高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.1直线与平面垂直的判定

2.3直线、平面垂直判定及其性质2.3.1直线与平面垂直判定1/34目标导航课标要求1.了解线面垂直定义和判定定理.2.能利用线面垂直判定定理证实一些空间位置关系简单命题.3.能在简单几何体中计算线面角.素养达成经过线面垂直定义和判定定理学习,锻炼了学生逻辑思维能力、空间想象能力,促进直观想象、逻辑推理等关键素养达成.2/34新知探求课堂探究3/34新知探求·素养养成点击进入情境导学知识探究1.直线与平面垂直概念假如直线l与平面α内

都垂直,就说直线l与平面α相互垂直,记作

,直线l叫做平面α

,平面α叫做直线l

,直线与平面垂直时,它们唯一公共点叫做

.探究1:若直线a⊥平面α,直线b⊂α,则a与b相互垂直吗?答案:垂直.任意一条直线l⊥α垂线垂面垂足4/342.直线与平面垂直判定定理文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内都垂直,则该直线与此平面垂直两条相交直线a∩b=P探究2:若直线a⊥b,直线a⊥c,且b⊂α,c⊂α,直线a⊥平面α吗?答案:不一定垂直,当b与c相交时,a⊥平面α.5/343.直线与平面所成角(1)如图,一条直线PA和一个平面α相交,但不和这个平面

,这条直线叫做这个平面斜线,斜线和平面交点A叫做

,过斜线上

一点向平面引垂线PO,过垂足O和

直线AO叫做斜线在这个平面上射影,平面一条斜线和它在平面上射影所成

,叫做这条直线和这个平面所成角.垂直斜足以外斜足斜足A锐角6/34(2)一条直线垂直于平面,称它们所成角是

;一条直线在平面内或一条直线和平面平行,称它们所成角是

角,于是,直线与平面所成角θ范围是0°≤θ≤90°.直角0°7/34自我检测1.(线面垂直性质)已知直线a⊥平面α,直线b∥平面α,则a与b关系为(

)(A)a∥b(B)a⊥b(C)a,b相交不垂直

(D)a,b异面不垂直B2.(线面垂直定理了解)以下条件中,能使直线m⊥α是(

)(A)m⊥b,m⊥c,b⊂α,c⊂α (B)m⊥b,b∥α(C)m∩b=A,b⊥α (D)m∥b,b⊥αD3.(线面垂直判定)若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于(

)(A)平面OAB (B)平面OAC(C)平面OBC (D)平面ABCC8/344.(直线与平面所成角)空间四边形ABCD四边相等,则它两对角线AC,BD关系是(

)(A)垂直且相交 (B)相交但不一定垂直(C)垂直但不相交 (D)不垂直也不相交C解析:取BD中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,所以BD⊥平面AOC,BD⊥AC,又BD,AC异面,故选C.9/345.(直线与平面所成角)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1与底面ABCD所成角正弦值为

.

答案:10/34题型一线面垂直概念与定理了解【例1】列说法中正确个数是(

)①若直线l与平面α内一条直线垂直,则l⊥α;②若直线l与平面α内两条直线垂直,则l⊥α;③若直线l与平面α内两条相交直线垂直,则l⊥α;④若直线l与平面α内任意一条直线垂直,则l⊥α;⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直,则l⊥α.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4课堂探究·素养提升解析:由直线与平面垂直判定定理和定义知正确是③④,故选B.11/34方法技巧线面垂直判定定理中,直线垂直于平面内两条相交直线,“相交”两字必不可少,不然,就是换成无数条直线,这条直线也不一定与平面垂直.12/34即时训练1-1:以下说法中错误是(

)①假如一条直线和平面内一条直线垂直,该直线与这个平面必相交;②假如一条直线和平面一条平行线垂直,该直线必在这个平面内;③假如一条直线和平面一条垂线垂直,该直线必定在这个平面内;④假如一条直线和一个平面垂直,该直线垂直于平面内任何直线.(A)①② (B)②③④ (C)①②④ (D)①②③解析:由线面垂直判定定理可得①②③错误,④正确.故选D.D13/34【备用例1】

以下命题中,正确命题序号是

.

