2024-2025学年湖南省邵阳市武冈市八年级（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年湖南省邵阳市武冈市八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计30分．每小题只有一个正确答案）1．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．a：b：c＝3：4：5 B．∠A：∠B：∠C＝9：12：15 C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2﹣a2＝c23．（3分）下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形4．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF为（）A．3厘米 B．4厘米 C．5厘米 D．6厘米5．（3分）如图．在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于F，那么S△ACF为（）A．12 B．15 C．6 D．106．（3分）将一副三角板按如图所示方式叠放在一起，若AB＝8，则阴影部分的面积是（）A．8 B．10 C．12 D．147．（3分）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．48．（3分）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为（）A．32 B．52 C．39．（3分）如图，已知点D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，且AD＝CE，DE交AC于点O，下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形ADCE是平行四边形 B．如果∠DAE＝90°，那么四边形ADCE是矩形 C．如果AC⊥DE，那么四边形ADCE是菱形 D．如果AD⊥CD且AB＝AC，那么四边形ADCE是正方形10．（3分）1876年，美国总统Garfield用如图所示的两个全等的直角三角形证明了勾股定理．若图中AB＝a，CD＝b，AD=42A．AE＝4 B．a2+b2＝16 C．S△ADE＝16 D．△AED是等腰直角三角形二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共计24分）11．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．12．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．13．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，则斜边AB上的中线长是．14．（3分）如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝4，S2＝8，则S3＝．15．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝度．16．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为．17．（3分）如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为Vp＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝s时，△PBQ为直角三角形．18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝4，点D在线段BC上一动点，以AC为对角线的▱ADCE中，则DE的最小值是．三、解答题（本题共8个小题，共计66分）19．（7分）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝68°，BE平分∠ABC，交AD于点E．AB＝2cm，ED＝1cm．（1）求∠A，∠C，∠D的度数；（2）求▱ABCD的周长．20．（6分）如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且BD＝CD．求证：BE＝CF．21．（7分）如图所示，一根长2.5米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此时OB的距离为0.7米，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移动多少距离？（2）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，过A点作AG∥DB，交CB的延长线于点G．（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．23．（10分）如图，长方形纸片ABCD，AD∥BC，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF．（1）求证：BE＝BF．（2）若∠ABE＝18°，求∠BFE的度数．（3）若AB＝6，AD＝8，求AE的长．24．（8分）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．请解决下列问题：（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM．若AM＝2，MN＝3，求BN的长；（2）如图2，若点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点．25．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD的中点，AE平分∠DAM．（1）判断∠AMB与∠MAE的数量关系，并说明理由；（2）求证：AM＝AD+MC；（3）若AD＝4，求AM的长．26．（10分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD＝BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．

2024-2025学年湖南省邵阳市武冈市八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BBDADACCDC一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计30分．每小题只有一个正确答案）1．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的定义进行判断即可．【解答】解：选项A、C、D中的三个图案，能找到一点，图形绕此点旋转180°后能够与原来的图形重合，故它们是中心对称图形；选项B中的图案，不能找到一点，使图形绕此点旋转180°后能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形；故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形：一个图形绕着某固定点旋转180°后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心．2．（3分）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．a：b：c＝3：4：5 B．∠A：∠B：∠C＝9：12：15 C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2﹣a2＝c2【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．