苏科版第二学期七年级数学期中复习卷（14）(含详解)

第二学期七年级数学期中复习卷（14）第Ⅰ卷选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）1．（2分）未来计算机发展方向是让计算机能看、能听、能说、会思考!下列表示计算机视觉交互应月的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列计算正确的是（）A．4m3﹣2m＝2m2 B．m6÷m2＝m3 C．m2•m4＝m6 D．（m2）3＝m53．（2分）从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（）A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）4．（2分）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（）A．（a+2）（2+a） B．（a+b）（a﹣b） C．（2a+b）（a﹣2b） D．（a﹣b）（a﹣b）5．（2分）为了“践行垃圾分类•助力双碳目标”的活动，学校的小亮和小芬一起收集了一些废电池，小亮说：“我比你多收集了5节废电池．”小芬说：“如果你给我6节废电池，此时我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设小亮收集了m节废电池，小芬收集了n节废电池，根据题意可列方程组为（）A．m−n=52(C．m−n=56．（2分）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（）A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米7．（2分）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在斜边AB上，则∠AB′C′的度数为（）A．40° B．50° C．70° D．20°8．（2分）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（）A．3 B．19 C．21 D．289．（2分）已知关于x，y的二元一次方程组x+3y=4−①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；④若用x表示y．则y=−A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④10．（2分）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出2y个球放入丙袋，最后从丙袋中取出（2x+2y）球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则2x+y的值等于（）A．512 B．128 C．64 D．32第Ⅱ卷二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）11．（2分）若2m•2n＝16，则m+n的值．12．（2分）若关于x，y的二元一次方程组2x−y=5kx+y=k的解也是方程3x﹣2y＝8的解，则k13．（2分）如图，甲、乙两只蚂蚁同时经过A处向洞口O处走，甲走的路线为过点A、B、C、D、E、F、G、H、O的折线，乙走的路线为折线AMO，图中线段分别平行，如果速度相等，请判断先回到洞中（选择填“甲先”或“乙先”或“同时”）．14．（2分）已知m=154344，n=54315．（2分）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和35，则图乙的面积为．16．（2分）计算（x+a）（x﹣1）的结果中不含关于字母x的一次项，则a＝．17．（2分）观察下列各式及其展开式（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5⋯．请你猜想（2x﹣1）11的展开式中含x2项的系数是．18．（2分）已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，现将图中的△ABC绕点F按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为秒．三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）19．（6分）解下列方程组：（1）y=x−2x+y=6；20．（6分）幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x，y是正整数），则x＝y．利用上面的结论解答下列问题：（1）若8x＝28×210，求x的值；（2）若5x+1﹣5x＝102，求x的值．21．（8分）（1）如图1，过三角形ABC的顶点B画直线BE∥AC，过点C画AB的垂线段CF．（2）如图2，在方格中平移三角形ABC，使点A移到点M，点B，C应移动到什么位置？再将A由点M移到点N？分别画出两次平移后的三角形．22．（8分）（1）若用四个完全相同的这样的长方形（长为a、宽为b）拼成如图1的正方形，请用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之间的等量关系式：；（2）类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，①如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：（a+b）3＝．②利用上面所得的结论解答：a+b＝6，ab＝7，求a3+b3的值．23．（8分）中国篮球联赛（CBA）决赛的门票价格如下表：等级ABC票价（元/张）未知未知150小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，则购票款多出了200元；若购买5张A等票和1张B等票，则购票款还缺100元．（1）若小聪购买1张A等票和5张B等票共需花费多少元？（2）若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，则他购买的门票总数为张（该小题直接写出答案，不必写出过程．）24．（8分）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．（1）计算下列各对数的值：log24＝；log216＝；log264＝．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？（4）根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义说明上述结论．