重庆市2024届高三数学3月适应性月考七试卷含答案

2024届高考适应性月考卷（七）数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题的否定为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，结合命题，直接求解即可.【详解】命题的否定为：.故选：A.2.已知向量，则（）A.1 B.2 C.6 D.1或者2【答案】D【解析】【分析】求出坐标，再根据列方程求解.【详解】由已知，又，所以，解得1或者2故选：D.3.中国的技术领先世界，技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽､信道内所传信号的平均功率､信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至2500，则大约增加了（）（附：）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合对数运算法则以及参考数据，直接求解即可.【详解】令，不妨设时，对应的最大信息传送速率为，时，对应的最大信息传送速率为，则，故将信噪比从1000提升至2500，则大约增加了.故选：B.4.2024年春节期间，有《热辣滚烫》､《飞驰人生2》､《第二十条》､《熊出没·逆转时空》､《红毯先生》等五部电影上映，小李准备和另3名同学一行去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小李看《热辣滚烫》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出基本事件总数，再求出满足小李看《热辣滚烫》，且4人中恰有两人看同一部电影的方案数，最后根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】依题意每位同学均有种选择，则四位同学一共有种方案，若小李看《热辣滚烫》，且4人中恰有两人看同一部电影，有①两人看《热辣滚烫》，则有种方案，②一人看《热辣滚烫》，则有种方案，即满足小李看《热辣滚烫》，且4人中恰有两人看同一部电影一共有种方案，所以所求概率.故选：C5.已知偶函数在上单调递减，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的单调性与奇偶性，结合自变量的大小关系判断即可.【详解】因为为偶函数，故，又因为，且，故，则.故，又在上单调递减，则，即.故.故选：C6.已知数列满足单调递增，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先通过得到数列为等比数列，求出其通项公式，再根据单调递增列不等式求解.【详解】由得，又单调递增，故，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，又单调递增，所以对任意正整数恒成立，所以，得，故选：D.7.已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简得，再求出的范围，再根据零点个数列不等式求解.【详解】由已知，令，得，又当时，，因为函数在上恰有两个零点，所以，解得故选：B.8.已知圆上两点满足，则的最小值为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由发现，又的几何意义是两点到直线的距离之和的倍，进而利用数形结合即可求解.【详解】由得，即，则.因为，所以，由点到直线的距离公式可知表示两点到直线的距离之和的倍，如图所示：设的中点分别为，易知，由梯形的中位线可得，则，即点到直线的距离之和的4倍，因为是直角三角形，所以，则点在圆上运动，显然，最小值为原点到直线距离与圆半径之差的4倍，原点到直线距离，半径，所以的最小值为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，将转化为两点到直线的距离之和的倍，从而得解.二､多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列命题正确的是（）A.已知，若，则B.若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数C.数据的均值为4，标准差为1，则这组数据中没有大于5的数D.数据的75百分位数为47【答案】ABD【解析】【分析】对于A：利用正态分布的对称性判断；对于B：根据相关的概念判断；对于C：举反例说明；对于D：直接求75百分位数.【详解】对于A：已知，若，则，A正确；对于B：若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则变量与变量之间满足线性函数关系，则决定系数，B正确；对于C：不妨设，则，解得，此时，故找到一组数，数据中有大于5的数，C错误；对于D：，故这组数据的75百分位数为47，D正确.故选：ABD.10.已知，动点满足与的斜率之积为，动点的轨迹记为轴，垂足为关于原点的对称点为交的另一交点为，则下列说法正确的是（）A.的轨迹方程为：B.面积有最小值为C.面积有最大值为D.为直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】对A：设点，根据题意，结合斜率计算公式，列出方程，整理化简即可；对BC，求得与平行且与椭圆相切的直线方程，结合三角形面积公式，数形结合即可求得△面积的最值；对D：根据，求得，即可判断.【详解】对A：设点的坐标为，显然，由题可得：，整理可得，故的轨迹方程为，故A正确；对BC：因为，故可得所在直线方程为：；设与直线平行，且与的轨迹相切的直线方程为，联立直线与椭圆方程，可得，由，可得；数形结合可知，与重合时，也即点为直线与椭圆的切点时，△的面积取得最大值，此时，到直线的距离，又；故△面积的最大值为；同时，数形结合可知，△的面积没有最小值；故B错误，C正确；对D：设点，则，则，，又点均在椭圆上，则，两式做差可得，则，也即；故，故，也即△为直角三角形，D正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题BC选项处理的关键是，求得与直线平行且与椭圆相切的直线方程，数形结合解决问题；D选项处理的关键是利用椭圆第三定义，结合斜率关系求解；属综合困难题.11.正方形的边长为2，点是的中点，点是的中点，点是的中点，将正方形沿折起，如图所示，二面角的大小为，则下列说法正确的是（）A.当时，与所成角的余弦值为B.