第三单元圆柱与圆锥·总集篇·八种综合型问题【八大考点】-2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列（解析版）人教版

篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生，但在面对琳琅满目的资料时，总是费时费力才能找到自己心仪的那份。于是，编者就常想，如果是自己来创作一份资料又该怎样呢？那这份资料在满足自己教学需求的同时，还能为他人提供参考。本着这样的想法，在结合自己教学经验和学生实际情况后，最终创作出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。《2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！101数学创作社2024年2月24日2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列第三单元圆柱与圆锥·总集篇·八种综合型问题【八大考点】专题解读本专题是第三单元圆柱与圆锥·总集篇·八种综合型问题。本部分内容一共包括了圆柱与圆锥的拼切问题、圆柱与圆锥的旋转构成问题、圆柱与圆锥的关系问题、比在圆柱与圆锥中的应用问题、圆柱与圆锥的等积变形问题、圆柱与圆锥中不规则物体的体积问题、含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的体积问题、圆柱圆锥中的注水运动问题等八种圆柱圆锥中常考的综合型问题，考点遍布各种题型，考题综合性强，其中大多数内容以思维拓展题型为主，难度极大，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题，一共划分为八个考点，欢迎使用。目录导航TOC\o"1-1"\h\u【考点一】八种问题之圆柱与圆锥的切拼问题 3【考点二】八种问题之圆柱与圆锥的旋转构成问题 11【考点三】八种问题之圆柱与圆锥的关系问题 20【考点四】八种问题之比在圆柱与圆锥中的应用问题 23【考点五】八种问题之圆柱与圆锥的等积变形问题 25【考点六】八种问题之圆柱与圆锥中不规则物体的体积问题 30【考点七】八种问题之含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的体积问题 35【考点八】八种问题之圆柱圆锥中的注水运动问题 37典型例题【考点一】八种问题之圆柱与圆锥的切拼问题。【方法点拨】立体图形的切拼问题属于小学数学的典型问题和难点问题，由圆柱与圆锥的切拼所产生的表面积增减变化，在分析与思考过程中常常具有一定的抽象性，并涉及到基础的空间想象能力，因此，大部分同学掌握起来显得十分困难，建议在理解方面，尝试绘制示意图，在解题方面，注意寻找切拼后的变化规律。1.圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。2.圆柱中横切引起的表面积变化。横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。3.圆柱中竖切引起的表面积变化。竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。4.圆锥中竖切引起的切面积变化。圆锥中的竖切是指将圆锥沿着高并垂直于底面切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。5.圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。【典型例题1】圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。一根高8分米的圆柱木料，如果把它的高截短3分米，表面积就减少18.84平方分米，这根圆木体积是多少立方分米？【答案】25.12立方分米【分析】根据题意可知：如果把圆柱的高截短3分米，表面积就减少18.84平方分米，表面积减少的是高为3分米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝ch，用侧面积除以3求出底面周长，进而求得底面半径，再根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。【详解】18.84÷3＝6.28（分米）6.28÷3.14÷2＝2÷2＝1（分米）3.14×1×1×8＝3.14×8＝25.12（立方分米）答：这根圆木体积是25.12立方分米。【点睛】此题主要考查圆柱的侧面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。【对应练习】一个圆柱体（如图），如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少94.2平方厘米。这个圆柱体积原来是多少立方厘米？【答案】1177.5立方厘米【分析】表面积减少的侧面积，减少的侧面积÷截短的高＝圆柱底面周长，底面周长÷π÷2＝底面半径，再根据圆柱体积＝底面积×高，求出原来体积即可。【详解】94.2÷3＝31.4（厘米）31.4÷3.14÷2＝5（厘米）3.14×52×（12＋3）＝3.14×25×15＝1177.5（立方厘米）答：这个圆柱体积原来是1177.5立方厘米。【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱侧面积和体积公式。【典型例题2】圆柱中横切引起的表面积变化。把一根长10米的木料锯成一样长的两段，结果表面积增加了6.28平方米，这根木料原来的体积是多少立方米？【答案】31.4立方米【分析】根据题意，这个木料长是10米；锯成两段，增加的面积等于两个底面积的和；用增加的面积÷2，求出圆柱的底面积；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。【详解】（6.28÷2）×10＝3.14×10＝31.4（立方米）答：这根木料原来的体积是31.4立方米。