①若l不垂直于α,则在α内没有与l垂直直线;②过一点和已知平面垂直直线有且只有一条;③若a∥α,b⊥α,则a⊥b;④若a∥b,a⊥α,则b⊥α.解析:当l与α不垂直时,l可能与α内无数条相互平行直线垂直,故①不正确;因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.故②正确;③,④显然正确.答案:②③④14/34题型二直线与平面垂直判定【思索】1.若把定理中“两条相交直线”改为“两条直线”,直线与平面一定垂直吗?提醒:当这两条直线平行时,直线可与平面相交但不一定垂直.2.假如两条平行线中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面吗?提醒:垂直.15/34【例2】(12分)在三棱锥P-ABC中,H为△ABC垂心,AP⊥BC,PC⊥AB,求证:PH⊥平面ABC.16/34变式探究:在三棱锥P-ABC中,H为△ABC垂心,且PH⊥平面ABC,求证:AB⊥PC,BC⊥AP.17/34方法技巧利用直线与平面垂直判定定理证实线面垂直关键是在这个平面内找到两条相交直线,证实它们都和这条直线垂直.18/34证实:因为∠ACB=90°,所以BC⊥AC.又SA⊥平面ABC,所以SA⊥BC.又AC∩SA=A,所以BC⊥平面SAC.因为AD⊂平面SAC,所以BC⊥AD.又SC⊥AD,SC∩BC=C,所以AD⊥平面SBC.即时训练2-1:如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,SA⊥平面ABC,AD⊥SC于D,求证:AD⊥平面SBC.19/34【备用例2】如图,在锥体P-ABCD中,ABCD是菱形,且∠DAB=60°,PA=PD,E,F分别是BC,PC中点.证实:AD⊥平面DEF.20/3421/34题型三直线与平面所成角22/34(1)证实:如图,连接A1B.在△A1BC中,因为E和F分别是BC和A1C中点,所以EF∥BA1.又因为EF⊄平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA.(1)求证:EF∥平面A1B1BA;23/34(2)求证:直线AE⊥平面BCB1;24/34(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角大小.25/34方法技巧求平面斜线与平面所成角普通步骤:(1)确定斜线与平面交点(斜足);(2)经过斜线上除斜足以外某一点作平面垂线,连接垂足和斜足即为斜线在平面上射影,则斜线和射影所成锐角即为所求角;(3)求解由斜线、垂线、射影组成直角三角形.26/34即时训练3-1:(·福州一中高一测试)已知正三棱锥S-ABC全部棱长都相等,则SA与平面ABC所成角余弦值为

.

27/34【备用例3】(·浙江卷)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC射影为BC中点,D是B1C1中点.28/34(1)证实:设E为BC中点,连接A1E,AE.由题意得A1E⊥平面ABC,所以A1E⊥AE.因为AB=AC,所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.连接DE,由D,E分别为B1C1,BC中点,得DE∥B1B且DE=B1B,从而DE∥A1A且DE=A1A,所以AA1DE为平行四边形.于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.(1)证实:A1D⊥平面A1BC;29/34(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成角正弦值.30/34题型四

易错辨析——忽略条件限制而致误【例4】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,B1B,C1C中点,求证:B1E⊥平面A1FGD1.31/34错解:因为F,G分别为棱B1B,C1C中点,所以BC∥FG.因为BC⊥AB,BC⊥B1B,且B1B∩AB=B,所以BC⊥平面A1ABB1.又因为B1E⊂平面A1ABB1,所以BC⊥B1E,即FG⊥B1E.同理A1D1⊥B1E,所以B1E⊥平面A1FGD1.纠错:本题错误在于只证实了直线和平面内两条平行直线垂直,不符合判定定理要求.依据线面垂直判定定理,直线要垂直于平面内两条相交直线时才能垂直于这个平面.32/34正解:因为E,F分别为AB,B1B中点,且AB=B1B,所以B1F=BE.所以Rt△A1B1F≌Rt△B1BE,所以∠B1A1F=∠BB1E.因为∠B1A1F+∠B1FA1=90°,所以∠B1FA