题型五 新函数图象与性质探究题 2025年中考数学重难题型分类练含答案

2025年中考数学重难题型分类练习题型五新函数图象与性质探究题类型一新函数性质探究1.(2024吉林省卷)小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图①所示，输入x的值为-2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6.(1)直接写出k,a,b的值;(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图②.Ⅰ.当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；Ⅱ.若关于x的方程ax2+bx+3−t=0(t为实数),在(Ⅲ.若在函数图象上有点P，Q(P与Q不重合).P的横坐标为m，Q的横坐标为−m+1..小明对P，Q之间(含P，Q两点)的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围.2.(2023阜新)某中学数学兴趣小组的同学们,对函数y=a|x-b|+c(a，b，c是常数，a≠0)的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整.(1)当a=1,b=c=0时,即y=|x|.当x≥0时,函数化简为y=x;当x<0时,函数化简为y=;(2)当a=2,b=1,c=0时,即y=2|x-1|.①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表：x...-2-101234y6m20246其中m=_.②在图①所示的平面直角坐标系内画出函数y=2|x-1|的图象；(3)当a=-2,b=1,c=2时,即y=-2|x-1|+2.①当x≥1时,函数化简为y=,②在图②所示的平面直角坐标系内画出函数y=-2|x-1|+2的图象；(4)请写出函数y=a|x-b|+c(a,b,c是常数,a≠0)的一条性质：.(若所列性质多于一条，则仅以第一条为准)类型二与几何图形结合的函数性质探究3.(2024重庆A卷)如图,在△ABC中，AB=6,BC=8,点P为AB上一点，AP=x,过点P作PQ‖BC交AC于点Q.点P,Q的距离为y1,△ABC的周长与△APQ的周长之比为y₂.(1)请直接写出，y1(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y₁，y₂的图象，并分别写y1,y(3)结合函数图象，直接写出y14.(2023连云港)【问题情境建构函数】(1)如图①,在矩形ABCD中,AB=4,M是CD的中点，AE⟂BM,垂足为E.设BC=x,AE=y,试用含x的代数式表示y.【由数想形新知初探】(2)在上述表达式中，y与x成函数关系，其图象如图②所示.若x取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性?若有，请说明理由，并在图②上补全函数图象.【数形结合深度探究】(3)在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随x的增大而增大；②函数值y的取值范围是−42<y<42【抽象回归拓展总结】(4)若将(1)中的“AB=4”改成“AB=2k",，此时y关于x的函数表达式是；一般地，当k≠0,x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质(直接写出3条即可).类型三与实际问题结合的函数性质探究5.(2024北京)小云有一个圆柱形水杯(记为1号杯).在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来.新水杯(记为2号杯)示意图如下.当1号杯和2号杯中都有VmL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h₁(单位：cm)和2号杯的水面高度ℎ2(单位：cm)，部分数据如下：V/mL040100200300400500h₁/cm02.55.07.510.012.5h₂/cm02.84.87.28.910.511.8(1)补全表格(结果保留小数点后一位)；(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画ℎ1(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为cm(结果保留小数点后一位)；②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为cm(结果保留小数点后一位).6.(2023郴州)在实验课上，小明做了一个试验.如图①，在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体，在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g.