【解答】解：A、由a：b：c＝3：4：5得c2＝a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B、由∠A：∠B：∠C＝9：12：15，及∠A+∠B+∠C＝180°得∠C＝75°≠90°，故不是直角三角形；C、由三角形三个角度数和是180°及∠C＝∠A﹣∠B解得∠A＝90°，故是直角三角形．D、由b2﹣a2＝c2得b2＝a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；故选：B．【点评】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．3．（3分）下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；先判定四边形是菱形，再判定是矩形就是正方形分别进行分析即可．【解答】解：A、对角线相等的四边形是平行四边形，说法错误，应是对角线互相平方的四边形是平行四边形；B、对角线互相平分且相等的四边形是菱形，说法错误，应是矩形；C、对角线互相垂直平分的四边形是矩形，说法错误，应是菱形；D、对角线相等的菱形是正方形，正确；故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形，以及特殊的平行四边形的判定，关键是熟练掌握各种四边形的判定方法．4．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF为（）A．3厘米 B．4厘米 C．5厘米 D．6厘米【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO+BO的长，即可得出AB的长，再利用三角形中位线定理得出EF的长．【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴AO＝CO，BO＝DO，∵AC+BD＝24厘米，∴AO+BO＝12厘米，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB＝6厘米，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF=12AB＝3故选：A．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理，正确得出AB的长是解题关键．5．（3分）如图．在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于F，那么S△ACF为（）A．12 B．15 C．6 D．10【分析】由矩形的性质得出∠B＝90°，AB∥CD，得出∠DCA＝∠BAC，由折叠的性质得出△ACD≌△ACE，得出∠DCA＝∠ECA，因此∠BAC＝∠ECA，证出AF＝CF，设AF＝CF＝x，则BF＝8﹣x，根据勾股定理得出方程：42+（8﹣x）2＝x2，解方程求出AF，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC，∵矩形沿AC折叠，点D落在点E处，∴△ACD≌△ACE，∴∠DCA＝∠ECA，∴∠BAC＝∠ECA，∴AF＝CF，设AF＝CF＝x，则BF＝8﹣x，在Rt△BCF中，根据勾股定理得：BC2+BF2＝CF2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴AF＝5，∴S△ACF=12AF•BC故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．6．（3分）将一副三角板按如图所示方式叠放在一起，若AB＝8，则阴影部分的面积是（）A．8 B．10 C．12 D．14【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半及AB＝8，可得AC＝4，；易证CF∥BD，从而可知△AFC为等腰直角三角形，则CF＝AC＝4，利用三角形面积计算公式可得答案．【解答】解：∵AB＝8，∠B＝30°，∠ACB＝90°∴AC＝4∵∠ACB＝∠B＝90°∴CF∥BD∴∠AFC＝∠D∵∠D＝45°∴∠AFC＝45°∴△AFC为等腰直角三角形∴CF＝AC＝4∴△AFC的面积为：4×4÷2＝8故选：A．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质以及平行线的判定与性质，明确相关判定定理及其性质，是解题的关键．7．（3分）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．4【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF＝DE＝2，然后根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴S△BCE=12BC•EF故选：C．【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．8．（3分）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为（）A．32 B．52 C．3【分析】首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA＝BE，CA＝CD，由△ABC的周长为26，及BC＝10，可得DE＝6，利用中位线定理可求出PQ．【解答】解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴∠QBA＝∠QBE，∠BQA＝∠BQE，BQ＝BQ，∴△BQA≌△BQE，∴BA＝BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝26﹣BC＝26﹣10＝16，∴DE＝BE+CD﹣BC＝6，∴PQ=12故选：C．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线．9．（3分）如图，已知点D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，且AD＝CE，DE交AC于点O，下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形ADCE是平行四边形 B．如果∠DAE＝90°，那么四边形ADCE是矩形 C．如果AC⊥DE，那么四边形ADCE是菱形 D．如果AD⊥CD且AB＝AC，那么四边形ADCE是正方形【分析】对于选项A，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可对选项A进行判断；对于选项B，根据一个角是直角的平行四边形是矩形可对选项B进行判断；对于选项C，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可对选项C进行判断；对于选项D，根据AD⊥CD，四边形ADCE是平行四边形可判定四边形ADCE是矩形，但是根据AB＝AC不能判定AD＝CD，因此无法判定矩形ADCE是正方形，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．【解答】解：对于选项A，∵CE∥AB，∴CE∥AD，又∵AD＝CE，∴四边形ADCE是平行四边形，故选项A正确，不符合题意；对于选项B，∵四边形ADCE是平行四边形，∠DAE＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形，即四边形ADCE是矩形，故选项B正确，不符合题意；对于选项C，∵四边形ADCE是平行四边形，AC⊥DE，∴平行四边形ADCE是菱形，即四边形ADCE是菱形，故选项C正确，不符合题意；对于选项D，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，又∵四边形ADCE是平行四边形，∴平行四边形ADCE是矩形，根据AB＝AC不能判定AD＝CD，因此无法判定矩形ADCE是正方形，故选项D不正确，符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了正方形，平行四边形，菱形，矩形的判定，熟练掌握正方形，平行四边形，菱形，矩形的判定定理是解决问题的关键．