导数培优专题端点效应凹凸反转指数找基友

【导数培优专题：端点效应+凹凸反转】题型分类知识题型分类知识讲解与常考题型【题型1：端点效应（必要性探路）】知识讲解知识讲解端点效应的定义端点效应是指在处理含参不等式恒成立问题时，通过分析函数在区间端点处的取值情况，对参数的取值范围进行初步的限定，进而缩小参数的讨论范围，简化问题的一种方法。解题思路1.初步判断当遇到形如“在区间$[a,b]$上，不等式（或）恒成立，求参数的取值范围”的问题时，首先考虑端点值。将区间端点和代入不等式中，得到关于参数的初步条件。例如，若不等式在$[m,n]$上恒成立，则先计算和，解出参数的一个初步取值范围。2.必要性探路通过端点值得到的参数范围，只是不等式恒成立的必要条件。接下来需要证明在这个初步范围内，不等式在整个区间上确实恒成立，也就是进行充分性的验证。 求导分析函数单调性：对函数求导，得到，通过分析导数的正负来确定函数的单调性。若，则函数在相应区间上单调递增；若，则函数在相应区间上单调递减。 确定函数最值：根据函数的单调性，确定函数在区间$[a,b]$上的最值。如果函数单调递增，则最小值为，最大值为；如果函数单调递减，则最小值为，最大值为。 验证充分性：在初步得到的参数范围内，判断函数的最值是否满足不等式条件。若满足，则说明在这个参数范围内不等式恒成立，此时就是参数的取值范围；若不满足，则需要进一步缩小参数范围进行讨论。3.特殊情况处理有时候，通过端点效应得到的初步范围可能并不准确，或者函数在端点处的情况比较特殊，需要特殊处理。 端点处导数为零：若，则需要进一步分析函数在端点附近的高阶导数情况，判断函数的凹凸性等性质，以确定函数在端点附近的变化趋势。 分段讨论：当函数的单调性在区间内发生变化时，可能需要对区间进行分段讨论，分别确定每一段上函数的单调性和最值情况例题精选例题精选【例题1】（2024·广东江苏·高考真题）已知函数(1)若，且，求的最小值；(2)证明：曲线是中心对称图形；(3)若当且仅当，求的取值范围．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）求出后根据可求的最小值；（2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得.【详解】（1）时，，其中，则，因为，当且仅当时等号成立，故，而成立，故即，所以的最小值为.，（2）的定义域为，设为图象上任意一点，关于的对称点为，因为在图象上，故，而，，所以也在图象上，由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.（3）因为当且仅当，故为的一个解，所以即，先考虑时，恒成立.此时即为在上恒成立，设，则在上恒成立，设，则，当，，故恒成立，故在上为增函数，故即在上恒成立.当时，，故恒成立，故在上为增函数，故即在上恒成立.当，则当时，故在上为减函数，故，不合题意，舍；综上，在上恒成立时.而当时，而时，由上述过程可得在递增，故的解为，即的解为.综上，.【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.【例题2】（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，，求的取值范围．【答案】(1)极小值为，无极大值.(2)【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围.【详解】（1）当时，，故，因为在上为增函数，故在上为增函数，而，故当时，，当时，，故在处取极小值且极小值为，无极大值.（2），设，则，当时，，故在上为增函数，故，即，所以在上为增函数，故.当时，当时，，故在上为减函数，故在上，即在上即为减函数，故在上，不合题意，舍.当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合题意，舍；综上，.【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.【例题3】（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析.(2)【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.【详解】（1）令,则则当当,即.当,即.所以在上单调递增,在上单调递减（2）设设所以.若,即在上单调递减,所以.所以当,符合题意.若当,所以..所以,使得,即,使得.当,即当单调递增.所以当,不合题意.综上,的取值范围为.【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当.相似练习相似练习【相似题1】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；【答案】(1)的减区间为，增区间为.(2)(3)见解析【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【详解】（1）当时，，则，当时，，当时，，故的减区间为，增区间为.（2）设，则，又，设，则，若，则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾.若，则，下证：对任意，总有成立，证明：设，故，故在上为减函数，故即成立.由上述不等式有，故总成立，即在上为减函数，所以.当时，有，