【点睛】解答本题的关键明确增加的面积和原来圆柱底面的关系；再结合圆柱的体积公式，进行解答。【对应练习】一根长12分米，横截面直径是4厘米的圆柱形木棍，将它平均截成三段，然后全部涂上颜色，涂色部分的面积是多少？【答案】1582.56平方厘米【分析】如图所示，把这根圆柱形木棍平均截成三段后，表面积比原来增加4个截面的面积，，涂色部分的面积＝原来圆柱的表面积＋增加部分的面积，据此解答。【详解】12分米＝120厘米（3－1）×2＝2×2＝4（个）3.14×（4÷2）2＝3.14×4＝12.56（平方厘米）3.14×4×120＋12.56×2＋12.56×4＝12.56×120＋12.56×2＋12.56×4＝12.56×（120＋2＋4）＝12.56×126＝1582.56（平方厘米）答：涂色部分的面积是1582.56平方厘米。【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，表示出增加部分的面积并掌握圆柱的表面积计算公式是解答题目的关键。【典型例题3】圆柱中竖切引起的表面积变化。如图，一根圆柱形木料高8分米，沿底面直径垂直切开，平均分成两部分。这时表面积比原来增加了0.96平方米（π取3.14）。这根圆柱形木料的体积是多少立方分米？【答案】226.08立方分米【分析】观察题意可知，圆柱形木料沿底面直径垂直切开，平均分成两部分，表面积增加了2个长方形，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径；先把0.96平方米化为96平方分米，然后用96÷2即可求出一个长方形的面积，然后再除以8即可求出底面直径，进而求出底面半径，最后根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据解答即可。【详解】0.96平方米＝96平方分米底面直径：96÷2÷8＝6（分米）半径：6÷2＝3（分米）3.14×32×8＝3.14×9×8＝226.08（立方分米）答：这根圆柱形木料的体积是226.08立方分米。【点睛】本题主要考查了立体图形的切割以及圆柱的体积公式的灵活应用。【对应练习】如图，一根圆柱形木料高1米，沿底面直径垂直切开，平均分成两部分。这时表面积比原来增加了1.8平方米（π取3.14）。（1）这根木料原来的表面积是多少平方米？（2）这根圆柱形木料的体积是多少立方米？【答案】（1）4.0977平方米；（2）0.63585立方米【分析】（1）沿底面直径垂直切开，平均分成两部分，表面积比圆柱多了2个长方形的面积，已知表面积比原来增加了1.8平方米，用1.8÷2即可求出一个长方形的面积，又已知长方形的长相当于圆柱的高，宽相当于底面直径，用1.8÷2÷1即可求出底面直径；根据圆柱的表面积：S＝2πr2＋πdh求解这根木料原来的表面积即可。（2）根据圆柱的体积：V＝πr2h求解这根圆柱形木料的体积。【详解】（1）这根木料的底面直径为：1.8÷2÷1＝0.9（米）底面半径：0.9÷2＝0.45（米）这根木料原来的表面积为：2×3.14×0.452＋3.14×0.9×1＝2×3.14×0.2025＋3.14×0.9×1＝1.2717＋2.826＝4.0977（平方米）答：这根木料原来的表面积是4.0977平方米。（2）3.14×0.452×1＝3.14×0.2025×1＝0.63585（立方米）答：这根圆柱形木料的体积是0.63585立方米。【点睛】本题考查了圆柱的表面积公式和体积公式的灵活应用，关键是明确多了哪两个面的面积。【典型例题4】圆锥中竖切引起的切面积变化。将一个圆锥形糕点沿着高切成两块，表面积比原来增加了42平方厘米，测得圆锥形糕点的高是7厘米，原来这个圆锥形糕点的体积是多少立方厘米？【答案】65.94立方厘米【分析】把圆锥沿着高切成两块截面是两个等腰三角形，切开之后的表面积比原来增加了两个三角形的面积，先求出一个三角形的面积，再利用“底＝三角形的面积×2÷高”求出三角形的底边，即圆锥的底面直径，最后利用“”求出圆锥的体积，据此解答。【详解】底面直径：42÷2×2÷7＝21×2÷7＝42÷7＝6（厘米）底面半径：6÷2＝3（厘米）体积：×3.14×32×7＝（3.14×7）×（×32）＝21.98×3＝65.94（立方厘米）答：原来这个圆锥形糕点的体积是65.94立方厘米。【点睛】根据增加部分的面积求出圆锥的底面半径，并掌握圆锥的体积计算公式是解答题目的关键。【对应练习】一个圆锥的底面半径是3分米。从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积比原来的圆锥表面积增加了24平方分米。这个圆锥的体积是多少立方分米？【答案】37.68立方分米【分析】通过观察图形可知，把这个圆锥纵向切开，表面积增加的是两个切面的面积，每个切面的底等于圆锥的底面直径，每个切面的高等于圆锥的高，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，那么h＝2S÷a，据此求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式：V＝，把数据代入公式解答。【详解】24÷2＝12（平方分米）12×2÷（3×2）＝24÷6＝4（分米）×3.14×32×4＝×3.14×9×4＝37.68（立方分米）答：这个圆锥的体积是37.68立方分米。【点睛】此题主要考查三角形的面积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是求出圆锥的高。【典型例题5】圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。把一个高为6厘米的圆柱体切割成若干等分，拼成一个近似的长方体。长方体的表面积比圆柱的表面积增加了48平方厘米，如下图，请求出原来圆柱体的表面积和体积。