乙型自行车利润为100元.（其他做法请酌情给分）（2）解：设需要购买x台甲型自行车，则乙型自行车购买(20−x)台.500x+800(20−x)≤13000x≥10∴最少需要购买10台甲型自行车.【解析】【分析】（1）根据题意得等量关系：3台甲型自行车的利润+2台乙型自行车的利润=650元，1台甲型自行车的利润+2台乙型自行车的利润=350元.设一台甲型自行车利润为x元，一台乙型自行车利润为y元，代入等量关系即可得到方程，求解即可.

（2）根据题意可得：甲的数量+乙的数量=20，甲的总进价+乙的总进价≤13000，设需要购买x台甲型自行车，代入得一元一次不等式，求解即可.注意设未知数时不能带"至少"二字.23．【答案】（1）解：过点C作CN⊥DE，垂足为N，

在Rt△CND中，i=CNDN=1:3，

∴∠CDN＝30°，

（2）解：①延长NC，交BA的延长线于点M

∵AB∥DE，

∴CM⊥AB，

∴h＝MN＝1.8×0.8＝1.44m，

∴CM＝1.44－0.8＝0.64，

②在Rt△ACM中，cos∠MCA=CMAC=0.640.8=0.8，

∵cos37°≈0.8，

∴∠MCA＝37°，

【解析】【分析】（1）过C作CN⊥DE于G，由坡度坡角的关系求出∠CDN=30°，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案；（2）①延长NC交BA的延长线于点M，则CM⊥AB，根据平行线间的距离相等及“h是身高0.8倍运动起来”求出h=MN=1.44m，由（1）得CN=0.8m，然后根据CM=MN-CN求出CM的长即可；②在Rt△ACM中，由∠MCA的余弦三角函数定义求出∠ACM≈37°，再由（1）得∠DCN=90°-∠CDN=60°，然后根据平角定义求出∠ACD的度数即可．24．【答案】（1）120°（2）2（3）连接AC，BC，∵直径AB⊥CD，∴AC∴∠ACD=∠CPA，∵CQ平分∠DCP，∴∠DCQ=∠PCQ，∴∠ACD+∠DCQ=∠CPA+∠PCQ，∴∠ACQ=∠AQC，∴AQ=AC，∵∠CAO=60°，AO=1，∴AC=2，∴AQ=2【解析】【解答】（1）连接AC，CE，

∵A(−1,0)、E(1,0)，∴OA=OE=1，∵OC⊥AE，∴AC=CE，∵AE=CE，∴AC=CE=AE，∴∠CAE=60°，∴∠BEC=2∠CAB=120°，∴BC的度数为120°故答案为：120．（2）由题可得，AB为⊙E直径，且AB⊥CD，由垂径定理可得，CO=OD，连接PD，如图2，又∵G为PC的中点，∴OG∥PD，且OG=1当D，E，P三点共线时，此时DP取得最大值，且DP=AB=2AE=4，∴OG的最大值为2，故答案为：2．【分析】（1）连接AC，CE，先利用CD垂直平分AE，可推出CA=CE，由于CE=AE，利用等边三角形的判定定理可以证得三角形ACE为等边三角形，利用等边三角形的性质可得∠CAE=60°，利用圆周角定理可求出∠CEB=120°，进而可求出BC⏜（2）由于直径AB⊥CD，根据垂径定理，可以得到O是CD的中点，进而可得CO=OD，又G是CP的中点，连接PD，利用三角形的中位线定理可得：OG∥PD，OG=12PD，要求OG最大值，只需要求PD最大值，由于P是劣弧BC上的一动点，故当P，E，D三点共线，即PD为直径时，PD（3）连接AC，BC，由于直径AB⊥CD，根据垂径定理，可以得到AC=AD，所以∠ACD=∠CPA，又CQ平分∠DCP，利用角平分线的定义可得：∠PCQ=∠DCQ，进而可可以证明∠ACQ=∠AQC，根据等角对等边可得：AC=AQ，由（1）可得，AC=AE=2，进而可求出（1）（1）连接AC，CE，∵A(−1,0)、E(1,0)，∴OA=OE=1，∵OC⊥AE，∴AC=CE，∵AE=CE，∴AC=CE=AE，∴∠CAE=60°，∴∠BEC=2∠CAB=120°，∴BC的度数为120°故答案为：120．（2）由题可得，AB为⊙E直径，且AB⊥CD，由垂径定理可得，CO=OD，连接PD，如图2，又∵G为PC的中点，∴OG∥PD，且OG=1当D，E，P三点共线时，此时DP取得最大值，且DP=AB=2AE=4，∴OG的最大值为2，故答案为：2．（3）连接AC，BC，∵直径AB⊥CD，∴AC∴∠ACD=∠CPA，∵CQ平分∠DCP，∴∠DCQ=∠PCQ，∴∠ACD+∠DCQ=∠CPA+∠PCQ，∴∠ACQ=∠AQC，∴AQ=AC，∵∠CAO=60°，AO=1，∴AC=2，∴AQ=2．25．【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠BCA=45°∠ABC=90°，AB=BC，

∴∠EBA=90°−∠EBC

∵CF⊥AC，

∴∠FCE=90°，∠BCF=∠FCE−∠BCA=90°−45°=45°

∴∠EAB=∠FCB

∵BE⊥BF

∴∠FBC=90°−∠EBC

∴∠ABE=∠CBF，

在△ABE和△CBF中

∵∠EAB=∠FCB，AB=BC，∠EBA=∠FBC

∴△ABE≌△CBFASA

∴BE=BF；

（2）∵BE⊥BF，CF⊥AC，

∴∠EBF=∠ECF=90°

∵∠ACB=60°

∴∠BCF=∠ECF-∠ACB=90°-60°=30°，∠CAB=90°-∠ACB=90°-60°=30°

∴∠CAB=∠BCF

∵∠EBA=90°−∠EBC

∵∠FBC=90°−∠EBC

∴∠EAB=∠FBC

在△ABE和△CBF中，∵∠EAB=∠FBC，∠CAB=∠BCF

∴△ABE∽△CBF

∴BCAB=BFBE=∴CFAE=BCAB=33∴CB=2，

∵BF⊥BE，CF⊥CE

∵M为EF的中点，

∴BM=12EF，

∴CM=12EF，

∴CM=22BC=2，

∴EF=2CM=22，

分情况讨论；

当E在线段AC上时，∵∠CAB=30°，BC=2，∴AC=2BC=4，∴CE=AC−AE=4−在△ECF中，∵∠ECF=90°，∴CE∴∴x=3−1或当∠MBC=90°或∠MCB=90°时，点M不存在，当E在AC延长线上时，设CF=x，则AE=3∵∠CAB=30°，BC=2，∴AC=2BC=4，∴CE=AE−AC=在△ECF中，∵∠ECF=90°，∴CE∴∴x=3−1综上所述，CF的长为3−1或3【解析】【分析】（1）由正方形性质得∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°，AB=BC，结合垂直定义推出∠EAB=∠FCB=45°，由同角的余角相等得∠ABE=∠CBF，从而利用ASA判断出△ABE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等得BE=BF；

（2）根据垂直定义、角的构成及直角三角形量锐角互余推出∠CAB=∠BC