当时，三棱锥外接球的体积为C.若，则D.当时，与平面所成角的正弦值为【答案】BD【解析】【分析】依题意可得为二面角的平面角，则与所成角等于，利用锐角三角函数计算即可判断A，记的中点为，则的外接球球心在过点且垂直于平面的直线上，理由勾股定理求出外接球的半径，即可判断B，过作，垂足为，即可证明平面，从而得到与平面所成角为，求出，即可判断D，结合D求出当时的值，即可判断C.【详解】依题意在正方形中，点是的中点，点是的中点，所以，所以，，，平面，所以平面，又，所以平面，又平面，所以，所以为二面角的平面角，即，当时，与所成角等于与所成角，此时，故A错误；记的中点为，为等腰直角三角形，则的外接球球心在过点且垂直于平面的直线上，又，设球心为，外接球的半径为，设，则有，解得，故的外接球的体积，故B正确；过作，垂足为，因为平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，则，，，，当时，与平面所成角为，此时，，，，所以，故D正确；当不为钝角时，所以，又，则，当钝角时，，，，，由，所以，又，则无解，故C错误；故选：BD．【点睛】方法点睛：（1）求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．（2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知关于的方程的两个复数根记为，则__________.【答案】【解析】【分析】根据韦达定理求解即可.【详解】由韦达定理可得，，故.故答案为：13.已知分别为双曲线的左､右焦点，过左焦点的直线交双曲线左支于两点，且，则该双曲线的离心率__________.【答案】【解析】【分析】设，利用条件和双曲线的定义求出，，然后在和中利用勾股定理列方程组求解.【详解】设，则，所以因为所以，即由得，代入得即离心率.故答案为：.14.已知函数的图象在点和处的两条切线互相垂直，且分别交轴于两点，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由题意分别表示出，，两直线相互垂直可得，进而根据切线方程，结合两点间的距离公式可得，再根据求解即可.【详解】作图可得的零点为1，故不妨设，，则，，当时，，当时，由导数的几何意义知，．因为的图象在P，Q两点处的切线互相垂直，所以，即．因为：，即，：，即，则，，因为，且，故，故的取值范围为.故答案为：四､解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在中，内角所对的边分别为，已知，边上的中线长为6.（1）若，求；（2）求面积的最大值.【答案】（1）（2）24【解析】【分析】（1）根据余弦定理与正弦定理化简可得，再根据直角三角形中勾股定理求解即可；（2）设，由余弦定理与同角三角和的关系可得，再根据二次函数的最值求解即可.【小问1详解】由有，故，由正弦定理可得，故，即，又，故若，则，故，则为直角三角形.设，则，则，解得.故.【小问2详解】由（1）可得，则.设，则，由余弦定理可得，即，由可得，故.故，当时取得最大值，为.16.已知正项数列的前项和为，且满足，，数列为正项等比数列，且依次成等差数列.（1）求的通项公式；（2）设，的前项和为，问是否存在正整数使得成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1），（2）存在，【解析】【分析】（1）根据，作差得到，从而得到的奇数项、偶数项分别为等差数列，从而求出其通项公式，设等比数列的公比为，利用等差中项的性质及等比数列通项公式求出，即可求出的通项公式；（2）由（1）可得，则，利用放缩法证明，即可得解【小问1详解】因为，，当时，，所以；当时，，所以，即．，可得，所以的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，偶数项是以为首项，为公差的等差数列，所以，，综上可得；设等比数列的公比为，因为依次成等差数列，所以，，所以，解得或．因为为正项等比数列，故，由，则，所以．【小问2详解】由（1）可得，所以，则，当时，；当时，．所以存在，使得．17.已知函数在定义域上有两个极值点.（1）求实数的取值范围；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求导，然后利用判别式以及韦达定理求解；（2）计算，然后代入的值计算整理后构造函数，求导，利用函数单调性来求解.【小问1详解】由已知，因为函数在定义域上有两个极值点，所以，解得，所以实数的取值范围为；【小问2详解】由（1）得，，即两个极值点为方程的两根，则，所以代入得，其中，则，得，设，则，当时，，即在上单调递增，又，所以.18.如图所示，已知在四棱柱中，所有的棱长均为2，侧面底面为的中点，为棱上的动点（含端点），过三点的截面记为平面.（1）是否存在点使得底面？请说明理由；（2）当平面与平面所成二面角的余弦值为时，试求平面截得四棱柱两部分几何体的体积之比（体积小的部分作比值的分子）.【答案】（1）存在，理由见解析；（2）；【解析】【分析】（1）以中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，写出剩余点的坐标，求得平面与平面的法向量，根据其法向量数量积为零，求得参数，即可判断；（2）根据（1）中所求，由二面角的余弦值求得的坐标，再作出平面截几何体的截面，根据棱台和棱柱的体积计算公式即可求得结果.【小问1详解】连接，取中点为，连接，因为，故三角形为等边三角形，则；因为面面，面面面，故面；又面，故；在三角形中，因为，三角形为等边三角形，则；综上两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：又，故，设，，则，即；因为面，故取平面的法向量为；又，设平面的法向量为，则，则，取，则；故平面的法向量为；若存在点使得底面，则，即，解得；故存在点，当其与重合时，平面底面.【小问2详解】设平面与平面所成二面角为，由题可得，即，整理得：，解得（舍去）或.故当为上靠近的三等分点时，平面与平面所成二面角的余弦值为；此时，取上靠近点的三等分点为，取上靠近点的三等分点为，连接，如下所示：在三角形中，分别为中点，故//，又////，且，故四边形平行四边形，则////，则平面与平面是同一个平面；又；，，由（1）知，，面，故面，则棱台的高为，则，两部分体积分别为和，故体积之比为.【点睛】关键点点睛：处理本题第二问的关键一是准确求得平面的法向量，二是根据两平行线可以确定一个平面作出平面的截面，进而通过棱柱和棱台的体积公式进行计算.19.已知抛物