【答案】251.2平方厘米；301.44立方厘米【分析】根据题意，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，那么长方体的长等于圆柱底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高；拼成的长方体的体积等于圆柱的体积，拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积多了两个长方形的面积（长方体的左右面），长方形的宽等于圆柱的底面半径，长方形的长等于圆柱的高；先用增加的表面积除以2，求出一个长方形的面积，再除以高，即可求出长方体的底面半径；然后根据圆柱的表面积公式S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝2πrh，S底＝πr2；圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。【详解】圆柱的底面半径：48÷2÷6＝24÷6＝4（厘米）圆柱的表面积：2×3.14×4×6＋3.14×42×2＝3.14×48＋3.14×16×2＝150.72＋100.48＝251.2（平方厘米）圆柱的体积：3.14×42×6＝3.14×16×6＝301.44（立方厘米）答：原来圆柱体的表面积是251.2平方厘米，体积是301.44立方厘米。【点睛】掌握圆柱切割拼接成长方体后，各部分元素间对应的关系，以及增加的表面积是哪些面的面积，并以此为突破口，利用公式列式计算。【对应练习】将一个高是12厘米的圆柱体如图那样切拼，切拼后的立体图形的表面积比圆柱体大120平方厘米。求圆柱体的体积。（π取3.14）【答案】942立方厘米【分析】观察图形可知，切拼后的立体图形的表面积比圆柱体大120平方厘米，即表面积比原来多了两个长为12厘米，宽为圆柱的底面半径的长方形的面积，据此求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此代入数值进行计算即可。【详解】120÷2÷12＝60÷12＝5（厘米）3.14×52×12＝3.14×25×12＝78.5×12＝942（立方厘米）答：圆柱体的体积的是942立方厘米。【点睛】本题考查圆柱的体积，求出圆柱的底面半径是解题的关键。【考点二】八种问题之圆柱与圆锥的旋转构成问题。【方法点拨】圆柱与圆锥的旋转构成问题属于平面图形和立体图形的空间转化，具有一定的抽象性，需要具备基本的空间想象能力。1.圆柱的四种旋转构成方法。在旋转时，以谁为轴谁就是高，而另一条边就是底面半径。①第一种旋转方法：以宽为轴进行旋转。以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。②第二种旋转方法：以长为轴进行旋转。以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。③第三种旋转方法：以两条长中点的连线为轴进行旋转。以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。④第四种旋转方法：以两条宽中点的连线为轴进行旋转。以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。2.圆锥的旋转构成方法。沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。【典型例题1】圆柱的旋转构成方法。画出如图图形绕BD边旋转后的图形，并求出的它的表面积和体积（单位：厘米）。【答案】；150.72平方厘米；141.3立方厘米【分析】圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为轴，其余各边绕轴旋转而成的曲面所围成的几何体，叫做圆柱体；圆柱表面积＝两个底面积＋侧面积，圆柱体积＝底面积×高，S＝π，据此求解。【详解】如图：表面积：3.14×32×2＋3×2×3.14×5＝3.14×9×2＋18.84×5＝56.52＋94.2＝150.72（平方厘米）体积：3.14×32×5＝3.14×9×5＝28.26×5＝141.3（立方厘米）答：这个圆柱的表面积是150.72平方厘米，体积是141.3立方厘米。【点睛】此题主要考查圆柱的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。【对应练习】如图中的长方形绕它的长或宽旋转一周，可分别得到立标图形A和B。（1）算一算立体图形A、B的体积。（2）立体图形A和B的体积之比与原长方形有何关系？（请用数学式子或文字加以说明）【答案】（1）立体图形A的体积是37.68立方厘米，B的体积是56.52立方厘米。（2）立体图形A和B的体积之比等于原长方形宽与长的长度之比。【分析】（1）将长方形绕长旋转一周，得到一个圆柱体A，圆柱体的高是3厘米，底面半径是2厘米；绕宽旋转一周得到一个圆柱体B，圆柱体的高是2厘米，底面半径是3厘米，根据圆柱的体积＝πr2h计算即可解答；（2）求出两个圆柱的体积比，与原长方形比较即可得出结论。【详解】（1）A的体积为：3.14×3×22＝37.68（立方厘米）B的体积为：3.14×32×2＝56.52（立方厘米）答：立体图形A的体积是37.68立方厘米，B的体积是56.52立方厘米。（2）立体图形A和B的体积之比是：（3.14×3×22）∶（3.14×32×2）＝2∶3原长方形的宽与长的比是2∶3；所以立体图形A和B的体积之比等于原长方形宽与长的长度之比。答：立体图形A和B的体积之比等于原长方形宽与长的长度之比。【点睛】解决本题的关键是得出旋转后图形的底面半径和高。【典型例题2】圆锥的旋转构成方法。请你在下图中，选取直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周，所形成的立体图形的体积是多少？【答案】37.68立方厘米；50.24立方厘米；30.144立方厘米。【分析】由题可知，题目只说选取直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周，并未说明选取哪一条边，所以要分类讨论。