全国高中数学评优课大赛数学赛课一等奖作品教学点评与教学设计模板二

全国高中数学评优课大赛数学赛课一等奖作品

教学点评与教学设计精品模板（二）

目录

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人教版必修4《平面向量的实际背景及基本概念》教学设计

一、教学内容

本课时的数学知识及其由内容所反映的数学思想方法主要有：

1、向量的概念；

概念抽象需要典型丰富的实例，通过教师举例引导，随即启发学生联系既有经验，主动

找寻实际生活中所存在的既有大小又有方向的量，让学生充分感知生活中的确存在这样的

“量”，从而提炼出“向量”的概念。让学生充分经历概念的形成过程，让学生体会到我们

所获得的新的数学研究对象一一向量，是水到渠成的，让学生感受到获得数学研究对象的基

本方法。

2、向量的表示方法；

接触到一个全新的“量”，自然而然会想到用合情合理的方式对其表示。通过引导学生

从向量的两个要素出发，启发学生联想到物理学中表示力的方式，逐步引导学生借助有向线

段来表示向量，并进一步启发学生，用类比的思想，将对线段（直线）的表示方法做合理改

进之后，迁移到对向量的表示。将“用绝对值表示距离”类比到“对向量的模的表示"。此

处反复渗透向量的两个要素，尤其是体现出方向是向量的本质属性之一。

3、特殊向量：零向量，单位向量；

当我们建立起了一个向量的集合之后，自然会想到向量这个“大家庭”里非常特殊的“成

员”，此处，继续用类比的思想，联系的观点，启发学生回忆在学习实数时，0与1的特殊

性，从而启发学生去发现长度为零的向量（零向量），长度为1的向量（单位向量）是特殊

的，并进一步引导，让学生主动认识这两个特殊向量是从“模”的角度体现其特殊，至于方

向，启发学生之间互相争论，抓住向量本质属性，得出其方向的任意性（并非没有方向）

4、相等向量的概念；平行向量（共线向量）的概念

教师通过出示已经准备好的含有多个向量的PPT,让学生主动探求向量之间的特殊位置

关系，仍然用类比的思想、联系的观点，启发学生去得出平行向量、相等向量、共线向量的

概念。

二、教学目标

（一）知识和能力：

（1）理解向量的概念；

（2）掌握向量的表示方法：几何表示、字母表示；

（3）理解向量的几种特殊关系：平行（共线）向量、相等向量；

（4）理解特殊的向量：零向量、单位向量；

（5）在学习的过程中，学生的观察、联系、类比、抽象、概括、归纳、实践等方面的能力

都能得到一定程度培养和提高。

（二）过程与方法：

学生经历向量学习的过程，能体会出向量来自于客观现实；

能体会到研究一个新的量的基本套路、能体会认识数学新对象的基本方法。

学生经历向量概念、表示，特殊向量的学习，感受到类比的思想和联系的观点是科学探

究中常用的手段。

（=）情感、态度与价值观：

学生经历用有向线段表示向量的操作过程，体会数学的实用性、表达的简洁美。

在体会研究数学问题的基本套路的同时，进而提高提出问题、研究问题的能力。

三、学生学情分析

学生已经具备的认知基础及达成教学目标所需要具备的认知基础：

（1）在物理学中，已经知道重力、弹力、摩擦力等是既有大小又有方向的物理量（矢量）；

（2）知道可以借助有向线段来求作力的图示；

（3）对实数的形成过程有一定了解；

（4）能够对实际生活中的一些常见的量作是否具有大小、方向的识别；

（5）在以前的学习中，对类比的思想有所了解。

但是，由于学生处于高一年级，在思维辨析方面，总体情况不是很好。所以在分辨对向

量的长度而不是对向量本身进行度量的问题上，适度加以引导和指导。

虽然学生具备以上的认知基础，但对于本节课的难点：向量概念的理解及形成过程、零

向量、相等向量、共线向量等概念，仍然需要做策略性引导，主要策略是：

（1）通过大量实例引导、启发学生联系既有生活经验，从众多实例中归纳抽象出“向量”