10．（3分）1876年，美国总统Garfield用如图所示的两个全等的直角三角形证明了勾股定理．若图中AB＝a，CD＝b，AD=42A．AE＝4 B．a2+b2＝16 C．S△ADE＝16 D．△AED是等腰直角三角形【分析】由全等三角形的性质可得AB＝EC＝a，BE＝CD＝b，AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，可求∠AED＝90°，且AE＝DE，即AE＝DE＝4，即可判断各个选项．【解答】解：∵△ABE≌△ECD∴AB＝EC＝a，BE＝CD＝b，AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，∵∠EDC+∠DEC＝90°∴∠AEB+∠DEC＝90°∴∠AED＝90°，且AE＝DE，∴△ADE是等腰直角三角形，AE2+DE2＝AD2＝32，∴AE＝4＝DE，∴AB2+BE2＝AE2，∴a2+b2＝16，故A、B、D选项正确∵S△ADE=12AE×故C选项错误故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共计24分）11．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为6．【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，720÷180+2＝6，∴这个多边形的边数为6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．12．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为342【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，每一个角都是直角可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，进一步得∠AGE＝∠BGF＝90°，从而知GH=12BF，利用勾股定理求出【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，在△ABE和△DAF中，∵AB=AD∠BAE=∠D∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝∠BGF＝90°，∵点H为BF的中点，∴GH=12∵BC＝5、CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，∴BF=B∴GH=12BF故答案为：342【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．13．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，则斜边AB上的中线长是4．【分析】作出图形，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB＝2BC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：如图，作斜边AB上的中线CD．∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝2×4＝8，∵CD是斜边上的中线，∴CD=12故答案为：4．【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．14．（3分）如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝4，S2＝8，则S3＝12．【分析】根据勾股定理的几何意义解答．【解答】解：∵△ABC直角三角形，∴BC2+AC2＝AB2，∵S1＝BC2，S2＝AC2，S3＝AB2，S1＝4，S2＝8，∴S3＝S1+S2＝12．【点评】解决本题的关键是根据勾股定理得到三个面积之间的关系．15．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝15度．【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E＝∠DAE、BD＝AC＝CE，知∠E＝∠CAE，而∠ADB＝∠CAD＝30°，可得∠E度数．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝30°，∴∠E＝∠DAE，又∵BD＝CE，∴CE＝CA，∴∠E＝∠CAE，∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E＝30°，即∠E＝15°，故答案为：15．【点评】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．16．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为12．【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积=1∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积=1故答案为：12．【点评】本题考查了中心对称，菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．17．（3分）如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为Vp＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝1.5或2.4s时，△PBQ为直角三角形．【分析】分∠PQB＝90°、∠QPB＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列式计算，得到答案．【解答】解：由题意得，BQ＝t，AP＝2t，则BP＝6﹣2t，当∠PQB＝90°时，∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴BQ=12BP，即t=1解得，t＝1.5，当∠QPB＝90°时，∠B＝60°，∴∠BQP＝30°，∴BP=12BQ，即t＝2（6﹣2解得，t＝2.4，综上所述，当t＝1.5或2.4s时，△PBQ为直角三角形，故答案为：1.5或2.4．【点评】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝4，点D在线段BC上一动点，以AC为对角线的▱ADCE中，则DE的最小值是3．【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．【解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．∵OD⊥BC，∠B＝90°，∴OD∥AB，又∵平行四边形ADCE中，OC＝OA，DE＝2OD，∴OD是△ABC的中位线，∴OD=12AB，AB＝2∴DE＝AB．∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝4，∴AB=5∴DE＝3．故答案为3．【点评】此题考查的是平行四边形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，正确理解DE最小的条件是解题的关键．三、解答题（本题共8个小题，共计66分）19．（7分）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝68°，BE平分∠ABC，交AD于点E．AB＝2cm，ED＝1cm．（1）求∠A，∠C，∠D的度数；（2）求▱ABCD的周长．