（1）当AB为轴，旋转一周时，所形成的是一个高为4厘米，底面半径为3厘米的圆锥，由圆锥的体积＝底面积×高×，底面积＝πr²代入实际数据可得；（2）当BC为轴，旋转一周，所形成的是一个高为3厘米，底面半径为4厘米的圆锥。同理，代入圆锥体积公式即可得；（3）当AC为轴，旋转一周，所形成是两个圆锥的结合体，斜边上的高就是底面半径，可以设小的圆锥的高为xcm，则大的圆锥的高为（5－x）cm，然后通过圆锥的体积公式分别算出大小圆锥的体积，再相加即可解答。【详解】（1）当AB为轴时：3×3×3.14×4×＝3×4×3.14＝12×3.14＝37.68（立方厘米）（2）当BC为轴时：4×4×3.14×3×＝4×4×3.14＝16×3.14＝50.24（立方厘米）（3）当AC为轴时：底面半径：3×4÷2×2÷5＝12÷2×2÷5＝12÷5＝2.4（厘米）解：设小的圆锥的高为xcm，则大的圆锥的高为（5－x）cm。×3.14×2.4×2.4×x＋×3.14×2.4×2.4×（5－x）＝×3.14×2.4×2.4×（x＋5－x）＝3.14×0.8×2.4×5＝3.14×0.8×12＝3.14×9.6＝30.144（立方厘米）答：当AB为轴时，所形成的立体图形的体积是37.68立方厘米，当BC为轴时，所形成的立体图形的体积是50.24立方厘米，当AC为轴时，所形成的立体图形的体积是30.144立方厘米。【点睛】此题考查的是圆锥体积公式，能熟练掌握圆锥的体积公式并分类讨论是解题的关键。【对应练习】如图三角形ABC是一个直角三角形，分别以三条边所在的直线为轴旋转得到三个不同的立体形体，这三个立体图形的体积分别是多少立方厘米？【答案】37680立方厘米；50240立方厘米；30144立方厘米【分析】将直角三角形以AB为轴为轴旋转，得到一个高为40厘米，底面半径为30厘米的圆锥，再利用圆锥的体积公式代入数据解答；以BC为轴旋转，得到一个高为30厘米，底面半径为40厘米的圆锥，再利用圆锥的体积公式代入数据解答；以AC为轴旋转，得到两个圆锥，借助三角形的面积公式，列式30×40÷2，求出三角形的面积是600平方厘米，再用600×2÷50求出斜边上的高为24厘米，即底面半径为24厘米，两个圆锥的高之和是50厘米，先求出底面积，进而求出两个圆锥的体积即可。【详解】以AB为轴旋转的圆锥：×3.14×302×40＝×3.14×900×40＝942×40＝37680（立方厘米）以BC为轴旋转的圆锥：×3.14×402×30＝×30×3.14×1600＝31.4×1600＝50240（立方厘米）以AC为轴旋转的立体图形，两个圆锥半径：30×40÷2＝600（平方厘米）600×2÷50＝24（厘米）体积：×3.14×242×50＝×3.14×576×50＝602.88×50＝30144（立方厘米）答：以AB为轴旋转的圆锥体积37680立方厘米；以BC为轴旋转的圆锥体积50240立方厘米；以AC为轴旋转的立体图形体积是30144立方厘米。【点睛】掌握圆锥的特征和圆锥的体积计算公式是解答题目的关键。【典型例题3】圆柱与圆锥的旋转构成“综合型”。小明、小花两人分别以直角梯形的上底、下底和高所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周，得到了甲、乙、丙三个立体图形。小明说：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后甲、乙、丙三个立体图形的体积也相等。小花说：我不同意你的看法，我认为三个立体图形的体积不相等。你同意谁的说法？甲、乙、丙三个立体图形的体积是多少立方厘米？（π取3.14）【答案】小花；甲141.3立方厘米；乙113.04立方厘米；丙197.82立方厘米【分析】观察各立体图形可知，图形甲的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，图形乙的体积＝圆锥的体积＋圆柱的体积，图形丙的体积＝大圆锥的体积－小圆锥的体积；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解，然后比较三个立体图形的体积，得出结论。【详解】甲的体积：3.14×32×6－×3.14×32×（6－3）＝3.14×9×6－×3.14×9×3＝3.14×54－3.14×9＝169.56－28.26＝141.3（立方厘米）乙的体积：×3.14×32×（6－3）＋3.14×32×3＝×3.14×9×3＋3.14×9×3＝3.14×9＋3.14×27＝28.26＋84.78＝113.04（立方厘米）丙的体积：延长圆台的两边相交于一点，形成一个大圆锥，由小圆锥的底面半径3厘米，圆台的高3厘米，推出这是一个等腰直角三角形，由此得出小圆锥的高是3厘米。×3.14×62×（3＋3）－×3.14×32×3＝×3.14×36×6－×3.14×9×3＝3.14×72－3.14×9＝226.08－28.26＝197.82（立方厘米）197.82＞141.3＞113.04，所以三个立体图形的体积不相等。答：我同意小花的说法。甲的体积是141.3立方厘米，乙的体积是113.04立方厘米，丙的体积是197.82立方厘米。【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积公式的运用，明确以同一个平面图形的不同线段为轴旋转，形成立体图形的体积不相等。【对应练习】请根据下图信息回答问题。（1）直角梯形ABCD，如果以AB为轴进行旋转，所形成的立体图形是图（

）；如果以DC为轴进行旋转，所形成的立体图形是图（