这一概念及其所具备的两个要素。

（2）通过类比的思想、联系的观点，引导学生从认识实数中特殊的0,结合向量的两个要

素来理解零向量。

（3）通过类比的思想，引导学生从数的相等，结合向量的本质属性，启发学生突破相等向

量、共线向量的概念。

四、教学策略分析

教学方法：启导式教学、讨论式教学、多媒体辅助教学

教学方法的分析：

一方面，学生在物理学中已经具备了一些感性经验（既有大小又有方向的量），在生活

实际中亦大量存在既有大小又有方向的量。另一方面，向量作为一个全新的概念，需要大量

实例的引导、铺垫来抽象出这个概念。故可以采取启发、引导式教学，让学生从生活实例中

抽象、提炼出向量的概念。

在讲解向量的表示方法、认识特殊的向量、相等向量、共线向量等概念时，可以借助曾

经学习过的绝对值、实数中的特殊元素。或1、两条直线的位置关系等，用类比的思想来研

究向量。从这一点出发，同样需要用到启导式教学，讨论式教学来启发学生突破难点，让学

生之间互相讨论来突破难点。

在学习了相关概念之后，可以借助多媒体出示相关概念辨析题目，从而立即获取学生学

习效果的反馈。

五、教学过程

1.情景引入

结合PPT,展示三个情景（1、与世界男子100米冠军博尔特“赛跑”；2、猫能抓到老

鼠吗；3、两车同样的速度（大小）和时间，为什么前后两种情景，两车距离悬殊这么大），

教师提问、追问，学生思考、齐答的方式，让学生发现并讲出现实生活中存在着既有大小又

有方向的量。（让学生感受“既有大小又有方向的量”客观存在）

教师继续追问：“你能再举出类似既有大小又有方向的量吗？”（激活学生已有的相关经

验）

教师再次追问：“那你能举出只有大小没有方向的量吗？”（形成区别、对比不同的量的

必要性）

教师引入课题：像刚才同学们提到的如：位移、速度、力等既有大小又有方向的量在生活中

大量存在，类似于以前我们从一支笔、一本书、一张桌子、一个板凳……抽象出了只有大小

的数量1,数学中对以上既有大小又有方向的量进行抽象，就形成了一种新的量一一向量【板

书：1.概念：大小方向】

2.向量的表示

师：从向量的概念可以看出，它不同于我们之前学习研究的“数”。数只有大小，没有

方向。我们研究一个数学知识，认识概念之后，为进一步研究的方便，通常要先表示它，向

量也如此。结合已有的经验，你打算怎样形象的表示向量呢？（停顿片刻，若学生没有思路,

则进行启发引导）

师：见过这种既有大小，又有方向的量吗？我们是怎么表示力（位移）的大小和方向

的？...

生：讨论……（让学生充分的讨论）

师：（请学生在黑板上画出图形）讲一讲你的想法？

生1：可以用箭头的指向表示方向，用它的长度表示大小。

生2：.........

生3：.........

（教师适时引导启发，坚持让学生亲自得出向量的表示方法以及表示的合理性）

师：用准确的语言对向量的表示做准确的描述并加以强调

【板书：2.表示】刚才部分同学的想法和英国大科学家牛顿的想法不谋而合，牛顿是第

一个用有向线段表示向量的人。这是向量的“形”的表示方式，为了更简洁的表达，我们也

可用符号语言表示，有向线段有起点【板书：A】、终点【板书：B】、有箭头表示方向。就

用（在AB上面加上一个箭头，以区别于线段4B）来表示这个向量。【板书：A3】注意,

起点在前，终点在后。更简洁的，也可用々表示（同样在。的上面加上箭头），写成。。【板

书：aI其中，大小用卜目或者忖表示【板书：卜目或网】，向量的大小也称为向量的长

度或者模【板书：长度（模）】。

教师追问：向量AB与向量BA是一回事儿吗？（启发学生时刻注意向量的方向性，通

过类比线段的表示方法，结合向量的特殊性，从而加深对向量概念的进一步理解）

3.零向量与单位向量

师：现在我们会表示向量了，我们可以更直观的研究它，我们自然的可以想到先从特殊

入手，那么，在向量这个集合中，你认为哪些向量特殊呢？

生：讨论......