25．（10分）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明．（1）【方法理解】已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是（6﹣x）．①当0＜x＜3时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是.如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式x（6﹣x）、9、（3﹣x）2满足的等量关系是；②当3＜x＜6时，类似上述过程进行割补；③当x＝3时，该长方形即为正方形．综上分析，周长是12的长方形的最大面积是；（2）【方法迁移】当﹣2＜x＜6时，仿照上述割补过程，求代数式（6﹣x）（4+2x）的最大值．26．（10分）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．（1）填空：∠PNB+∠PMD∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．①当NO∥EF，PM∥EF时，求α的度数；②小安将三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数（用含α的式子表示）．

答案与解析第Ⅰ卷选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）1．（2分）未来计算机发展方向是让计算机能看、能听、能说、会思考!下列表示计算机视觉交互应月的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【思路指引】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【完整解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：A．【考点点拨】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2分）下列计算正确的是（）A．4m3﹣2m＝2m2 B．m6÷m2＝m3 C．m2•m4＝m6 D．（m2）3＝m5【思路指引】根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法及幂的乘方与积的乘方进行计算，逐一判断即可．【完整解答】解：A．原式不能合并同类项，故本选项不符合题意；B．原式＝m4，故本选项不符合题意；C．原式＝m6，故本选项符合题意；D．原式＝m6，故本选项不符合题意．故选：C．【考点点拨】本题主要考查合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上以上知识点是解题的关键．3．（2分）从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（）A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【思路指引】运用不同方法表示阴影部分面积即可得到结论．【完整解答】解：图1中阴影部分的面积为：a2﹣b2，图2中阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b），∵两图中阴影部分的面积相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴可以验证成立的公式为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：D．【考点点拨】本题主要考查了平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．4．（2分）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（）A．（a+2）（2+a） B．（a+b）（a﹣b） C．（2a+b）（a﹣2b） D．（a﹣b）（a﹣b）【思路指引】根据平方差公式的形式求解即可．【完整解答】解：根据平方差公式逐项分析判断如下：A、（a+2）（2+a）不可以用平方差公式计算，不符合题意；B、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，可以用平方差公式计算，符合题意；C、（2a+b）（a﹣2b）不可以用平方差公式计算，不符合题意；D、（a﹣b）（a﹣b）可以用平方差公式计算，不符合题意；故选：B．【考点点拨】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．5．（2分）为了“践行垃圾分类•助力双碳目标”的活动，学校的小亮和小芬一起收集了一些废电池，小亮说：“我比你多收集了5节废电池．”小芬说：“如果你给我6节废电池，此时我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设小亮收集了m节废电池，小芬收集了n节废电池，根据题意可列方程组为（）A．m−n=52(C．m−n=5【思路指引】设小亮收集了m节废电池，小芬收集了n节废电池，小亮说：“我比你多收集了5节废电池．”小芬说：“如果你给我6节废电池，此时我的废电池数量就是你的2倍．”据此列出方程组即可．【完整解答】解：根据题意可得：m−故选：A．【考点点拨】此题考查了二元一次方程的应用，理解题意是关键．6．（2分）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（）A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米【思路指引】设小长方形纸片的长为x厘米，宽为y厘米，由大长方形的宽为60厘米，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【完整解答】解：设小长方形纸片的长为x厘米，宽为y厘米，根据题意得：x+y=603x=2x+3y解得：x=45y=15则每个小长方形的周长＝2（x+y）＝120（厘米），故选：D．【考点点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．7．（2分）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在斜边AB上，则∠AB′C′的度数为（）A．40° B．50° C．70° D．20°【思路指引】利用旋转的性质得出∠BAB′＝40°，AB＝AB′，进而利用直角三角形的两锐角互余得出∠AB′C′的度数．