）。（2）选择其中一个立体图形计算它的体积。【答案】（1）①；②（2）①的体积：150.72cm3；②的体积：188.4cm3【分析】（1）判断旋转得到的立体图形时，要知道：以直角三角形的直角边为轴旋转时，所形成的立体图形是圆锥，以其斜边为轴旋转时，所形成的图形是沙漏模型。（2）两个不同的立体图形的体积分别是圆柱的体积与圆锥的体积的和与差；只不过图形②的圆柱的高=下部圆柱的高+上部分圆锥的高。【详解】（2）求①的体积：求②的体积【点睛】判断旋转得到的立体图形要有一定的空间观念，计算量也很大，还要注意细节部分“图形②的圆柱的高=下部圆柱的高+上部分圆锥的高”不要弄错了。【考点三】八种问题之圆柱与圆锥的关系问题。【方法点拨】圆柱与圆锥的关系问题常是填空、选择题的常考题型，掌握二者的关系，需要注意寻找前提条件。1.底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。2.体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。3.体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。【典型例题】有一个容器下面是圆柱，上面是与之等底的圆锥，圆柱的高是10cm，圆锥的高是6cm，容器内水深7cm，把这个容器倒过来，从圆锥的角到水面的高度是()cm。【答案】11【分析】根据题意，把这个容器倒过来时，圆锥在下面，6cm高的圆锥装满水，根据等体积等底的圆柱的高是圆锥高的，即圆锥6cm高的水的体积相当于圆柱2cm高的水的体积；再用原来的水深减去2cm，求出圆柱容器内剩下水的高度，加上圆锥容器的高度，就是从圆锥的角到水面的高度。【详解】6×＝2（cm）7－2＝5（cm）6＋5＝11（cm）从圆锥的角到水面的高度是11cm。【点睛】根据等体积等底的圆柱和圆锥高之间的关系，明白圆锥容器内水的高度相当于圆柱容器内水高度的3倍是解题的关键。【对应练习1】一个由圆柱和圆锥组成的容器（如图），圆柱的高是10cm，圆锥的高是6cm，正放时，容器里的水深7cm，将这个容器倒过来放时，从圆锥的顶端到水面的高是()厘米。【答案】11【分析】等底等体积的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱的3倍，所以圆锥部分能装的水转换到圆柱中，高度应该是圆锥高度的三分之一，所以圆锥部分能容纳的水转换到圆柱当中＝6÷3＝2cm，所以倒过来，水的高度在圆柱中的高度下降2cm，还剩下7－2＝5cm，加上圆锥的高度就是现在圆锥的顶端到水面的高度。【详解】7－6÷3＋6＝7－2＋6＝11（厘米）【点睛】熟练掌握等底等体积的圆柱与圆锥之间高的关系是解题的关键。【对应练习2】一个密闭的容器（如下图）是由一个圆柱和一个圆锥组成的，圆柱的高是，圆锥的高是，容器内的液面高。当将这个容器倒过来放时，从圆锥的顶点到液面的高是多少厘米？【答案】11cm【分析】根据圆柱的体积是与它等底等高的圆锥的体积的3倍可知，装满圆锥所需的水，装在与这个圆锥等底的圆柱中时，高度为，所以将题中圆柱内高为的水倒入圆锥中，正好把圆锥装满，则圆柱内剩下的水的高为，由圆锥的高度＋圆柱内剩下的水的高度即可得到容器倒放时，从圆锥的顶点到液面的高。【详解】；

；；答：从圆锥的顶点到液面的高是。【点睛】能够灵活利用圆柱的体积是与它等底等高的圆锥的体积的关系是解答本题的关键，一定要先求出把圆柱内高为多少的水倒入圆锥中，再求出圆柱内剩下的水的高度，进而解答即可。【对应练习3】一个装有水的长方体容器长13厘米，宽10厘米，把一个圆柱和一个圆锥都放入容器中，水面上升了2厘米。已知圆柱和圆锥等底等高，圆锥完全浸入水中，圆柱有的高露出水面，则圆柱的体积是多少立方厘米？【答案】240立方厘米【分析】水面上升的体积就是圆柱和圆锥浸入水中的体积和，长方体容器的长×宽×水面上升的高度＝圆柱和圆锥浸入水中的体积和。等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，将圆柱体积看作单位“1”，圆锥体积是圆柱体积的，1－露出水面的对应分率＝水中圆柱体积对应分率，水中圆柱体积对应分率＋圆锥体积对应分率＝圆柱和圆锥浸入水中的体积对应分率，圆柱和圆锥浸入水中的体积和÷对应分率＝圆柱体积，据此列式解答。【详解】13×10×2＝260（立方厘米）（立方厘米）

答：圆柱的体积是240立方厘米。【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体、圆柱和圆锥的体积公式，理解分数除法的意义。【考点四】八种问题之比在圆柱与圆锥中的应用问题。【方法点拨】比与立体图形的结合，在小升初考察中应用较多，掌握比的基本性质和圆柱圆锥的关系变化是其关系。1.圆柱与比。（1）当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。（2）当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。（3）已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。2.圆锥与比。（1）当圆锥的底面积相等时，高的比就是体积的比。（2）当圆锥的高相等时，底面积的比就是体积的比。（3）当圆锥和圆柱如果底面积和高均相等，那么圆锥和圆柱的体积之比是1∶3。【典型例题】一个圆柱和一个圆锥，它们底面积的比是2∶3，高的比是2∶5，那么它们的体积比是()。【答案】4∶5【分析】圆柱的体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，将底面积的比和高的比当成圆柱和圆锥的底面积和高，计算出它们的体积，写出比即可。【详解】2×2＝43×5÷3＝5所以他们的体积比是4∶5。【点睛】本题考查了比的意义、圆柱和圆锥的体积，等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥的3倍。【对应练习1】圆锥的高是圆柱的，圆锥的底面直径是圆柱的2倍，这个圆锥与圆柱的体积比是()。【答案】16︰15【详解】略【对应练习2】一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是2∶3，它们的体积比是5∶6，圆柱和圆锥的高的最简单整数比是()。