师：根据向量的概念，既有大小，又有方向，我们不妨先从大小考虑其特殊性。

师：什么才是“特殊”？你认为哪些向量的长度是最特殊的？（引导学生类比实数集合

中的特殊元素0,从而想到长度为0的向量）

生：长度为。的向量，……（反复引导学生，让学生亲自得出零向量的模为0,方向为

任意方向）

师：强调零向量作为向量，同样需要具备两个要素（大小、方向），那么，还有特殊的

向量吗？（与前面类似，启发学生通过类比的方法，发现单位向量）

【板书：3.特殊向量零向量0：0（写在大小的下方）；任意方向（写在方向的下方）】

【单位向量：1（写在大小的下方）。:]

师：有了单位长度的刻画，我们才有度量向量大小的标准。请看图形一一

师：指出图中各向量的模，也就是长度。

生：（学生练习）口答。

师：其中有没有单位向量，有几个？

生：有，两个。

4.特殊位置关系

师：从方向上看，图形中，向量与向量之间形成了怎样的特殊关系？观察一下。

生：平行

师：哪些向量是平行的？你可以给两个向量平行下一个定义吗？

生：……

师：可不可以借助向量概念中的大小、方向对平行进行描述？

生：方向相同或相反的向量。（教师启发，由学生归纳出平行向量的定义）

【板书：平行向量：方向相同或相反的非零向量。规定：6与任一向量平行】（阐释规定是

合乎情理的）

师：两个向量平行是从方向上对向量关系的刻画，与他们大小有关吗？（适时提醒和加

深对向量概念的认识）

生：没有。

师：在这一组平行向量中，有没有更特殊的？

生：……

师：理由是——

生：两个向量方向相同，长度也相等。

师：我们称这样的两个向量为一一相等向量

【板书：相等向量长度相等方向相同】

师：两个向量是否相等，取决于一一

生：大小、方向。（进一步加深对向量概念的熟悉）

师：与他们的位置有关吗？

生：无关。

师：说明任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段

的起点无关。（手指图形）

师：如果任作一条与向量a所在直线平行的直线/,并在/上任取一点0,以。为起点

作有向线段方，使其等于向量。，可行吗？

生：可行。

师：理由是——

生：只要保证大小相等，方向相同。

师：相当于将向量a平移到0P的位置。同理，我们也可以把向量b平移到直线/上。这时

候，直线/上的两个向量形成了什么关系？

生：共线向量。

师：还是平行向量吗？

生：……（通过引导，让学生体会并讲出共线向量与平行向量是一回事儿）

5.例题巩固概念（略）

6.总结+结束语

师：启发学生从所学到的知识（知识层面）的角度对本堂课做总结

生1：...

生2：...

师：这节课我们通过对现实世界中的一种量一一既有大小，又有方向的量（向量）进行

了数学的归纳、抽象和定义。并围绕着这个基本概念，探究了他的表示及特殊向量一一零向

量、单位向量，特殊关系一一平行（共线）、相等。实际上，今天我们不仅仅是在探究向量

体系的基础，也经历了建立一个数学知识体系的过程，即“归纳共性一一抽象定义一一形象

表示__认识特殊__研究一般__……”

师:继续启发同学们用类比的思想、联系的观点，来预见以后可以从哪些角度研究向量？

生1:...