【完整解答】解：∵把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，∴∠BAB′＝40°，∠ACB'＝90°，∴∠AB′C′＝90°﹣∠BAB′＝90°﹣40°＝50°，故选：B．【考点点拨】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，得出∠BAB′＝40°是解题关键．8．（2分）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（）A．3 B．19 C．21 D．28【思路指引】设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据题意分别得到（x+y）2＝64，（x﹣y）2＝6，两式相加可得x2+y2＝35，在图1中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得阴影部分面积．【完整解答】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD＝x，EF＝y，AE＝x+y＝8，∴（x+y）2＝64，∴x2+y2+2xy＝64，∵点H为AE的中点，∴AH＝EH＝4，∵图2的阴影部分面积＝（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝6，∴（x+y）2+（x﹣y）2＝64+6，∴x2+y2＝35，∴图1的阴影部分面积＝x2+y2−12×4•x＝x2+y2﹣2（x+y）＝35﹣2×8＝19，故选：B．【考点点拨】本题考查了整式的加减，完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．9．（2分）已知关于x，y的二元一次方程组x+3y=4−①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；④若用x表示y．则y=−A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【思路指引】根据方程组的解法可以得到x+y＝2+a，①令x+y＝0，即可求出a的值，验证即可，②由①得x+y＝0，而x+y＝4+2a，求出a的值，再与a＝1比较得出答案，③解方程组可求出方程组的解，再代入x+2y求值即可，④用含有x、y的代数式表示a，进而得出x、y的关系，【完整解答】解：关于x，y的二元一次方程组x+3y=4−①+②得，2x+2y＝4+2a，即x+y＝2+a，①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，∴a＝﹣2，故①正确；②原方程组的解满足x+y＝2+a，当a＝1时，x+y＝3，而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，因此②不正确；③方程组x+3y=4−解得x=2a+1y=1∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3，因此③是正确的；④方程组x+3y=4−由方程①得，a＝4﹣x﹣3y，代入方程②得，x﹣y＝3（4﹣x﹣3y），∴y=−因此④是正确的．故选：C．【考点点拨】此题考查二元一次方程组的解法和应用，正确地解出方程组的解是解决问题的关键．10．（2分）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出2y个球放入丙袋，最后从丙袋中取出（2x+2y）球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则2x+y的值等于（）A．512 B．128 C．64 D．32【思路指引】先表示出调整后三个袋子中的球的数量，再根据球的总数和三只袋中球的个数相同得到5+2y＝37，53﹣2x＝37，则2x＝32，2y＝16，再由2x+y＝2x•2y进行求解即可．【完整解答】解：调整后，甲袋中有29﹣2x+2x+2y＝（29+2y）个球，乙袋中有（29+2x﹣2y）个球，丙袋中有53+2y﹣2x﹣2y＝（53﹣2x）个球．∵一共有53+53+5＝111球，且调整后三只袋中球的个数相同，∴调整后每只袋中有111÷3＝37（个）球，∴29+2y＝37，53﹣2x＝37，∴2x＝16，2y＝8，∴2x+y＝2x•2y＝8×16＝128．故选：B．【考点点拨】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，掌握同底数幂的运算性质是解题的关键．第Ⅱ卷二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）11．（2分）若2m•2n＝16，则m+n的值4．【思路指引】根据题意可得2m+n＝24，进而可求解．【完整解答】解：∵2m•2n＝16，∴2m+n＝24，∴m+n＝4，故答案为：4．【考点点拨】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．12．（2分）若关于x，y的二元一次方程组2x−y=5kx+y=k的解也是方程3x﹣2y＝8的解，则k【思路指引】先利用加减消元法解二元一次方程组，用含k的代数式表示x、y，再把x、y的值代入方程3x﹣2y＝8得关于k的一元一次方程，求解得结论．【完整解答】解：2x−①+②，得3x＝6k，∴x＝2k．把x＝2k代入②，得2k+y＝k，∴y＝﹣k．又∵3x﹣2y＝8，∴6k+2k＝8．∴k＝1．故答案为：1．【考点点拨】本题考查了二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法、一元一次方程的解法等知识点是解决本题的关键．13．（2分）如图，甲、乙两只蚂蚁同时经过A处向洞口O处走，甲走的路线为过点A、B、C、D、E、F、G、H、O的折线，乙走的路线为折线AMO，图中线段分别平行，如果速度相等，请判断同时先回到洞中（选择填“甲先”或“乙先”或“同时”）．【思路指引】根据平移的性质即可解决问题．【完整解答】解：将甲所走路线中的横向线段向上平移，纵向线段向左平移，则平移后甲的路线即为最大网格正方形的上边和左边．又因为乙所走的路线为最大网格正方形的下边和右边，所以甲、乙所走路程相等．又因为它们爬行的速度相等，所以它们同时回到洞中．故答案为：同时．【考点点拨】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．14．（2分）已知m=154344，n=543【思路指引】根据积的乘方的性质将m的分子转化为以3和5为底数的幂的积，然后化简从而得到m＝n，再根据任何非零数的零次幂等于1解答．【完整解答】解：∵m=15∴m＝n，∴2016m﹣n＝20160＝1．