【答案】5∶8【分析】根据圆的周长公式知道底面周长的比就是半径的比，设圆柱的底面半径是2，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是5，则圆锥的体积是6，再根据圆柱的体积公式V＝sh＝πr2h与圆锥的体积公式V＝sh＝πr2h，得出圆柱的高与圆锥的高，进而根据题意，进行比即可。【详解】设圆柱的底面半径是2，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是5，则圆锥的体积是6。则：[5÷（π×22）]∶[6÷÷（π×32）]＝∶＝5∶8【点睛】此题主要是根据圆柱的体积公式与圆锥的体积公式来推导出圆柱与圆锥高的关系。【对应练习3】一个圆柱体和一个圆锥体的底面积相等，它们的高的比是5∶6，它们体积比是多少？【答案】5∶2【分析】根据圆柱的体积公式：V=sh，圆锥的体积公式：V=sh，把数据代入公式解答。【详解】解：设圆柱的体积是：V1=s1h1，圆锥的体积是：V2=s2h2，因为，s1=s2，h1∶h2=5∶6所以，圆柱与圆锥的体积比是：=5∶2答：它们体积比是5∶2。【点睛】此题主要考查了圆柱和圆锥的体积公式的灵活应用。【考点五】八种问题之圆柱与圆锥的等积变形问题。【方法点拨】圆柱、圆锥与长方体、正方体的等积变形问题是较常考察的题型之一，总体来说，难度不大，关键是掌握体积不变这一思路，再根据体积不变去解决问题。【典型例题1】其一。一瓶果汁，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），瓶子的容积为32立方厘米，当瓶子正放时，瓶内果汁液面高度为8厘米，当瓶子倒放时，空余部分为2厘米，请你算一算，瓶内果汁的体积是多少立方厘米？【答案】25.6立方厘米【分析】分析题意，可知果汁的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，假设瓶身全部呈圆柱形，圆柱的高为（8＋2）厘米，进而根据瓶子的容积，求得瓶子的底面积；接下来用底面积乘瓶内的果汁的高度即可得果汁的体积。【详解】32÷（8＋2）＝32÷10＝3.2（平方厘米）3.2×8＝25.6（立方厘米）答：瓶内果汁的体积是25.6立方厘米。【点睛】解答此题的关键是根据瓶子的容积和高度求出瓶子的底面积。【对应练习1】一个装满水的矿泉水瓶，壮壮喝了一些水后，水的高度还有6cm，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高度是10cm。已知这个矿泉水瓶的容积是624mL，壮壮喝了多少水？【答案】390毫升【分析】矿泉水瓶上方是不规则的，将瓶子一正一反放置，可知剩余的水是高6厘米的圆柱，喝掉的水（空着的部分）是高10厘米的圆柱，则满瓶时水的总高度是16厘米，根据圆柱的体积÷高＝底面积，求出底面积，再乘10即可。【详解】624÷（6＋10）×10＝624÷16×10＝390（立方厘米）＝390（毫升）答：壮壮喝了390毫升的水。【点睛】根据瓶子内水的体积和空气的体积不变，将不规则的瓶子转化成规则的圆柱解题是此题的关键。【对应练习2】甲流是甲型流行性感冒的简称，是由甲型流感病毒感染人体所导致的急性呼吸道疾病。李华感染了甲流，需要输液。如图①所示，输液瓶液面高度是10厘米，液体是250毫升。护士阿姨给李华设置了平均每分钟5毫升的输液速度，10分钟后，空的部分高度是6厘米，如图②所示。（1）这个输液瓶的底面积是多少平方厘米？（2）这个输液瓶的容积是多少毫升？【答案】（1）25平方厘米（2）350毫升【分析】（1）已知图①的输液瓶液面高度是10厘米，液体是250毫升；先根据进率：1毫升＝1立方厘米，将250毫升换算成250立方厘米；然后根据圆柱的底面积S＝V÷h，求出这个输液瓶的底面积。（2）已知输液速度为平均每分钟5毫升，即每分钟5立方厘米，那么10分钟一共输液5×10＝50立方厘米；由上一题可知这个输液瓶的底面积是25平方厘米，根据圆柱的体积V＝Sh可知，图②空的部分的体积是（25×6）立方厘米；用原来液体的体积加上图②空的部分的体积，再减去10分钟输液的体积，即是这个输液瓶的容积。【详解】（1）250毫升＝250立方厘米250÷10＝25（平方厘米）答：这个输液瓶的底面积是25平方厘米。（2）5毫升＝5立方厘米250＋25×6－5×10＝250＋150－50＝350（立方厘米）350立方厘米＝350毫升答：这个输液瓶的容积是350毫升。【点睛】本题考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是明白图②空的部分的体积包含原来空的部分体积和10分钟输液的体积。【典型例题2】其二。如图，一个圆锥形容器里面装满水，若把这些水全部倒入长方体容器内，水面高3cm，求圆锥形容器的底面积。【答案】22.5cm2【分析】题目给了一个圆锥形，一个长方体。把圆锥形容器装满的水到入长方体，再求圆锥形的底面积。那就得用倒推法：先求到入长方体内的水的体积，再除以，转化成和圆锥体同底等高的圆柱体，最后求底面积。【详解】5×5×3÷÷10＝75÷÷10＝225÷10＝22.5（cm2）答：圆锥形容器的底面积为22.5平方厘米。【点睛】要解答此题，思考这样几个问题①题中给的水面高3cm与水的体积有什么关系？②长方体内水的体积怎样转化成和圆锥体同底等高的圆柱的体积？思考后心里就有了初步的打算，即先求出水的体积，再除以（或乘3），最后除以圆锥体的高，就得出了圆锥体的底面积。【对应练习1】一个圆柱形储水桶，底面周长12.56分米，高3分米，盛满一桶水，把它倒入另一长方体水池后，长方体水池里还空着21.5%。已知长方体水池长6分米，长是宽的倍，求水池的高是多少分米？【答案】2分米【分析】根据圆柱形储水桶的底面周长和高求出盛满一桶水的体积，把水倒入长方体水池后水的体积不变，根据水的体积求出长方体水池中水的高度，水的高度占长方体水池总高度的（1－21.5%），根据“量÷对应的百分率”求出水池的总高度，据此解答。【详解】圆柱形储水桶底面半径：12.56÷3.14÷2＝4÷2＝2（分米）水的体积：3.14×22×3＝12.56×3＝37.68（立方分米）长方体水池的宽：6÷＝4（分米）长方体水池内水的高度：37.68÷6÷4＝6.28÷4＝1.57（分米）长方体水池的高度：1.57÷（1－21.5%）＝1.57÷0.785＝2（分米）答：水池的高是2分米。