生2：……（教师适时给予鼓励引导）

结束语：下课的铃声阻止我们本堂课的学习，但无法阻止我们继续探索向量的热情……

《平面向量的复习一一数量积》教学点评

执教者：上海市北郊高级中学金振华

点评者：上海市虹口区教师进修学院李家齐

本节课是向量数量积的复习课，向量的数量积是高中向量这一章的重点内

容，并且有着广泛的应用。本节课注重知识的回顾、强调方法的提炼、体现应用

知识解决问题能力的培养。

首先通过解决一组与向量数量积有关的数学问题，对向量数量积相关知识进

行复习，通过学生充分的思考、交流、辨析达到对相关知识理解的目的；其次通

过典型例题的解决，提炼出求数量积的方法，通过学生的体验、感悟、思考，达

到对求数量积方法的掌握；再通过对典型例题的变式得到新问题，而通过对新问

题的解决，加深对数量积的理解和掌握，通过变式思考、拓展研究，在理解和掌

握的基础上达到灵活应用；通过用数量积求距离、求角、判定共线、证明线线垂

直及代数中的求范围等问题的分析思考和求解，提高应用知识解决问题的能力。

课堂教学能根据学生的现有水平，通过解决问题链调动学生的学习积极性；

通过对问题的变式，提高分析问题、解决问题的能力；通过学生自己的思考与反

思获得对概念的深刻理解，提高学习效率;通过提出问题并解决问题的教学环节,

提高思维的深刻性、灵活性、敏捷性，从而提高逻辑思维能力；通过对问题的探

究满足学生的求知欲，提高探究水平。本节课注重数学思想方法的教学，注重沟

通代数与几何的联系。

本节课学生经历了以下几个环节：“做”中“理”一一问题导入，梳理知识;

