统计学 第三章-试验资料特征数的计算学习资料

第三章试验资料特征数的计算数据分布的集中性：数据在趋势上以某一数值为中心而分布的特性。数据分布的离散性：数据离中分散变异的性质。反映数据集中性的特征数：集中量，包括平均数、中位数、众数。反映数据离散性的特征数：变异量，包括极差、方差、标准差和变异系数。标准差：是数据平均变异程度的度量，是最常用的反映数据离散性的特征数。第三章试验资料特征数的计算第三章试验资料特征数的计算一、集中量

——代表一组数据集中趋势的特征量（一）平均数（average）

——是一组计量资料的代表值，可作为资料代表与另一组资料相比较，以明确两组资料之间的差异状况。包括平均数、中位数、众数包括：算数平均数、几何平均数。其中算数平均数在统计分析中应用最普遍。（1）算数平均数的计算方法A.直接计算法适用于不分组的小样本资料全部观察数的总和除以总频数所得的商，简称均数（mean）1.算术平均数（arithmeticmean）第三章试验资料特征数的计算B.减去（或加上）常数法第三章试验资料特征数的计算a:接近于变量值xi的某一常数C.频数分布表计算法f：各组频数Xc：各组组中值n：总频数适用于已经编制成频数分布表的分组数据资料第三章试验资料特征数的计算组别/分组中值（Xc）频数（f）fXc90～10094.5875680～9084.516135270～8074.513968.560～7064.511709.550～6054.59490.540～5044.53133.5合计60=4410表3-160个幼儿珠心算成绩平均数计算表第三章试验资料特征数的计算例3-1：将表3-1中的相关数值代入公式，则：第三章试验资料特征数的计算D.加权平均计算法——加权平均数第三章试验资料特征数的计算——具有不同权重（比）的数据的算数平均数fm：各观察值的权数xm：具有不同权数的观察值教材【例2.3】：P18（2）算术平均数的性质A.各观察值的总和等于平均数的n倍B.离均差（各观察值与平均数之差）的总和等于零证明：第三章试验资料特征数的计算C.离均差的平方和比各观察值与任何其它数值的离差的平方和都小。第三章试验资料特征数的计算证明：∴第三章试验资料特征数的计算（4）算数平均数的缺点A易受两极端（极低或极高）数值的影响，无法代表数据的典型水平；B若出现模糊不清的数据时，则无法计算平均值。（3）算数平均数的作用A是一组数据资料的中心位置，代表数据资料所代表的数量水平和质量水平；B是样本或资料的代表数据，可与其他组资料进行差异性比较。（二）几何平均数——n个数值连乘积的n次方根，符号为G第三章试验资料特征数的计算A、当数据较多时，计算对数平均数第三章试验资料特征数的计算B、几何平均数的应用（a）一组数据为等比或近似等比数据时例3-4：某幼儿园四年中各年学生人数分别比上年增加1.12倍、1.09倍、1.08倍、1.06倍，求每年平均增加率。则平均每年学生人数增加率为：解：平均每年学生人数增加倍数为：第三章试验资料特征数的计算（b）一组成偏态分布的数据，有少数数据偏大或偏小时例3-5：6名儿童心算分数分别为82、83、90、92、51、90，求其平均分数。解：数据中有一偏小数据，计算几何平均数：第三章试验资料特征数的计算（c）研究对象的某种特性随时间的增长变化时例3-6：某市6年中小学教师的学历达标率分别为40%、52%、65%、72%、78%、86%，计算该市小学教师6年学历平均达标率。解：（三）中位数

(median)Md

一组依大小排列的观察值中居中位置的数值。

中位数计算法：第二章

描述性统计1、不分组数据中位数计算法：例:有两组样本数据如下，试比较它们中位数的大小

乙组:

2.04.24.54.85.25.97.115.0甲组:

4.24.34.74.85.05.110.0乙组的中位数5.0>甲组的中位数4.8解:甲组:Md==4.8=x4乙组:Md=第三章试验资料特征数的计算第三章试验资料特征数的计算§

中位数的应用（a）一组数据中出现两极端数值时应用中位数作为代表值（b）当次数分布两端数据或个别数据不清楚时只能取中位数作为代表值，无法计算平均数。（四）众数

(mode)Mo

——粗略的集中量资料中出现频数最多的那个观测值或频数最多一组资料的组中值，称为众数第三章试验资料特征数的计算§

众数的应用：B、需要用算术平均数、中位数和众数三者关系粗略判断次数分布的形态时应用；A、需要快速而粗略地找出一组数据的代表值时应用；C、当一组数据出现不同质的情况时，应用众数表示典型情况。二、变异量表示一组数据离散性（变异性）或离中趋势的量（一）极差（全距）（Range）R=最大值（MAX）—