【点睛】利用圆柱的体积计算公式求出水的体积，并根据水的体积求出长方体容器内水的高度是解答题目的关键。【对应练习2】如图，有两个边长为8厘米的正方体盒子，A盒中放入直径为8厘米、高为8厘米的圆柱体铁块一个，B盒中放入直径为4厘米、高为8厘米的圆柱体铁块四个。先往A盒中注满水，再把A盒的水倒入B盒里，使B盒也注满水，问现在A盒中余下的水是多少。【答案】0【分析】根据正方体的体积公式：v＝a3，圆柱的体积公式：v＝sh，用正方体的体积减去圆柱的体积求出A盒中剩余的空间（即水的体积），再用正方体的体积减去4个小圆柱的体积和求出B盒中剩余的空间（即水的体积），然后用A盒中水的体积减去B盒中剩余空间即可，由此解答。【详解】A盒中水的体积：8×8×8﹣3.14×（）2×8＝512×3.14×16×8＝512﹣401.92＝110.08（立方厘米）；B盒中剩余空间：8×8×8﹣3.14×（）2×8×4＝512﹣3.14×4×8×4＝512﹣100.48×4＝512﹣401.92＝110.08（立方厘米）110.08﹣110.08＝0（立方厘米）答：A盒中的水倒入B盒正好注满，所以A盒中没有余下水。【点睛】此题主要根据正方体、圆柱的体积计算方法解决问题，把数据代入正方体和圆柱的体积公式，分别求此A、B两盒中的剩余空间，然后进行比较。【考点六】八种问题之圆柱与圆锥中不规则物体的体积问题。【方法点拨】排水法求形状不规则物体的体积是立体图形中的必考题型之一，具有一定的抽象性，注意熟练掌握排水法的计算方法：①V物体=V现在－V原来；②V物体=S×(h现在-h原来)；③V物体=S×h升高。【典型例题1】其一。如图所示，一个底面直径为20厘米的装有一些水的圆柱的玻璃杯，水中放着一个底面直径为6厘米、高20厘米的圆锥形状的铅锤，当取出铅锤后，杯里的水下降几厘米？【答案】0.6厘米【分析】依题意，下降部分的水的体积等于圆锥的体积，先依据圆锥的体积计算公式V＝Sh，求出圆锥形状的铅锤的体积，即求出了下降部分的水的体积，再求出圆柱形玻璃杯的底面积即下降部分水的底面积，最后用下降部分水的体积除以底面积求出杯里的水下降了多少厘米。【详解】3.14×（6÷2）²×20×＝3.14×9×20×＝28.26×20×＝188.4（平方厘米）3.14×（20÷2）²＝3.14×100＝314（平方厘米）188.4÷314＝0.6（厘米）答：杯中的水下降0.6厘米。【对应练习1】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米。今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中。求这时容器的水深是多少厘米？【答案】17.72厘米【分析】若圆柱体能完全浸入水中，则水深与容器底面面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和。根据圆柱底面积公式：S＝πr2即可解答。【详解】π×52×15＋π×22×17＝375π＋68π＝443π443π÷（52×π）＝443π÷25π＝17.72（厘米）它比圆柱体的高度要大，可见圆柱体可以完全浸入水中。答：这时容器的水深是17.72厘米。【点睛】此题主要考查学生对浸入物体体积加原有水的体积等于容器底面积乘水深的理解与应用。【对应练习2】有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着一些石子，石子的体积为π立方厘米，在容器内到满水后，再把石子全部拿出来，求此时容器内水面的高度．【答案】6厘米【分析】先计算出圆锥容器的容积，又因水的体积等于圆锥的容积减去石子的体积，假设取出石子后，水面的高度为x厘米，则水面的底面半径为x＝，所以水的体积等于×3.14×x×（）2＝水的体积等于圆锥的容积减去石子的体积，解方程得x＝6，所以此时容器内水面高度为4.76厘米．【详解】解：圆锥容器的容积为×3.14×52×10＝×3.14×25×10水的体积等于圆锥的容积减去石子的体积：×3.14×25×10－×3.14＝×3.14＝18×3.14假设取出石子后，水面的高度为x厘米，则水面的底面半径为x＝×3.14×x×（）2＝18×3.14x3＝108x＝6答：此时容器内水面高度为6厘米．【点睛】深刻理解题意，水的体积等于圆锥的容积减去石子的体积．【典型例题2】其二。在一个装了水的圆柱形容器中（如下图），放入一个体积为580cm³的圆锥形铁块，将会溢出多少毫升水？

【答案】14.8毫升【分析】根据题意可知，用这个圆锥形铁块的体积－圆柱形容器上面空白部分的体积＝溢出的水的体积，据此列式解答。【详解】580－3.14×6×（20－15）

＝580－565.2＝14.8（毫升）答：将会溢出14.8毫升的水。【点睛】本题考查了体积的等积变形，要理解圆锥形铁块放入容器体积会分成那两部分。【对应练习1】有一个底面半径为8cm的圆柱形玻璃容器，水深6cm。把一块底面半径是6cm、高是10cm的圆锥形铁块放入水中，水会溢出45mL，那么这个玻璃容器有多高？（得数保留整数）【答案】8cm【详解】圆锥形铁块的体积：×3.14×6²×10＝376.8（cm³）水的体积：3.14×8²×6＝1205.76（cm³）45mL＝45cm376.8＋1205.76－45＝1537.56（cm³）玻璃容器的高：1537.56÷（3.14×8²）≈8（cm）答：这个玻璃容器的高约8cm。【对应练习2】有一个高8厘米，容积50毫升的圆柱形容器，装满水，将一只长16厘米圆柱形棒垂直插至杯底，有水溢出。把棒从水中抽出后，水的高度只有6厘米，求棒的体积。【答案】25立方厘米【分析】根据求不规则物体体积的方法，利用排水法，只要求出容器的底面积和把棒从水中抽出后，水面下降的高，用容器的底面积×水面下降的高＝棒的体积的一半；这样问题就得到解决，由此列式解答。