湖北省部分高中协作体2024-2025学年下学期四月统考高三数学试题解析版

湖北省部分高中协作体2024--2025学年下学期四月统考高三数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、考试结束后，请将答题卡上交。一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知x<0,y>0,化简:49A.-3x2y B.3x2yC.-3x2y D.3x2y解析由题意得49x8y4=914(x8)12.已知函数f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(x)+xA.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞) D.[1,+∞)解析函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出函数f(x)的图象,并平移直线y=-x,如图所示,由图可知,当且仅当-a≤1,即a≥-1时,函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点。故选C。3.已知点M(-2,7),N(10,-2),点P是线段MN上的点,且PN=−2PM,则点A.(2,4) B.(-14,16)C.(6,1) D.(22,-11)解析设P(x,y),则PN=(10-x,-2-y),PM=(-2-x,7-y),由PN=−2PM⇒4.如图所示,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,AM=12MC,A1N=2ND。设AB=a,AD=b,AA1=c,MN=xa+yb+zc,则x+y+z=A.34 B.1C.23 D.解析MN=MA+AA1+A1N=−13AC+AA1+23A1D=−13(AB+AD)+AA1+23(AD−AA1)=-13a-13b5.若数列{an}满足a1=2,an+1=1+an1−an(n∈N*),则该数列的前A.-2 B.-1 C.2 D.1解析因为数列{an}满足a1=2,an+1=1+an1−an(n∈N*),所以a2=1+a11−a1=1+21−2=-3,同理可得a3=-12,a4=13,a5=2,…,所以数列{an}的周期为4,即an+4=an,且a1·a2·a3·a4=1,而2025=506×4+1,所以该数列的前2025项的乘积是a1·a2·a3·a4·6.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同的数字相加,其和为偶数的不同取法的种数为(D)A.30 B.20 C.10 D.6解析从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个不同的数字的和为偶数可分为两类:第一类,取出的两个数都是偶数,有0和2,0和4,2和4,共3种不同的取法;第二类,取出的两个数都是奇数,有1和3,1和5,3和5,共3种不同的取法。由分类加法计数原理得,共有3+3=6种不同的取法。故选D。7.曲线y=x3+1在点(-1,a)处的切线方程为(A)A.y=3x+3 B.y=3x+1C.y=-3x-1 D.y=-3x-3解析因为f'(x)=3x2,所以f'(-1)=3,又当x=-1时,a=(-1)3+1=0,所以y=x3+1在点(-1,a)处的切线方程为y=3(x+1),即y=3x+3。故选A。8.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两条弦AB,CD相交于点P(点P在第一象限),且AB⊥x轴,CD⊥y轴。若|PA|∶|PB|∶|PC|∶|PD|=1∶3∶1∶A.55 B.10C.255 解析由题意可知,点A,C在第一象限,如图,设|PA|=|PC|=t,则|PB|=3t,|PD|=5t,由椭圆的对称性知A(2t,2t),C(3t,t),所以4t2a2+4t2b2=1,9t2a2+t2b2=1,消去t可得5a2=3b2,即3a2=5b2二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.(多选题)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是偶函数,则(CD)A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数C.f(x+3)是偶函数 D.f(x)=f(x+4)解析因为f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),从而f(-x)=f(x+2)。因为f(x-1)是偶函数,所以f(-x-1)=f(x-1),从而f(-x)=f(x-2)。所以f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数。因为f(-x-1)=f(x-1),所以f(-x-1+4)=f(x-1+4),即f(-x+3)=f(x+3),所以f(x+3)是偶函数。故选CD。10.(多选题)已知直线l的方程为(a2-1)x-2ay+2a2+2=0,a∈R,O为坐标原点,则下列说法正确的是(BD)A.若|OP|≤2,则点P一定不在直线l上B.若点P在直线l上,则|OP|≥2C.直线l上存在定点PD.存在无数个点不在直线l上解析坐标原点O到直线l的距离为|2a2+2|(a2−1)2+4a2=2,所以l与圆x2+y2=4相切。对于A,当点P为l与圆x2+y2=4的切点时,满足|OP|≤2,但点P在直线l上,故A不正确;对于B,若点P在直线l上,则|OP|≥2,故B正确;对于C,直线l的方程可化为(x+2)a2-2ya-x+2=0,若直线l过定点,则x+2=0,−2y=0,−x+2=0,无解,所以直线l上不存在定点,故C不正确;对于D,由上述分析可知,圆x11.(多选题)已知函数f(x)=x3-ax+2有两个极值点x1,x2,且x1<x2,则(BCD)A.a≥0B.x1x2<0C.f(x1)>f(x2)D.f(x)的图象关于点(0,2)中心对称解析易求得f'(x)=3x2-a,则由题意可知f'(x)=0有两个不等根x1,x2,所以a>0且x1x2=-a3<0,故A项错误,B项正确;易知x1+x2=0,又x1<x2,所以f(x1)-f(x2)=x13−x23−ax1+ax2=a3x1−a3x2−ax1+ax2=2a3(x2-x1)=2a3·(x1三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分12.如图,直三棱柱ABC⁃A1B1C1的各棱长均为2,D为棱B1C1上任意一点,则三棱锥D⁃A1BC的体积是