所以在上为减函数，所以.综上，.【相似题2】（2020·全国I卷·高考真题）已知函数.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.【详解】(1)当时，，，由于，故单调递增，注意到，故：当时，单调递减，当时，单调递增.(2)[方法一]【最优解】：分离参数由得，，其中，①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；②.当时，分离参数a得，，记，，令，则，，故单调递增，，故函数单调递增，，由可得：恒成立，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；因此，,综上可得，实数a的取值范围是.[方法二]：特值探路当时，恒成立．只需证当时，恒成立．当时，．只需证明⑤式成立．⑤式，令，则，所以当时，单调递减；当单调递增；当单调递减．从而，即，⑤式成立．所以当时，恒成立．综上．[方法三]：指数集中当时，恒成立，记，，①.当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意；②.若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，所以若满足，只需，即，所以当时，成立；③当即时，，又由②可知时，成立，所以时，恒成立，所以时，满足题意.综上，.【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！【题型2：凹凸反转】知识讲解知识讲解凹凸反转的定义凹凸反转是解决导数中一类不等式恒成立问题的有效方法。当直接处理不等式（或）恒成立问题比较困难时，可以尝试将不等式变形为的形式，使得函数为凸函数，函数为凹函数，然后分别研究这两个函数的最值情况，通过比较它们的最值来解决不等式恒成立问题。解题思路1.不等式变形对于给定的不等式（或），将其移项变形为（或）的形式，其中和是通过合理拆分和得到的，并且要使得为凸函数，为凹函数。判断函数凹凸性的方法是对函数求二阶导数： 若函数的二阶导数，则函数是凸函数。 若函数的二阶导数，则函数是凹函数。2.分别求最值 求凸函数的最小值：对求一阶导数，令，求出可能的极值点。再通过分析在极值点两侧的正负性，确定的单调性，进而求出在给定区间上的最小值。 求凹函数的最大值：对求一阶导数，令，求出可能的极值点。同样分析在极值点两侧的正负性，确定的单调性，从而求出在给定区间上的最大值。3.比较最值比较和的大小： 如果，那么不等式在给定区间上恒成立。 如果，那么不等式在给定区间上恒成立。例题精选例题精选【例题1】设函数,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x1)+2.(1)求

(2)证明:【答案】（1）；（2）详见解析.【详解】试题分析：（1）根据求导法则求出原函数的导函数，由某点的导数是在该点的切线的斜率，结合切线方程以及该点的函数值，将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值；（2）由（1)可得的解析式，为多项式，对要证的不等式进行变形，使之成为两个函数的大小关系式，再分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值，可证得两函数的大小关系，进而证得.试题解析：（1）函数的定义域为，.由题意可得，.故，.（2）证明：由（1）知，，从而等价于.设函数，则.所以当，；当时，.故在上单调递减，上单调递增，从而在上的最小值为.设函数，则.所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为.综上，当时，，即.考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性进而证明不等式恒成立.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.本题（2）的证明过程就是利用导数分别求出在上的最小值及在上的最大值，进而得证的.【例题2】已知函数，直线与曲线相切.（1）求实数的值；（2）若函数与在其公共定义域内满足，则称与存在临界线.证明：与存在临界线.【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）设切点为，求出导数，求得切线的斜率和切点，由切线的方程，解得，；（2）先证，，设，利用导数即可证明，再证，，即证，设，利用导数即可证明．【详解】解：（1）因为，所以，设切点为，则可得，（2）证明：先证，，设，，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，故在处取最小值，故，即.再证（），即证（），设，，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，故在处取最小值，故，即（），则，即与存在临界线.【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数，求出导数和单调区间和最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．相似练习相似练习【相似题1】设函数，证明.【答案】证明见解析.【分析】等价于，然后构造函数和，利用导数求出的最小值和的最大值进行比较即可【详解】证明：因为所以等价于.设函数，则，所以当时，；当，时，.故在上单调递减，在，上单调递增，从而在上的最小值为.设函数，则.所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为（1）；因为，，所以当时，，即.【相似题2】设函数．（1）当时，求的极值；（2）当时，证明：在上恒成立．【答案】（1）在处取得极大值无极小值（2）详见解析【详解】试题分析：（1）先求导数，再求导函数在定义区间上的零点，列表分析函数单调性变化趋势，确定极值（2）证明不等式，一般利用函数最值进行证明，而构造恰当的函数是解题的关键与难点，因为，所以首先将对数函数与指数函数分离，为使函数有最值，再作变形：，这样只需证明：，利用导数不难求得，，所以，但等号取法不同，因此试题解析：（1）当时，，∴当时，；当时，．∴在上单调递增，在上单调递减．∴在处取得极大值无极小值（2）当时，，下面证，即证．设，则，在上，是减函数；在上，是增函数．所以．设，则，在上，是增函数；在上，是减函数，所以，．所以，即，所以，即，即在上恒成立考点：利用导数求函数极值，利用导数证明不等式【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况．先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．（2）已知函数求极值．求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论．（3）已知极值求参数．若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f′（x0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反．