浙江专用2025版高考数学一轮复习专题9平面解析几何第71练椭圆的几何性质练习含解析

PAGEPAGE7第71练椭圆的几何性质[基础保分练]1.(2024·绍兴模拟)倾斜角为eq\f(π,4)的直线经过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，则该椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),3)2.过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)3.(2024·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为()A.1－eq\f(\r(3),2)B.2－eq\r(3)C.eq\f(\r(3)－1,2)D.eq\r(3)－14.已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC＝3，则椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(10),5)D.eq\f(3\r(3),10)5.已知圆C1：x2＋2cx＋y2＝0，圆C2：x2－2cx＋y2＝0，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若圆C1，C2都在椭圆内，且圆C1，C2的圆心分别是椭圆C的左、右焦点，则椭圆离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))6.设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，离心率为eq\f(1,2)，M是椭圆上一点且MF2与x轴垂直，则直线MF1的斜率为()A.±eq\f(1,2)B.±eq\f(1,4)C.±eq\f(3,4)D.±eq\f(3,8)7.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，短轴的两个端点分别为M，N，左、右顶点分别为A1，A2，若△F1MN为等腰直角三角形，点T在椭圆C上且直线TA2斜率的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,4)))，那么直线TA1斜率的取值范围是()A.[1,2] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,4)))C.[－4，－2] D.[－2，－1]8.已知点A(－1,0)，B(1,0)，P(x0，y0)是直线y＝x＋2上随意一点，以A，B为焦点的椭圆过点P.记椭圆的离心率e关于x0的函数为e(x0)，那么下列结论正确的是()A.e与x0一一对应B.函数e(x0)无最小值，有最大值C.函数e(x0)是增函数D.函数e(x0)有最小值，无最大值9.已知椭圆eq\f(x2,a2)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点F1关于直线y＝－x的对称点P仍在椭圆上，则△PF1F2的周长为________.10.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，则椭圆的离心率是________.[实力提升练]1.若AB是过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上随意一点，且AM，BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM等于()A.－eq\f(c2,a2)B.－eq\f(b2,a2)C.－eq\f(c2,b2)D.－eq\f(a2,b2)2.(2024·金华一中模拟)已知椭圆E：eq\f(x2,24)＋eq\f(y2,12)＝1，O为坐标原点，A，B是椭圆上两点，OA，OB的斜率存在并分别记为kOA，kOB且kOA·kOB＝－eq\f(1,2)，则eq\f(1,|OA|)＋eq\f(1,|OB|)的最小值为()A.eq\f(\r(2),6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(2),3)D.eq\f(\r(2),2)3.已知F是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,3)))2＋y2＝eq\f(b2,9)相切于点Q，且eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2eq\o(QF,\s\up6(→))，则椭圆C的离心率等于()A.eq\f(\r(5),3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)4.已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，则该椭圆的离心率的取值范围为()A.(0，eq\r(2)－1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.(eq\r(2)－1,1)5.已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C与y轴的交点，若以F1，F2，P三点为顶点的等腰三角形肯定不行能为钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是____________________.6.如图所示，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，离心率为eq\f(1,2)，点P为第一象限内椭圆上的一点，若＝2∶1，则直线PF1的斜率为________.答案精析基础保分练1．B2.B3.D4.A5.B6.C7.C8.B9.2eq\r(2)＋210.eq\f(\r(5)－1,2)实力提升练1．B2．C[点A，B在椭圆eq\f(x2,24)＋eq\f(y2,12)＝1上，由椭圆的对称性不妨设A(2eq\r(6)cosθ，2eq\r(3)sinθ)，B(2eq\r(6)cosφ，2eq\r(3)sinφ)，因为kOA·kOB＝－eq\f(1,2)，所以不妨设0<θ<eq\f(π,2)，eq\f(π,2)<φ<π，所以eq\f(2\r(3)sinθ,2\r(6)cosθ)·eq\f(2\r(3)sinφ,2\r(6)cosφ)＝－eq\f(1,2)，所以tanθtanφ＝－1，所以φ＝eq\f(π,2)＋θ，所以A(2eq\r(6)cosθ，2eq\r(3)sinθ)，B(－2eq\r(6)sinθ，2eq\r(3)cosθ)，所以|OA|2＋|OB|2＝(2eq\r(6)cosθ)2＋(2eq\r(3)sinθ)2＋(－2eq\r(6)sinθ)2＋(2eq\r(3)cosθ)2＝36，所以36＝|OA|2＋|OB|2≥2|OA|·|OB|，所以eq\f(1,|OA|·|OB|)≥eq\f(1,18)(当且仅当|OA|＝|OB|＝3eq\r(2)时取等号)．eq\f(1,|OA|)＋eq\f(1,|OB|)≥2eq\r(\f(1,|OA|·|OB|))≥2eq\r(\f(1,18))＝eq\f(\r(2),3)(当且仅当|OA|＝|OB|＝3eq\r(2)时取等号)．]3．A[记椭圆的左焦点为F′，圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,3)))2＋y2＝eq\f(b2,9)的圆心为E，连接PF′，QE.∵|EF|＝|OF|－|OE|＝c－eq\f(c,3)＝eq\f(2c,3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2eq\o(QF,\s\up6(→))，∴eq\f(|EF|,|F′F|)＝eq\f(1,3)＝eq\f(|QF|,|PF|)，∴PF′∥QE，∴eq\f(|QE|,|PF′|)＝eq\f(1,3)，且PF′⊥PF.又∵|QE|＝eq\f(b,3)，∴|PF′|＝b.由椭圆的定义知|PF′|＋|PF|＝2a，∴|PF|＝2a－b.∵PF′⊥PF，∴|PF′|2＋|PF|2＝|F′F|2，∴b2＋(2a－b)2＝(2c)2，2(a2－c2)＋b2＝2ab，∴3b2＝2ab，∴b＝eq\f(2a,3)，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\f(\r(5),3)a，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3)，∴椭圆的离心率为eq\f(\r(5),3).]4．D[依据正弦定理得eq\f(|PF2|,sin∠PF1F2)＝eq\f(|PF1|,sin∠PF2F1)，所以由eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，可得eq\f(a,|PF2|)＝eq\f(c,|PF1|)，即eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(c,a)＝e，所以|PF1|＝e|PF2|，又|PF1|＋|PF2|＝e|PF2|＋|PF2|＝|PF2|(e＋1)＝2a，即|PF2|＝eq\f(2a,e＋1)，因为a－c<|PF2|<a＋c(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)，所以a－c<eq\f(2a,e＋1)<a＋c，即1－eq\f(c,a)<eq\f(2,e＋1)<1＋eq\f(c,a)，所以1－e<eq\f(2,e＋1)<1＋e，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－e1＋e<2，,2<1＋e2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－e2<2，,\r(2)<1＋e或1＋e<－\r(2)，))又0<e<1，所以eq\r(2)－1<e<1，即e∈(eq\r(2)－1,1)，故选D.]5.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))解析因为点P为椭圆C与y轴的交点，以F1，F2，P三点为顶点的等腰三角形肯定不行能为钝角三角形，所以∠F1PF2≤90°，所以tan∠OPF2≤1，所以eq\f(c,b)≤1，c≤b，c2≤a2－c2,2c2≤a2，eq\f(c2,a2)≤eq\f(1,2)，即eq\f(c,a)≤eq\f(\r(2),2)，又0<e<1，所以0<e≤eq\f(\r(2),2).6.eq\f(\r(3),5)解析由eq\f(c,a)＝eq\f(1,