“解”中“结”一一一题多解，总结方法；“变”中“悟”一一变题悟法，训练

思维；“用”中“升”一一应用感悟，任务后延。使学生对向量的数量积有更深

刻地认识，同时，也提高了学生运用向量解决综合问题的能力。

《平面向量复习一数量积》教学设计说明

上海市北郊高级中学金振华

说课内容：《高级中学课本数学高中二年级第一学期》（上教版）第八章《平

面向量坐标表示》的复习课一一平面向量复习-数量积。

一、教学内容解析

向量是近代数学基本和重要的数学概念之一，有着极其丰富的实际背景，它

具有代数和几何的双重身份，是沟通代数、几何的桥梁。它能与中学数学中许多

教学内容许多主干知识相结合，形成知识交汇点。而且初中课本里已经对平面向

量做了简单的介绍，再次将平面向量坐标表示引入高中课程，是现行数学教材的

重要特色之一。上教版《高级中学课本数学高中二年级第一学期》中第八章《平

面向量坐标表示》涉及到了向量的坐标表示及运算（2课时）、向量的数量积（2

课时）、平面向量的分解定理（2课时）、向量的应用（2课时）。其中平面向量的

数量积是继向量的线性运算之后的又一个重要运算，也是高中平面向量教学中的

一个重要概念，既有对几何的体现，也有其对应的特殊性质和运算律。因此它在

数学、物理等学科中应用十分广泛。本节平面向量数量积的复习课在教学内容方

面不仅有对于向量相关知识的回顾，也有对于数量积求法的总结，也涉及到向量

数量积的应用；课堂中也很好的融入了数形结合的数学思想和化归思想。

二、教学目标设置

《高级中学数学教学参考资料高二第一学期》（上教版）在教学设计建议

中提到：向量是沟通代数、几何的一种工具。向量有非常直观的几何意义，是数

与形的完美结合。一方面，它可以把几何问题转化为坐标的代数运算；另一方面,

它还可以结合图形对向量的有关问题进行分析求解。向量是解决数学问题和实际

问题的有力工具。所以，对于向量的数量积复习课而言，希望可以从定义的梳理

展开，结合图形将向量数量积相关问题的求解方法进行归纳总结，并且让学生体

会到向量数量积如何成为解决数学问题的有力工具入手完成这节课。

综上所述，结合《上海市中小学课程标准》要求和学生实际，制定本节课的

教学目标和教学重难点。

教学目标：

1.掌握平面向量数量积的概念，回顾梳理与平面向量数量积相关的知识点。

2.通过体验、归纳，总结求解平面数量积的方法，同时提高对题目的反思重

解能力。

3.通过平面向量数量积的应用，提高分析问题解决问题的能力。

教学重点：平面向量数量积概念的掌握。

教学难点：应用数量积解决问题。

三、学生学情分析

本节课的教学对象是上海市实验性示范高中高二的学生，是任课教师自己平

时所带班级学生，刚刚完成平面向量这一章节的学习。

1.知识方面：学生已完成了平面向量这一章知识内容的学习，并已能运用

平面向量的知识解决一些简单的向量几何问题，但是还不能融会贯通地综合理解

运用知识，尤其知识的迁移能力还不够。同时整章的知识脉络还没完全成型。因

此，本节复习课对现阶段的学生来说尤为重要。

2.能力方面：因为刚刚完成向量部分的学习，对于向量的相关知识内化的

还不够完善。部分学生解题时数形结合能力弱，但是由于学生是市实验性示范高

中的学生，所以大部分学生的求知欲和学习主动性较高。

3.心理方面：学生已具备了一定的归纳知识的意识和能力，而且现阶段学

生表现欲也很强，本节课的教学设计正好符合高二学生的这个心理特征。

四、教学策略分析

1.本节课的框架设计

本节课是一节复习教学课。上海数学课程标准中教学策略有以下几个方面的

要求：①全面把握知识教学的要求。②重视教学的开放性。③有效应用现代信息

技术。④尊重学生现有的认知水平和个性差异。⑤坚持主导原则下的平衡与兼顾。

依据以上要求，结合本节课的知识的逻辑关系，按照以下框架安排本节课的教学:

环节一：“做”中“理”一一问题导入，梳理知识。

环节二：“解”中“结”一一一题多解，总结方法。

环节三：“变”中“悟”一一变题悟法，训练思维。

环节四：“用”中“升”一一应用感悟，任务后延。

2.对教学过程各环节的教学材料分析

环节一：“做”中‘'理"一一问题导入，梳理知识。

首先，让学生解决一组与向量数量积相关的数学问题。每一道小题的处理方

式都是通过学生回答，自行梳理概念，老师板书提炼包括向量的定义，向量数量

积的坐标表示，向量数量积的几何意义，向量数量积的运算律等相关知识，达到

对向量数量积相关知识的复习。同时对于每道判断题做说明和反例的细致解读，

分析抽取概念。留出必要的时间对相关知识点做一个回顾和梳理，也为后面的例

题展开做铺垫。这样处理不仅避免枯燥的知识罗列，也为了避免做题中牵扯太多

的精力和时间，更加兼顾了不同认知水平的同学。建构三道看似普通的题目作为

平台，将题目赋予了极大的价值，也给同学们提供一种课后复习的手段，在一些

简单题目中就蕴含大量知识讯息。“做”中“理”，“会做”很重要的，但是“会

理”是更高境界。

环节二：“解”中“结”一一一题多解，总结方法。

让学生解决在等边三角形背景下的一个数量积典型例题。教学过程中，老师

启发激励学生挖掘出多种解题方法，同时在点评不同解法时，融入不同的数学思

想方法，比如在点评解法一时，强调将未知化归已知的数学思维方式；在点评解

法三时，将“形”化归“坐标”；又比如在点评解法四，特别强调数形结合的思

想方法。而且在解题的同时适当的对于向量数量积解题方法做归纳总结。对于复

习课的例题如果选取若干道背景不同的题目，容易造成计算量的增加，同时读题

时间的增加，而时间对于一堂复习课而言是非常宝贵的，所以选取一题多解的方

式，简化运算和读题时间，同时达到方法提炼的目的。同时在讲解方法中，适当

的牵引学生的未知化归已知的思想方法，和数形结合思想，也能够达到复习课所

必须的广度和深度。

环节三：“变”中“悟”一一变题悟法，训练思维。

在这个环节中，学生自主变题，再由学生答题。教师事先做好充分的准备，

也做好情境的预设，建构一个有效平台，创设出生生互动的一个课堂。让学生在

变题中体会三种解题方法。首先老师先提供一种逆向变题方法，将A34。=上作

2

为条件，判断点D的轨迹。通过本题解答强化向量数量积的几何意义。接下来

学生首先尝试将点D的三等分位置做改动，进而进一步得到变式：D点在线段

BC上运动，求解A3AD,老师在点评学生给出的求解方法时，强调三种方法的

选择方式。在学生给出改动三角形条件，并给出解决方案时，教师紧扣概念教学,

让学生熟练掌握三种方法。复习课，单纯的老师出题学生答题，容易产生学生被

动记忆接受的效果，再加上学生刚刚完成《向量坐标表示》的全章学习，解题的

欲望和表现的欲望比较强，故此设计这样的一个环节。在变题中完成对于不同解

题方法的再练习，在变题中做逆向的发散思维，在变题中体会不同条件对于题目

背景的影响，不同条件对于解题方法的影响。达到复习课所内含的思维的碰撞和

课后的学习方法的外延。

环节四：“用”中“升”一一应用感悟，任务后延。

最后环节中，采取学生回顾，老师板书总结的方式对于向量的几何应用做了

复习。同时对于向量的代数应用也选择了由之前变式求数量积范围而改编的应

用。让学生体悟到数学中代数和几何的联系，也体悟到向量在跨章节方面的应用。

会“做”是为了能“用”，一堂向量数量积的复习课，不仅需要完成必要解题思

路的总结和训练，也需要为知识的外延做好充分的推手。

3.对教学方法和手段的分析

因为是平面向量的复习课，教学内容涵盖较大。为了保证教学任务的完成，

顺利实现本节课的教学目标，考虑到本节课的实际特点，在教学方法上，尽可能

的采用一个三角形为主体背景，将“知识回顾一一方法提炼一一变题训练一一向

量应用”四个环节有机串联起来，不同认知基础的同学都可以参与到相应的环节

中。通过师生共同探讨。根据学生的反馈，及时加以引导，达成本节课教学目标。

在教学手段的应用上，我的设想主要有以下两点：

（1）制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方

式，以此来提高效率，增加课堂容量。①使用ppt,主要是对课堂的内容作快速

呈现。②使用geogebra软件，将学生变题产生的图形，及图形变换特征较迅速

地展现出来。

（2）设计科学合理的板书①使学生加深对主要知识的印象，②使学生清楚

本节内容知识间的逻辑关系，形成知识网络，③ppt和板书配合使用，达到了快

速呈现题目，同时板书梳理知识的效果

(3)课堂小结，布置作业，

五、教学过程设计

一、知识回顾

环节一：“做”中“理”一一问题导入，梳理知识。

1.完成以下问题

(1)已知等边AABC的边长为3,则-

(2)已知向量a=(l,2),Z?=(x,l),且a_1_d则兀=卫

(3)判断下列说法正确的是

①/=卜|(V)

②若a"=0则a=0或b=0(X)

③若匕wO,a-Z?=c・久贝［|a=c(X)

④若(a-3・c=a­S-c),对任意向量a,方,c都成立(X)

2.通过以上问题的解决，引出课题，并对以下知识进行回顾梳理。

若a=(%，X)]=(兀2，%)

l.ab=\a\\b\cos0=%龙？+yly2

2.向量的投影

2

3.向量的运算律4.tf=|a『,a6=0oa_Lb

二、方法提炼

环节二：“解”中“结”-----题多解，总结方法。

1.典型例题

ULLUULU1

例1:在正三角形ABC中，D是BC上的点，A8=3,30=1,求AB必。

uuuiuuuULiuiuuuiuuuiULUI2LOIULUI«1勺

解一：AB1ADAB?(ABBD)=AB+AB?BD9+3仓!]1(--)=—

22

解二：(余弦定理)|AD|2=|AB|2+|5£>|2—2|905/450=7

,\AB\2+\AD\1-\BD\25币

/Rcosn/BAD=----------------------------=------

2-|AB|-|AD|14

AB-AD^AB\\AD\cosZBAD=^-

解三：如右图建立坐标系：

A。半);B(-|,0);D(-1,0)

则滞一一雪黑=(」-第

2222

UULUUUUqq

所以-x3=—

22

解四：利用几何意义：AD在A3上的投影为g,|AB|=3

uumuuuv[v

故AB?A。-x3=—

22

2.方法提炼:

由例1提炼出求数量积的方法:

数量积的定义；数量积的坐标运算；数量积的几何意义;

