数理统计 第二节 常见离散型随机变量的分布学习资料

分布函数

设X是一随机变量，x是任意的一个实数，则函数F(x)=P(X

x)称为随机变量X的分布函数。分布函数适用于离散型和连续型对离散型随机变量：对于任意实数x1,x2(x1<x2),例设随机变量X的分布律为：X345P1/103/106/10求X的分布函数，并求P(X

7/2)，P(3<X

9/2),P(3

X

9/2)第二节常见离散型随机变量的分布一、二点分布二、二项分布三、Poisson分布四、超几何分布进行一次试验，如果我们只关心某事件A发生还是不发生，试验结果只有两个，A和，令一、二点分布（一）伯努利试验(Bernoullitrials)这样的试验就称为伯努利试验。雅各.伯努利(BernoulliJacob)瑞士数学家，他在十七世纪末，在重复独立试验概率模型研究方面，做了大量的工作，以他命名的Bernoulli分布是概率论中最基本，也是最重要的分布，在它的基础上，发展了Poisson分布，Normal分布。(二)、二点分布(twopointdistribution)

在伯努利试验中，分别用0,1表示事件A发生与不发生，这样X就是一个只能取0或1的随机变量，其概率分布为：其中0<p<1，则称X服从参数为p的二点分布或0-1分布。X01P1

pp（一）n重伯努利试验(n-foldBernoullitrials)将伯努利试验独立地重复进行n次就称为n重伯努利试验。二、二项分布n重伯努利试验的特点：（1）只有两个结果，要么A发生，要么A不发生；（3）n次试验之间是相互独立的；（2）每次试验事件A发生的概率都等于p。问题：在一次试验中，事件A发生的概率为p,则在n次独立重复的试验中，事件A恰好发生k次的概率为多少？答案：事件A恰好发生k次的概率例射击，n=3,k=2,用Ai表示“第i次射中”，记B为射击3次恰好击中2次，求P(B)n重伯努利试验的计算公式在n重伯努利试验中，事件A发生的概率为p，不发生的概率为q=1

p，则在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次（0≤k≤n）的概率为：(二)二项分布(binomialdistribution)

若随机变量X的概率函数为则称X服从参数为n,p的二项分布，记为X~B(n,p)。显然，二项分布满足离散型变量分布律的条件：（1）（2）恰好是二项展开式(p+q)n的通项例据报道，有10％的人对某药有胃肠道反应。为考察某厂的产品质量，现任选5人服用此药。试求：（1）k个人有反应的概率

（k=0,1,2,3,4,5）；（2）不多于2人有反应的概率；（3）有人有反应的概率。0123450.590490.328050.720900.008100.000450.00001解：有反应的人数X服从二项分布

例据以往经验，新生儿染色体异常率为1%，试求100名新生儿中有0、1、2个染色体异常的概率？解：n=100,p=0.01则100名新生儿中发生染色体异常例数的概率为Poisson定理

设是一常数，n是任意正整数，设，则对于任意固定的非负整数k，有当n很大，且p很小时，令则(一般要求n≥10,p≤0.1)例据以往经验，新生儿染色体异常率为1%，试求100名新生儿中有0、1、2个染色体异常的概率？解：n=100,p=0.01则100名新生儿中发生染色体异常例数的概率为三.Poisson分布(Poissondistribution)

若随机变量X的概率函数为则称X服从参数为

的Poisson分布，记作X~P(

)。显然，泊松分布满足离散型变量分布律的条件：（1）（2）泊松分布在历史上首先是作为二项分布的近似，由法国数学家泊松于1837年引入，到目前，泊松分布已经成为概率论中最重要的分布之一。许多稀疏现象，如（1）生三胞胎；（2）某种少见病（如食管癌、胃癌）的发病例数;（3）用显微镜观察片子上每一格子内的细菌或血细胞数；（4）用X-线照射一种细胞或细菌，细胞发生某种变化或细菌死亡的数目等等，都服从或近似服从泊松分布，所以Poisson分布律又称为稀疏现象律。数理统计02-02-17用于研究一定时间或空间内出现的事件个数这种场合，即用于计数资料的分析，如临床上收集的癫痫病人每个月发作次数，医院某种疾病的门诊人数等，一般都视作服从泊松分布。例

在显微镜下观察一种悬浮液中的某种微粒，设每张样片观察到的微粒数服从参数=3的泊松分布.试求：（1）在一次观察中看到3个微粒数的概率；（2）微粒数不超过3个的概率.：在单位时间或空间上某事件平均出现次数四、超几何分布(hypergeometricdistribution)例设一批产品共有N件，其中M件是次品，现从中不放回地抽取n件，求n件中有k件是次品的概率.超几何分布若随机变量X的概率函数为

(k=0,1,2,…,l)其中0<M≤N,n≤N

M,l=min(M,n)，则称X服从参数为N,M,n的超几何分布，记作X~H(N,M,n)超几何分布描述不放回抽样问题，而有放回抽样则用二项分布来描述可以证明，当N充分大时，超几何分布近似服从二项分布。超几何分布常用于产品的抽样检查，如药品、疫苗等的质量检查与流行病的研究，是质量管理中经常使用的一种方法。小结：