2024-2025学年广东省广州八十九中高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages33页2024-2025学年广东省广州八十九中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z1=2+i，z2=a-i(aA.1 B.0 C.2 D.-2.已知a,b是平面内的一组基底，则下列四组向量中，能作为一组基底的是(

)A.a-2b和-a+2b B.a-b和a+b3.如图，正方形O'A'B'C'的边长为A.8cm

B.6cm

C.2(1+4.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2+c2A.π6 B.π3 C.2π5.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是(

)A.AB与HG相交

B.AB与EF平行

C.AB与CD相交

D.EF与CD异面6.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=15°，∠BDC=135°，CD=20m，在点C测得塔顶A的仰角为60°A.30m

B.202m

C.7.设向量α,β的夹角为θ，定义：α⊗β=|α||β|sinθ.若平面内不共线的两个非零向量a,b满足：A.32 B.3 C.18.已知点O为△ABC的外心，且向量AO=λAB+(1-λ)AC，λ∈R，若向量BAA.32 B.55 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=3-4i(i为虚数单位)A.|z|=5

B.复数1z的虚部为-425

C.若z对应的向量为OA,1+i对应的向量为OB，则向量AB对应的复数为-2+5i

10.在△ABC中，下列结论中，正确的是(

)A.若sin2A=sinB，则△ABC是等腰三角形

B.若sinA>sinB，则A>B

C.若AB2+AC211.如图，ABCD是边长为2的正方形，AA1，BB1，CC1，DD1都垂直于底面ABCD，且DD1=32AAA.A1，B1，C1，D1四点共面

B.该几何体的体积为6

C.过四点A1，C1，B，D四点的外接球表面积为12π

D.截面四边形BED1F的周长的最小值为12.如图，已知正方形ABCD的边长为3，且BF=12(BC+BD13.下列命题正确的有______．

①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l//α

②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的所有直线都平行

③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点

④如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行14.已知四棱锥P-ABCD的5个顶点都在球O的球面上，且PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=4，CD=3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(3,2),b=(x,-1)．

(1)当(a+2b)⊥(2a-b)，且x>0时，求|16.(本小题15分)

如图，圆锥PO的底面直径和高均是a，过PO上的一点O'作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱．

(1)若O'是PO的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积；

(2)当OO'17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2为菱形，∠DAB=60°，△PAD是以PA为斜边的等腰直角三角形，F，G分别是PB，CD的中点．

(1)求证：GF//平面PAD；

(2)设E为AB的中点，过E，F，G三点的截面与棱PC交于点18.(本小题17分)

在斜△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin2C+ccosA=b，且cosB=17．

(1)求sinA；

(2)若点19.(本小题17分)

如图，半圆O的直径为4cm，A为直径延长线上的点，OA=4cm，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.设∠AOB=α．

(1)当α=π3时，求四边形OACB的周长；

(2)克罗狄斯⋅托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段

参考答案1.C

2.B

3.A

4.C

5.D

6.D

7.A

8.D

9.ACD

10.BD

11.ACD

12.9213.③

14.196315.解：(1)∵(a+2b)⊥(2a-b)⇔(a+2b)⋅(2a-b)=0，

a+2b=(3+2x,0)，2a-b=(6-x,5)，∴(3+2x)(6-x)+0×5=0，解得x16.解：(1)设圆柱的底面半径为r，

由三角形中位线定理可得，r=a4，圆柱的母线长为OO'=a2，

又圆锥的母线长为l=a2+a24=52a，

所以圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为圆锥的表面积加上圆柱的侧面积，

则S=π×(a2)2+π×a2×17.(1)证明：如图，取PA中点H，连接FH，HD，

因为F为PB中点，所以HF//AB，且HF=12AB，

又因为四边形ABCD为菱形，且G为CD中点，

所以DG//AB，且DG=12AB，

所以HF//DG，且HF=DG，所以四边形HDGF为平行四边形，

所以GF//HD，

因为GF⊄平面PAD，HD⊂平面PAD，

所以GF//平面PAD；

(2)解：Q为PC的中点，

证明如下：因为CG//BE且CG=BE，故BCGE为平行四边形，故EG//BC，

EG⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，故EG//平面PBC，

18.解：(1)因为asin2C+ccosA=b，

由正弦定理可得：sinAsin2C+sinCcosA=sinB=sinAcosC+cosAsinC，

所以2sinAsinCcosC=sinAcosC，

因为cosC≠0，sinA≠0，

所以sinC=12，而C∈(0,π)，

所以C=5π6或π6，

当C=5π6时，因为cosB=17<cosπ6，

所以B>π6，此时B+C>π，不符合条件；

所以C19.解：(1)半圆O的直径为4cm，A为直径延长线上的点，OA=4cm，

B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，设∠AOB=α，

△ABO中，OA=4，OB=2，∠AOB=α=π3，

由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA⋅OB⋅cosα=16+4-2×4×2×12=12，

即AB=23，于是四边形OACB的周长为