故答案为：1．【考点点拨】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方的性质，难点在于转化m的分母并得到m＝n．15．（2分）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和35，则图乙的面积为75．【思路指引】结合图形面积公式和完全平方公式进行列式、求解．【完整解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，可得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝5，（a+b）2﹣（a2+b2）＝a2+2ab+b2﹣a2﹣b2＝2ab＝35，∴图乙的面积为：（a+b）2＝a2+2ab+b2＝a2﹣2ab+b2+4ab＝（a﹣b）2+2ab×2＝5+35×2＝5+70＝75，故答案为：75．【考点点拨】此题考查了完全平方公式几何意义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识和数形结合思想．16．（2分）计算（x+a）（x﹣1）的结果中不含关于字母x的一次项，则a＝1．【思路指引】先根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后根据结果不含x的一次项，求出a的值即可．【完整解答】解：（x+a）（x﹣1）＝x2﹣x+ax﹣a＝x2+（a﹣1）x﹣a，∵结果中不含关于字母x的一次项，∴a﹣1＝0，∴a＝1．故答案为：1．【考点点拨】本题考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．17．（2分）观察下列各式及其展开式（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5⋯．请你猜想（2x﹣1）11的展开式中含x2项的系数是﹣220．【思路指引】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出（a+b）11的展开式第三项的系数．【完整解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，……依据规律可得到：（a+b）2倒数第三项的系数为1，（a+b）3倒数第三项的系数为3＝1+2，（a+b）4倒数第三项的系数为6＝1+2+3，…∵（2x﹣1）11展开式有12项，其中含有x2的是第10项为：1+2+3+…+9+10＝55，∴含有x2项的系数为：22×（﹣1）9×55＝﹣220，故答案为：﹣220．【考点点拨】本题主要考查了完全平方公式，数字的规律变化，多项式．关键要能够写出11次方时候倒数第三项的系数，将a、b分别换成2x、﹣1．18．（2分）已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，现将图中的△ABC绕点F按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为2或8或10秒．【思路指引】分三种情形讨论：①当DE∥AC时．②当DE∥BC时．③当DE∥AB时，分别求出∠DFB即可解决问题．【完整解答】解：∵∠E＝∠ABC＝30°，∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，∴∠D＝∠A＝60°．①当DE∥AC时，如图1中，∵∠C＝90，∴AC⊥BC，∴DE⊥BC，∴∠D+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝90°﹣60°＝30°，∴旋转时间t=3015=②如图2中，当DE∥BC时，∠BFE＝∠E＝30°，∴∠DFB＝90°+30°＝120°，∴旋转时间t=12015=③当DE∥AB时，如图3中，∴∠BGF＝∠E＝30°，∴∠BFE＝30°+30°＝60°，∴∠DFB＝60°+90°＝150°，∴旋转时间t=15015=综上所述，旋转时间为2s或8s或10s时，△ABC恰有一边与DE平行．故答案为：2或8或10．【考点点拨】本题考查旋转的性质、平行线的性质、旋转的速度、旋转角度、旋转时间之间的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）19．（6分）解下列方程组：（1）y=x−（2）3x+4y=65x+2y=10【思路指引】（1）根据解二元一次方程组的方法，利用代入消元法解方程组即可；（2）根据解二元一次方程组的方法，利用加减消元法解方程组即可．【完整解答】解：（1）y=x−把①代入②，得x+x﹣2＝6，解得：x＝4，把x＝4代入①，得y＝4﹣2＝2，∴方程组的解为x=4y=2（2）3x+4y=6①5x+2y=10②②×2，得10x+4y＝20③，③﹣①，得7x＝14，解得：x＝2，把x＝2代入①，得3×2+4y＝6，解得：y＝0，∴方程组的解为x=2y=0【考点点拨】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法是解题的关键．20．（6分）幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x，y是正整数），则x＝y．利用上面的结论解答下列问题：（1）若8x＝28×210，求x的值；（2）若5x+1﹣5x＝102，求x的值．【思路指引】（1）对等号的左右两边进行变形，找到等量关系，列出方程式即可得出答案；（2）对等号的左右两边进行变形，找到等量关系，列出方程式即可得出答案．【完整解答】解：（1）∵8x＝（23）x＝23x，28×210＝218，∴23x＝218，∴3x＝18，∴x＝6．（2）∵5x+1﹣5x＝5x×（5﹣1）＝4×5x，102＝100＝4×25＝4×52，∴4×5x＝4×52，∴x＝2．【考点点拨】本题主要考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．21．（8分）（1）如图1，过三角形ABC的顶点B画直线BE∥AC，过点C画AB的垂线段CF．（2）如图2，在方格中平移三角形ABC，使点A移到点M，点B，C应移动到什么位置？再将A由点M移到点N？分别画出两次平移后的三角形．【思路指引】（1）过三角形ABC的顶点B画直线BE∥AC，过点C画AB的垂线段CF即可；（2）根据图形平移的性质画出平移后的三角形即可．【完整解答】解：（1）如图1，BE∥AC，CF⊥AB；（2）如图2，△MB′C′，△NB″C″即为所求．【考点点拨】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．22．