环节三：“变”中“悟”一一变题悟法，训练思维。

变式1：在边长为3的，正三角形ABC中，D是AA5C所在平面内的一点,

uunumr1<

AB7AD-tD是否是原来的三等分点？

2

答案：在线段BC上取一点G,使得3G=1,过G点做直线AB的垂线/,

D的轨迹就是垂线/

通过变式1,进一步掌握数量积的几何意义

变式2：学生编题，在生生互问中，完成数量积的求解复习

我们可以引导学生改变|AB|=3,|血|=1条件;引导学生改变，点D的

位置；引导学生改变不同的角的大小；引导学生将正三角形变为斜三角

形……

通过变式2让学生对三种方法再认识。

小结：平时解答问题时，不要满足于原问题的解答，我们可以对解题有一

个反思，如果已知条件发生变化，结论是否依旧成立？如果结论变

成条件，那么原条件是否成立。在对题目的变化和重解过程中，不

仅可以达到复习巩固的目的，同时思维也可以得到很好的训练！

三、迁移、应用

环节四：“用”中“升”一一应用感悟，任务后延。

1.回顾用数量积能解决的问题：比如求角，求长度，判断平行垂直问

题等等。

2.灵活应用

例2:已知％2+y2=9,/+62=1,试用向量的方法求+勿的

取值范围。

解：设有向量。=(。,一母4=(羽丁)，夕与9的夹交角为0,

■:p、q都不是零向量(若p=0,则a=b=O,与a?+b?=1矛盾。同

理qW0),

p,q=ax+by,又cos6=7a2+b2yJx2+y2cos0=3

cos9,

ax+by=3cos9,,.,TWcos。W1,，3Wax+byW3。

四、小结：1.向量数量积的定义及相关知识；

2.平面向量数量积的三种主要求法；

3.数量积在几何和代数中的应用。

五、课后作业

一、填空题：

1.平面向量中，已知a=(4,—3),网=1,且a»=5,则向量人=。

2.已知平面上三点A、B、C满足„=3,忸。|=4,|。1|=5,则

的值等于。

3.正三角形ABC的边长为1,贝I]A55①BCGA•，等于

________________________________________________O

二、选择题：

L5

4.已知向量。=(1,2.,=2,0)才若&,+b(-C-：,求。与c的夹角

()

(A)30°(B)60°(C)120°(D)150°

5.若|a|=l,M|=2,c=a+Z>,且cJ_a,则向量。与b的夹角为()

(J)30°(皮60°(C)120°(。)150°

6.已知。、b,c是三个不共线的非零向量，则下列等式中成立的是

()

(A)=(B)()

(C)a-^b-b^=a-^b^(D)=(4).(/?)

三、解答题：

7.在AA3C中，0为中线AM上一个动点，若AM=2,求Q4-(08+0。的最小值。

8.已知：2a—3b=20i—8j,-a+2b=-lli+5j,(i,/是x,y轴正方向上的单位

向量)，

求向量a,。的夹角。

9.已知忖=2,%=3,|3a—0=6,求(1)a与b的夹角；(2)|tz+3Z?|

平面向量基本定理

北京市第五中学王琦

一、教学内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学4》(人教A版)第二章第三节的第一课

时(2.3.1)《平面向量基本定理》.平面向量基本定理属于概念性知识.

平面向量基本定理是在向量知识体系中占有核心地位的定理.一方面，平面向量基本定

理是平面向量正交分解及坐标表示的基础,坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一

一对应的关系，这为通过"数"的运算处理"形"的问题搭起了桥梁；另一方面，平面向量基本

定理是共线向量基本定理由一维到二维的推广，揭示了平面向量的结构特征，将来还可以推

广为空间向量基本定理.因此，平面向量基本定理在向量知识体系中起着承上启下的重要作

用.

我认为该定理之所以用“基本”命名，主要是基于如下几个特点：

1.给定平面内两个不共线的向量，通过线性运算，可以构造出该平面内的所有向量；

2.通过线性运算构造平面内所有向量，至少需要两个不共线的向量；

3.平面内任意向量的问题都可以转化为基底中两个向量之间的问题，从而化任意为确

定，化未知为已知；

4.选定基底后，平面内的任意向量与有序实数对---对应，为通过“数”的运算处理“形”

的问题搭起了桥梁，实现了形与数的统一.