在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡.改变托盘B与点C的距离xcm(0<x托盘B与点C的距离x/cm3025201510容器与水的总质量y₁/g1012152030加入的水的质量y₂/g57101525把上表中的x与y₁各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系y1中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图②所示的y₁关y(1)请在该平面直角坐标系中作出y2(2)观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测y₁与x之间的函数关系，并求y₁关于x的函数表达式；y1②求y2③当0<x≤60时，y₁随x的增大而(填“增大”或“减y1小”),y₂随x的增大而(填“增大”或“减小”),y₂的图象y2y2可以由y₁的图象向(填“上”或“下”或“左”或“右”)平移若在容器中加入的水的质量y2g满足题型五新函数图象与性质探究题1.解:(1)k的值为1,a的值为1,b的值为-2;【解法提示】∵x=-2<0,∴将x=-2,y=1代入y=kx+3,得-2k+3=1,解得k=1,∵x=2>0,x=3>0,∴将x=2,y=3和x=3,y=6代入y=ax2+bx+3,得{(2)Ⅰ.∵k=1,a=1,b=-2,∴一次函数解析式为y=x+3，二次函数解析式为y=x当：x>0时y=x当x≤0时,y=x+3,k=1>0,∴x≤0时，y随x的增大而增大，综上所述，x的取值范围为x≤0或x≥1；I.∵a∴ax∴问题转化为抛物线y=x∵对于y=x∴顶点为(1,2),如解图①,∴当t=2时，抛物线y=x∴当t<2时，抛物线y=x当.x=4,y=∴当t=11时,抛物线y=x∴当t≥11时,抛物线y=x综上所述，当t<2或t≥11时，抛物线y=x即当t<2或t≥11时，关于x的方程axⅢ.-1≤m≤0或1≤m≤2.【解法提示】∵x∴点P，Q关于直线x=12对称，∵图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，∴当x=1时，y最小值=1−2+3=2,,当x=0时,y最大值=3,当x=2时,y=3,当x=-1时,y=2,∴①当m>12时，如解图②，由题意得{−1≤slant−m+1≤slant02.解:(1)-x;【解法提示】y=|x|,当x<0时,函数化简为y=-x.(2)①4;【解法提示】当x=-1时,y=2|x-1|=2|-1-1|=4.②画出函数y=2lx-1|的图象如解图①所示；(3)①-2x+4;【解法提示】当x≥1时,函数化简为y=-2(x-1)+2=-2x+4.②画出函数y=-2|x-1|+2的图象如解图②所示;(4)当a>0时,函数y=a|x-b|+c的图象有最低点(b,c).(答案不唯一)3.解:1(2)画出函数图象如解图；根据函数图象，函数的性质为：①当0≤x≤6时,y₁随x的增大而增大;当0<x≤6时,y₂随x的增大而减小;②函数y₁在自变量的取值范围内，有最大值和最小值.当x=0时，函数取得最小值0；当x=6时，函数取得最大值8；函数y₂在自变量的取值范围内，有最小值.当x=6时，函数取得最小值1；(分别写出一条即可)(3)由函数图象得,当2.1<x≤6时,y₁>y₂.解题技巧当两个函数比较大小时，先求出交点，再根据图象可知谁大谁就在图象上方，即可求出函数在比大小时的取值范围.4.解:(1)在矩形ABCD中,∠ABC=∠C=90°,∴∠ABE+∠MBC=90°,∵AE⊥BM,∴∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°,∴∠AEB=∠C,∠BAE=∠MBC,∴△ABE∽△BMC,∴∵AB=4,M是CD的中点,∴CM=在Rt△BMC中,BM=∴∴y=∴y关于x的函数表达式为y=(2)x取任意实数时，对应的函数图象关于原点成中心对称，理由如下：若P(a，b)为图象上任意一点，则b=设P(a,b)关于原点的对称点为Q,则Q(-a,-b),当x=-a时,y=∴Q(-a,-b)也在函数y=4x∴当x取任意实数时，函数y=4x(3)①④;【解法提示】根据函数图象可得，函数值y随x的增大而增大,故①正确;∵在Rt△AEB中,AB为斜边,AE为直角边，∴函数值|y|<AB，故函数值y的取值范围为-4<y<4，故②错误；根据中心对称图形的性质，不存在一条直线与该函数图象有四个交点，故③错误；因为平行四边形是中心对称图形，则在图象上存在四点A,B,C,D,使得四边形ABCD是平行四边形,故④正确.4当k≠0，x取任意实数时，有如下相关性质：当k>0时，图象经过第一、三象限，函数值y随x的增大而增大,y的取值范围为-2k<y<2k;当k<0时,图象经过第二、四象限，函数值y随x的增大而减小，y的取值范围为2k<y<-2k；函数图象经过原点；函数图象关于原点成中心对称(答案不唯一，合理即可).5.解:(1)1.0;【解法提示】由题意得，设V与h₁的函数关系式为V=kℎ1k≠0(2)画出函数图象如解图①；(