233解析因为D为棱B1C1上任意一点,所以S△BCD=12×2×2=2。又点A1到平面BCC1B1的距离d=3,所以V13.已知双曲线y2+x2m=1的渐近线方程为y=±33x,则m=解析双曲线y2+x2m=1的标准方程为y21−x2−m=1,其渐近线方程为y1±x−m14.若直线y=kx+b是曲线y=lnxx的切线,也是曲线y=2x的切线,则k=-1解析设直线y=kx+b与曲线y=lnxx的切点为(x1,y1),与曲线y=2x的切点为(x2,y2),由y=lnxx的导函数为y'=1−lnxx2,得曲线y=lnxx在x=x1处的切线斜率为1−lnx1x12,故切线方程为y-lnx1x1=1−lnx1x12(x-x1),即y=1−lnx1x12x+−1+2lnx1x1。由y=2x的导函数为y'=-2x2,得曲线y=2x在x=x2处的切线斜率为-2x22,故切线方程为y-2x2=−2x22(x-x2),即y=-四、解答题：本题共5小题，共77分15.（本小题满分15分）已知函数f(x)=3cos2ωx+sinωxcosωx-32(ω>0)的最小正周期为π(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)>22,求x解(1)f(x)=3cos2ωx+sinωxcosωx-32=32(1+cos2ωx)+12sin2ωx-32=32cos2ωx+12sin2ωx=sin2ωx+π3。因为f(x)的最小正周期为2π2ω=π,所以ω=1,所以f(x)=sin2x+π3。由π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ,k∈Z,得π(2)f(x)>22,即sin2x+π3>22,由正弦函数的性质,得π4+2kπ<2x+π3<3π4+2kπ,k∈Z,解得-π24+kπ<x<16.（本小题满分15分）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b2+(1)求bc;(2)若acosB−bcosA解(1)因为a2=b2+c2-2bccosA,所以b2+c2−a2cos(2)由正弦定理可得acosB−bcosAacosB+bcosA−bc=sinAcosB−sinBcosAsinAcosB+sinBcosA−sinBsinC=sin(A−B)sin(A+B)−sinBsin(A+B)=sin(A−B)−sinBsin(A17.（本小题满分15分）如图,四棱锥P⁃ABCD的底面为菱形,∠ABC=π3,AB=AP=2,PA⊥底面ABCD,E是线段PB的中点,G,H分别是线段PC上靠近P,C(1)求证:平面AEG∥平面BDH;(2)求点A到平面BDH的距离。解(1)证明:如图,连接AC,交BD于点O,连接OH,在△PBH中,E,G分别为PB,PH的中点,所以EG∥BH,又EG⊄平面BDH,BH⊂平面BDH,所以EG∥平面BDH,同理可得AG∥OH,AG∥平面BDH,因为AG,EG⊂平面AEG,AG∩EG=G,所以平面AEG∥平面BDH。(2)记点A到平面BDH,点H到平面ABD的距离分别为hA,hH。S△ABD=12×2×2×32=3。因为PA⊥平面ABCD,PA=2,CH=13CP,所以hH=13PA=23。在△PBC中,PB=PC=22,BC=2,所以cos∠PCB=122=24。在△BCH中,BH2=BC2+CH2-2BC·CH·cos∠HCB=329,则BH=423,同理可得DH=423。在△BDH中,BH=DH=423,BD=23,所以S18.（本小题满分16分）已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点。(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积。解(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4。设M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y)。由题设知CM·MP=0,故x(2-x)+(y-4)·(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2。由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2。(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆。由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,所以ON⊥PM。因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-13,故l的方程为x+3y-8=0。又|OM|=|OP|=22,点O到l的距离为4105,所以|PM|=4105,S△POM=12×19.（本小题满分16分）已知数列{an}是等差数列,a1=1,且a1,a2,a5-1成等比数列。给定k∈N*,记集合{n|k≤an≤2k,n∈N*}的元素个数为bk。(1)求b1,b2的值;(2)求满足b1+b2+…+bn>2025的最小自然数n的值。解(1)设数列{an}的公差为d,因为a1,a2,a5-1成等比数列,所以a1(a5-1)=a22,即1×(1+4d-1)=(1+d)2,即4d=(1+d)2,解得d