【题型3：指数找奇偶对数单身狗】知识讲解知识讲解1.基本概念指数找基友：在处理含有指数函数的导数问题时，常常将指数函数与其他函数相乘或相除，构造出一个新的函数，使得求导后的式子更加简洁，便于分析函数的单调性、极值等性质。例如，对于函数，对其求导可得，这样可以利用恒大于的性质，通过分析的正负来确定的单调性。对数单身狗：当遇到含有对数函数的导数问题时，尽量将对数函数单独放在一边，构造出形如或等形式的函数。这样做的目的是避免对数函数与其他函数相乘或复合后求导过于复杂，方便后续对函数进行分析和求解。2.解题思路指数找基友 第一步：观察式子：分析题目中给出的函数表达式，看是否存在指数函数与其他函数的组合形式，如果没有，考虑能否通过变形构造出这样的形式。 第二步：构造函数：根据需要，将指数函数与合适的函数进行组合，构造出便于求导和分析的新函数。例如，若原函数为，可构造，这样求导后可以利用的性质进行分析。 第三步：求导分析：对构造后的函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性、极值等情况，进而解决问题。如对求导得，然后分析的正负来确定的单调性。对数单身狗 第一步：分离对数：观察函数表达式，将对数函数与其他函数尽可能地分离开来。例如，对于函数，可以考虑将其变形为，使对数函数与其他部分相对独立。 第二步：构造函数：根据分离后的形式，构造合适的函数。比如对于，可设，然后单独研究的性质。 第三步：求导分析：对构造的函数求导，通过导数研究其单调性、极值等。对求导得，根据的正负确定的单调性，进而分析原函数的性质，解决相关问题，如求函数的最值、判断函数的零点个数等。例题精选例题精选【例题1】（2018·全国II卷·高考真题）已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）方法一：构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式;（2）方法一：研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.【详解】（1）［方法一］：【最优解】指数找朋友当时，等价于．设函数，则．，所以在单调递减．而，故当时，，即．［方法二］：【通性通法】直接利用导数研究函数的单调性求得最小值当时，．令，令，得．则函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，从而，所以函数在区间内单调递增，有．［方法三］：【最优解】指对等价转化当时，．令，函数在区间上单调递增，故，有，故当时，．（2）［方法一］：指数找朋友设函数，在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．（i）当时，，没有零点；（ii）当时，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．［方法二］：等价转化为直线与曲线的交点个数令，得．令．则函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，则．当时，，当时，，故函数在区间内只有一个零点时，．［方法三］：等价转化为二次曲线与指数函数图象的交点个数函数在区间内只有一个零点等价于函数的图象与函数的图象在区间内只有一个公共点．由与的图象可知它们在区间内必相切于y轴右侧同一点，设切点为，则，解方程组得，经验证符合题意．［方法四］：等价转化为直线与曲线的交点个数当时，，原问题转化为动直线与曲线在区间内只有一个公共点．由得函数在区间内单调递减，在区间内单调递增．设与的切点为，则，于是函数在点P处的切线方程为．由切线过原点可得，故．［方法五］：【通性通法】含参讨论因为，，当时，在区间内单调递增，又，故无零点；当时，．①当时，在区间内单调递增，有在区间内单调递增，又，故无零点；②当时，令，得，故函数在区间内单调递减，在区间内单调递增．，从而单调递增．又，所以无零点．③当时，，又，所以存在，使得，则函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，则为函数的唯一零点，且满足．所以，解得，则．［方法六］：【最优解】等价变形＋含参讨论当时，，无零点；当时，，记，则；当时，，函数在区间内单调递增，则有，故无零点；当时，当时，单调递诚，当时，单调递增，当时，，当时，，故，得．【整体点评】（1）方法一：根据指数找朋友，将不等式等价转化为，这样可以减少求导的次数，便于求最值，是该题的最优解．；方法二：常规的直接求导，研究函数的单调性求最值，是该题的通性通法；方法三：利用指对互化，将不等式等价转化为，这样可以减少求导的次数，便于求最值，是该题的最优解．（2）方法一：根据指数找朋友，原函数在只有一个零点等价于在只有一个零点，再分类讨论以及利用导数研究其单调性即可解出；方法二：利用函数零点个数与两函数图象交点个数关系，等价转化为直线与曲线的交点个数，即可解出；方法三：利用函数零点个数与两函数图象交点个数关系，等价转化为二次曲线与指数函数图象的交点个数，即可解出；方法四：同方法二；方法五：直接含参讨论函数的单调性确定最值，再根据零点存在性定理判断即可解出，是该类型题的通性通法；方法六：易知当时函数无零点，只需考虑时的情况，，再含参讨论函数的单调性，研究其最值即可解出，是本题的最优解．相似练习相似练习【相似题1】（2019·全国II卷·高考真题）已知函数.证明：（1）存在唯一的极值点；（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）先对函数求导，根据导函数的单调性，得到存在唯一，使得，进而可得判断函数的单调性，即可确定其极值点个数，证明出结论成立；（2）先由（1）的结果，得到，，得到在内存在唯一实根，记作，再求出，即可结合题意，说明结论成立.【详解】（1）由题意可得，的定义域为，由，得，显然单调递增；又，，故存在唯一，使得；又当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；因此，存在唯一的极值点；（2）[方法一]【利用对称性转化为研究两个函数根的问题】的根的情况问题可转化为函数与的图像在区间内的交点情况．．当时，在区间内单调递增；又因为，所以当