（8分）（1）若用四个完全相同的这样的长方形（长为a、宽为b）拼成如图1的正方形，请用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之间的等量关系式：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2）类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，①如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．②利用上面所得的结论解答：a+b＝6，ab＝7，求a3+b3的值．【思路指引】（1）根据题意，用两种不同方法计算出阴影部分的面积即可解决问题；（2）①用两种不同的方法计算出大正方体的体积即可解决问题；②根据①中发现的结论即可解决问题．【完整解答】解：（1）由图1可知，小正方形的边长为a﹣b，所以图1中阴影部分的面积可表示为：（a﹣b）2．图1中大正方形的面积为（a+b）2，周围四个小长方形的面积之和为4ab，所以图1中阴影部分的面积可表示为：（a+b）2﹣4ab，由此可得，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2）①由图2可知，大正方体的体积可表示为：（a+b）3．大正方体的体积还可表示为八个小长方体的体积之和：a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3＝a3+3a2b+3ab2+b3，所以（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．故答案为：a3+3a2b+3ab2+b3；②因为a+b＝6，ab＝7，所以a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b）＝63﹣3×7×6＝90，故a3+b3＝90．【考点点拨】本题主要考查了完全平方公式的几何背景及认识立体图形，能用不同的方法求出同一个图形的面积或同一个几何体的体积是解题的关键．23．（8分）中国篮球联赛（CBA）决赛的门票价格如下表：等级ABC票价（元/张）未知未知150小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，则购票款多出了200元；若购买5张A等票和1张B等票，则购票款还缺100元．（1）若小聪购买1张A等票和5张B等票共需花费多少元？（2）若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，则他购买的门票总数为8或9或10张（该小题直接写出答案，不必写出过程．）【思路指引】（1）根据购买2张A等票和5张B等票，则购票款多出了200元；购买5张A等票和1张B等票，则购票款还缺100元，分别得出方程，组成方程组求即可；（2）根据题意与C等票的价格可得，购买C等票的数量只能为偶数，利用凑整法分别求出符合题意的答案．【完整解答】解：（1）设购买1张A等票需要x元，1张B等票需花费y元，根据题意可得：2x+5y=25005x+y=2800解得x=500y=300故500+5×300＝500+1500＝2000（元），所以小聪购买1张A等票和5张B等票共需花费2000元，答：小聪购买1张A等票和5张B等票共需花费2000元；（2）若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，由“500×A等票+300×B等票+150×C等票＝2700元”可得购买C等票的数量为偶数，则他购买门票的方案是：①当购买C等票2张时，剩余的2400元可购买A等票3张，B等票3张，共8张；②当购买C等票4张时，剩余的2100元可购买A等票3张，B等票2张，共9张；③当购买C等票6张时，剩余的1800元可购买A等票3张，B等票1张，共10张．∴他购买的门票总数为8或9或10张．故答案为：8或9或10．【考点点拨】此题主要考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，准确找出题目中的等量关系是解题关键．24．（8分）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．（1）计算下列各对数的值：log24＝2；log216＝4；log264＝6．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？（4）根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义说明上述结论．【思路指引】（1）根据题中给出已知概念，可得出答案．（2）观察可得：三数4，16，64之间满足的关系式为：log24+log216＝log264．（3）通过分析，可知对数之和等于底不变，各项b值之积；（4）首先可设设M＝am，N＝an，再根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义证明结论．【完整解答】解：（1）log24＝2；log216＝4；log264＝6，故答案为：2；4；6；（2）∵4×16＝64，∴log24+log216＝log264；（3）logaM+logaN＝logaMN；（4）设M＝am，N＝an，∵logaam=mlogaam+∴loga∴logaM+【考点点拨】本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．25．（10分）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明．（1）【方法理解】已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是（6﹣x）．①当0＜x＜3时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是3﹣x.如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为3﹣x的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式x（6﹣x）、9、（3﹣x）2满足的等量关系是x（6﹣x）＝9﹣（3﹣x）2；②当3＜x＜6时，类似上述过程进行割补；③当x＝3时，该长方形即为正方形．综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9；（2）【方法迁移】当﹣2＜x＜6时，仿照上述割补过程，求代数式（6﹣x）（4+2x）的最大值．【思路指引】（1）根据图形面积的求法整理算式即可得到答案；理解材料的用意，可画出3＜x＜6时的图形．（2）先将代数式（6﹣x）（4+2x）化为