【详解】50毫升＝50立方厘米8厘米长的圆柱形棒的体积：50÷8×（8－6）＝6.25×2＝12.5（立方厘米）棒的体积：12.5×2＝25（立方厘米）答：棒的体积是25立方厘米。【点睛】此题的解答根据求不规则物体的体积计算方法，通常利用排水法来解决，由于棒没有全部插入水中，排出水的体积即是棒的体积的一半，据此解答即可。【考点七】八种问题之含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的体积问题。【方法点拨】不规则或组合立体图形的体积是图形计算和实际应用中的常考题型，其中组合立体图形的体积等于各部分规则立体图形的体积之和。【典型例题】图形计算。（1）计算下面图形的表面积和体积。（2）计算下面图形的体积。【答案】（1）表面积：533.8cm2体积：665.68cm3（2）169.56dm3【详解】（1）表面积:3.14×14×4+3.14×4×4+2×3.14×(14÷2)2=175.84+50.24+307.72=533.8(cm2)体积:3.14×(14÷2)2×4+3.14×(4÷2)2×4=615.44+50.24=665.68(cm3)（2）3.14×(6÷2)2×4+×3.14×(6÷2)2×6=113.04+56.52=169.56(dm3)【对应练习1】计算下面图形的表面积和体积。半圆柱的底面直径是10cm【答案】体积：7822.5表面积：2792.5【分析】体积等于长方体的体积-圆柱体积的一半，代入数据即可；表面积的体积等于长方体的表面积-两个半圆的面积+圆柱侧面积的一半-圆柱的横截面，代入数据即可。【详解】V＝15×20×30－×3.14××30＝9000-1177.5＝7822.5()S＝(20×15＋20×30＋15×30)×2－＋×3.14×10×30－10×30＝2700-78.5+471-300＝2792.5()【点睛】此题考查组合体的体积和表面积，认真观察图片，分析图形的组成，特别是算表面积时看准表面都有哪些面组成。【对应练习2】求下图的表面积和体积。【答案】345.4dm2，157dm3【详解】表面积：3.14×[（6÷2）2－（4÷2）2]＝15.7（dm2）3.14×6×10＝188.4（dm2）3.14×4×10＝125.6（dm2）15.7×2＋188.4＋125.6＝345.4（dm2）体积：15.7×10＝157（dm3）【对应练习3】计算下图（按45°斜切）的体积（单位：厘米）。【答案】15.7立方厘米【分析】两个这样的立体图形正好拼接成一个圆柱体，圆柱体的高是（6＋4）厘米，根据公式V柱＝πr2h求出圆柱的体积，再除以2即可。【详解】3.14×（）2×（6＋4）÷2＝3.14×1×10÷2＝15.7（立方厘米）【考点八】八种问题之圆柱圆锥中的注水运动问题。【方法点拨】注水运动问题常使用实验的方式考察圆柱体积在实际生活中的综合应用，审题过程中，关键在于读懂图形给到的信息，需要很巧妙地把给到的注水“实验”过程图形（高度与时间的关系）与实际注水过程节点关联起来，比较考验学生的数学“实验”逻辑思考能力，其在独立招生考试或是在小升初入学分层考试中较为常见。【典型例题】下图是一个圆柱与一个圆锥合在一起做成的水箱，开始时是空的。然后往里以180升/时的速度注水。（取3）（1）如果水箱的厚度忽略不计，这个水箱的容积是多少？（2）多长时间可以把水箱注满？（3）下面哪幅图能表示随着时间变化，水面高度的变化过程？【答案】（1）1立方米（2）小时（3）第二幅图【分析】（1）由于水箱是由一个圆锥和一个圆柱组合而成，根据圆锥的体积公式：底面积×高÷3，圆柱的体积公式：底面积×高，把数代入即可求解。（2）用水箱的容积除以每小时的注水速度即可求解。（3）由于注水的时候先注满下面的圆锥，再注满上面的圆柱，所以水面的高度会先上升的快，再上升的慢，由此即可选择。【详解】（1）3×（1÷2）2×1＋3×（1÷2）2×1×＝3×0.25×1＋3×0.25×＝0.75＋0.25＝1（立方米）答：这个水箱的容积是1立方米。（2）1立方米＝＝1000立方分米＝1000升1000÷180＝（时）答：小时可以把水箱注满。（3）由分析可知，水面先快速上升，再缓慢上升；故选第二幅图。【点睛】本题主要考查圆柱和圆锥的体积公式，熟练掌握它们的体积公式并灵活运用。【对应练习1】一个圆柱体的容器内放有一个圆锥形铁块。现打开水龙头向容器内注水。2分钟时，水恰好没过铁块的顶点；再过了3分钟，水恰好注满容器。已知圆柱形容器的底面积为72平方厘米，它的高是21厘米；圆锥形铁块的高为9厘米，则铁块的底面积是多少？【答案】24平方厘米【分析】由题意得：圆柱体容器的容积＝2分钟注入水的体积＋3分钟注入水的体积＋圆锥体铁块的体积，根据“2分钟时，水恰好没过铁块的顶点，再过了3分钟，水恰好注满容器”可知：后3分钟注入的水的体积是底面积72平方厘米，高为：21－9＝12厘米的圆柱体的体积，所以可以求出一分钟注入的水的体积，再进一步求出一共注入的水的体积，用圆柱的体积－一共注入的水的体积＝圆锥铁块的体积，所以再根据圆锥的底面积＝圆锥体积×3÷圆锥的高，即可求出圆锥铁块的底面积。【详解】一分钟注入的水的体积为：72×（21－9）÷3＝72×12÷3＝864÷3＝288（立方厘米）5分钟注入水的体积是：288×5＝1440（立方厘米）圆锥体积：72×21－1440＝1512－1440＝72（立方厘米）所以圆锥的底面积为：72×3÷9＝24（平方厘米）答：圆锥铁块的底面积是24平方厘米。【点睛】此题数量关系比较复杂，解题的关键是根据圆柱的容积＝2分钟注入水的体积＋3分钟注入水的体积＋圆锥体铁块的体积，这样就化难为简。【对应练习2】A和B都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一个水龙头单独向A注水，一分钟可注满。现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，求（1）2分钟容器A中的水有多高？（2）3分钟时容器A中的水有多高？【答案】（1）6厘米（2）7.2厘米【分析】已知B容器的底面半径是A容器的2倍，高相等，B容器的容积就