【分析】（1）由平行四边形的对角相等和邻角互补即可求出∠A，∠C，∠D的度数；（2）由平行四边形的性质和已知条件易证△ABE为等腰三角形，则AD的长可求出，进而可求出BC的长，则▱ABCD的周长得解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∵∠A＝∠C，∠A+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝68°，∴∠A＝∠C＝180°﹣68°＝112°，∠D＝∠ABC＝68°；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD＝BC，AB＝DC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝2cm，∴AD＝BC＝AE+DE＝3cm，∴▱ABCD的周长＝3+3+2+2＝10cm．【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE＝∠AEB．20．（6分）如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且BD＝CD．求证：BE＝CF．【分析】本题只要根据已知提供的条件结合全等三角形的证明方法证明两直角三角形全等即可证明BE＝CF．【解答】证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．又∵BD＝CD，∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）．∴BE＝CF．【点评】本题主要考查角平分线的性质和判定直角三角形全等的方法等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．21．（7分）如图所示，一根长2.5米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此时OB的距离为0.7米，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移动多少距离？（2）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．【分析】（1）根据勾股定理求出OA，求出OC，根据勾股定理求出OD即可；（2）根据直角三角形斜边上中线性质得出即可．【解答】解：（1）在直角△ABC中，已知AB＝2.5m，BO＝0.7m，则由勾股定理得：AO=2．52∴OC＝2m，∵直角三角形CDO中，AB＝CD，且CD为斜边，∴由勾股定理得：OD=2．52∴BD＝OD﹣OB＝1.5m﹣0.7m＝0.8m；（2）不变．理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变；【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上中线性质的应用，能根据勾股定理求出各个边的长是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，过A点作AG∥DB，交CB的延长线于点G．（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD，又由E、F分别为边AB、CD的中点，易得DF∥BE，DF＝BE，即可判定四边形DEBF为平行四边形，则可证得DE∥BF；（2）由∠G＝90°，AG∥DB，易证得△DBC为直角三角形，又由F为边CD的中点，即可得BF=12DC＝DF，则可证得：四边形【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵E、F分别为AB、CD的中点，∴DF=12DC，BE=∴DF∥BE，DF＝BE，∴四边形DEBF为平行四边形，∴DE∥BF；（2）∵AG∥BD，∴∠G＝∠DBC＝90°，∴△DBC为直角三角形，又∵F为边CD的中点．∴BF=12DC＝又∵四边形DEBF为平行四边形，∴四边形DEBF是菱形．【点评】此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．23．（10分）如图，长方形纸片ABCD，AD∥BC，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF．（1）求证：BE＝BF．（2）若∠ABE＝18°，求∠BFE的度数．（3）若AB＝6，AD＝8，求AE的长．【分析】（1）根据折叠的性质得到∠DEF＝∠BEF，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理证明；（2）根据直角三角形的性质求出∠EBF，根据平角的定义、折叠的性质计算即可；（3）根据勾股定理列式计算即可．【解答】（1）证明：由折叠可得，∠DEF＝∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF；（2）解：∵∠ABC＝90°，∴∠EBF＝90°﹣18°＝72°，∴∠EBF＝180°﹣∠BEF﹣∠EFB＝180°﹣72°﹣72°＝54°；（3）解：设AE＝x，则BE＝ED＝8﹣x，在Rt△ABE中AE2+AB2＝BE2，即x2+62＝（8﹣x）2，解得方程得x=7∴AE=7【点评】本题考查的是翻转变换的性质、矩形的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．24．（8分）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．请解决下列问题：（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM．若AM＝2，MN＝3，求BN的长；（2）如图2，若点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点．【分析】（1）由M、N为线段AB的勾股分割点，利用题中的新定义列出关系式，将MN与AM的长代入求出BN的长即可；（2）由F、M、N、G分别为各边中点，得到FM、MN、NG分别为中位线，利用中位线定理得到BD＝2FM，DE＝2MN，EC＝2NG，再利用题中新定义列出关系式，即可得证．【解答】（1）解∵点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM，AM＝2，MN＝3，∴BN2＝MN2+AM2＝9+4＝13，∴BN=13（2）证明∵点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点，∴FM、MN、NG分别是△ABD、△ADE、△AEC的中位线，∴BD＝2FM，DE＝2MN，EC＝2NG，∵点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，∴EC2＝DE2+DB2，∴4NG2＝4MN2+4FM2，∴NG2＝MN2+FM2，∴点M，N是线段FG的勾股分割点．【点评】此题考查了勾股定理，弄清题中的新定义是解本题的关键．25．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD的中点，AE平分∠DAM．（1）判断∠AMB与∠MAE的数量关系，并说明理由；（2）求证：AM＝AD+MC；（3）若AD＝4，求AM的长．【分析】（1）由AD∥BC，得，∠DAM＝∠AMB；又因AE平分∠DAM，得∠MAE=12∠DAM，等量代换得∠AMB（2）因AE平分∠DAM，得ED＝EF，AD＝AF，CD的中点，可证明Rt△EFM≌Rt△ECM，易得FM＝CM；即可证明AM＝AD+MC；（3）由（2）和AD＝4，在Rt△ABM中，由勾股定理可求得AM的长．【解答】解：（1）如图1所示：∠AMB与∠MAE的数量关系：∠AMB＝2∠MAE，、理由如下：∵AD∥BC，∴∠DAM＝∠AMB，∵AE平分∠DAM，∴∠MAE=1∴∠AMB＝2∠MAE．（2）如图2所示：过点E作EF⊥AM交AM于点F，连接EM．∵AE平分∠DAM，DE⊥AD，DF⊥AM，∴ED＝EF，又∵E是CD的中点，∴ED＝EC，∴EF＝EC，在Rt△EFM和Rt△ECM中，EF=ECEM=EM∴Rt△EFM≌Rt△ECM（HL）∴FM＝MC，同理可求AF＝AD，又∵AM＝AF+FM，∴AM＝AD+MC．（3