最小值（MIN）例：两组数据甲

204060

乙

394041看不出变异度R大（小）变异度大（小）R=40R=2第三章试验资料特征数的计算包括极差、标准差、方差和变异系数。优点：简单明了，应用广泛，如用于说明传染病、食物中毒等的最短、最长潜伏期和研究样本波动幅度等。缺点：a.除MAX和MIN外,不能反映组内其它数据变异度。b.极差抽样误差大,受两个极端值影响,不够稳定，只用于资料的粗略分析和小样本数据。例：甲：246810

乙：236910R=8甲：246810乙：245712R=10R=8第三章试验资料特征数的计算（二）方差

(variance)

1、离均差平方和——各观测值离均差平方的总和，

SS（Sumofsquares）

样本：总体：第三章试验资料特征数的计算2、方差——用离均差平方和除以总体或样本容量所得的平均的离均差平方和，又称为平均平方和（均方），

（meansquares,MS）记为

s2

（样本方差）

总体方差：样本方差：（n-1为自由度）第三章试验资料特征数的计算3、自由度

df

（degreeoffreedom）——当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中能自由变化的数据的个数。如果统计量受k个条件限制，则自由度应为（n-k）个。例如：9、10、11，平均数为10。其中有2个数可以自由变动为12、15，则第3个数只能是3，不能是其它值，这个样本有3个观察值，自由度是2。大样本因为n和n-1相差甚微可不用自由度，直接用n计算第三章试验资料特征数的计算

在方差的计算中离均差经平方后，原有的单位也给平方了，如身高（cm）成为（cm）2，原来的变异度也被扩大了。如何恢复到原来状态？第三章试验资料特征数的计算（三）标准差（standarddeviation）

s——方差的平方根大样本标准差：小样本标准差：总体标准差：第三章试验资料特征数的计算1、计算方法（1）原始数据法大样本：小样本：第三章试验资料特征数的计算注：数值较大或较小的数据资料，可将各观测值都减去或加上一个常数后再计算s，s值不变。（2）频数分布表法组别组中值（xc）次数（f）fxcf

xc210—1534567520—256150375030—35269103185040—453013506075050—552413207260060—6585203380070—75322516875合计1004520220300表

100名学生能力测试频数分布表(单位:分)第三章试验资料特征数的计算2、标准差的性质及作用（2）计算时，各变量同时加上或减去一个常数a，标准差数值不变。

（3）各变量同时乘或除以一个常数a，所得标准差是原来标准差的a倍或1/a倍。（1）标准差的大小受多个变量值的影响，如变量间变异大，求得的标准差就大，反之则小。第三章试验资料特征数的计算（4）标准差与算术平均数的联合应用：（A）

的范围内，观察值个数约占全部总数的68.26%（B）

的范围内，观察值个数约占全部总数的95.45%（C）

的范围内，观察值个数约占全部总数的99.73%①在描述一组资料时集中量常用表示，变异量常用s

表示②

在正态分布情况下，样本观察值次数分布有如下规律：第三章试验资料特征数的计算例如：某试验小区小麦平均株高=72cm，s=9cm（1）

即63—81cm的小麦株数约占总数的68.26%（2）

即54—90cm的小麦株树约占总数的95.45%（3）

即45—99cm的小麦株树约占总数的99.73%第三章试验资料特征数的计算（5）标准差表示变量分布的离散程度，可用来判断平均数代表性的强弱。（6）以样本标准差代替总体标准差计算平均数标准误。（7）用于平均数的区间估计和变异系数计算。第三章试验资料特征数的计算当两组不同特性资料比较差异度时，单用标准差不能满足要求。例如：700名9岁男童身高=130.1±5.1(cm)

体重=26.05±3.0(kg)±S±S第三章试验资料特征数的计算（四）变异系数（variationcoefficient）

——样本的标准差与算术平均数的百分比通常,

一组重复试验数据的CV值在5%~15%之间，正常。CV值>15%，说明有计算错误或试验中可能有异常的随机干扰。经计算：身高CV=3.92%

体重CV=11.52%第三章试验资料特征数的计算样本总体容量nN均数μ

方差s2σ2标准差sσ样本统计量与总体参数的对应