《课标》对本节课的要求是“了解平面向量基本定理及其意义”，我认为这是因为平面

向量基本定理理论性非常强，而对定理的应用又主要体现在向量线性运算的几何意义以及坐

标运算上，直接应用极少.

但是，对平面向量基本定理的探究既是对前面所学向量线性运算知识的综合应用和对平

行向量基本定理的推广，又为后继的平面向量坐标表示奠定了理论基础，充分展现了数学结

构体系的严谨性和逻辑性，探究过程有助于学生体会数学思维的方式和方法，培养学生进行

数学思考和数学表述的能力.

平面向量基本定理的验证过程是向量的分解，是两向量进行线性运算的逆过程，是对学

生逆向思维的训练.平面向量基本定理证明过程中，需要用到平行向量基本定理，同时，平

行向量基本定理也是平面向量基本定理在一维时的特殊情形.这里体现了特殊与一般的辨证

观点.

平面向量基本定理将平面内任意向量的问题转化为一组基底的问题，从而使问题简单

化、程序化，体现了化归与转化的数学思想.平面向量基本定理将平面向量与有序实数对建

立一一对应，搭起了数与形的桥梁，是利用向量进行数形转化的理论基础.

因此，我认为本节课的教学重点是平面向量基本定理的探究和理解.

二、教学目标设置

根据教学要求，教材的地位和作用，以及学生现有的认知水平和数学能力，我把本节课

的教学目标确定为以下三个方面：

1.通过观察、猜想、实验验证、逻辑推理，知道平面向量基本定理是如何得来的，理解平

面向量基本定理中关键词的含义；

2.学生经历从提出问题，到观察猜想，再到验证推理，然后概括总结，进而完善发展的数

学研究过程，培养学生观察、分析、类比、归纳的能力；通过与平行向量基本定理的比

较，揭示知识之间的内在联系，提高对知识体系的整体认识.

3.在概念的发生、发展和深化的过程中，感受数学的思维方式，体验数学的严谨性和概括

性，培养主动观察、分析、探索的意识；在平面向量基本定理形成与理解的过程中，体

会特殊与一般，对立与统一的辩证观点.

三、学生学情分析

在前两节中，学生己经学习了向量的基本概念、线性运算以及平行向量基本定理等知识;

学生在物理课上也学习过矢量的合成与分解.这都为本节课的学习作了一定的准备.但向量

的分解是对向量线性运算法则的逆用，这对学生的思维具有一定挑战；止匕外，对定理中任意

性和唯一性的理解和验证也是学生的一个难点.这些都需要教师引导突破.

我所任教的班级是示范校的普通班，学生各学科的基础都比较扎实，但思维的灵活性和

深刻性仍有待提高，对于思维力度较大的问题仍需教师引导探究，学生对问题严谨完整的表

述能力仍需培养.

因此，我认为本节课的教学难点在于平面向量基本定理中的任意性、存在性和唯一性.

四、教学策略分析

为了更好的突出教学重点，突破教学难点，完成教学目标，我采用引导启发的教学方式,

通过复习引入、逆向设问、直观感知、实验操作、定理雏形、完善定理、定理辨析，循序渐

进地将问题逐步引向深入，引导学生完成本节课的目标，体会学习数学的方法.

为了突破难点，我采取了以下措施：

1.针对存在性的难点，也就是分解向量的难点，通过学生黑板演示交流，对几种典型的情

况分别做图并完成线性表示；通过教师追问和点评，抓住向量加法法则中三个向量的位

置关系，提炼一■般做法.

2.对于定理中“任意性”的验证，我引导学生分三步进行：首先将平面内的任意向量简化为

起点在某定点（与基底共起点）的任意向量；然后使向量方向不变，只改变大小，从数与

形两个角度发现，只要在该方向上有一个向量能够用给定向量的线性运算表示，那么与

之同向的向量就都可以用给定向量的线性运算来表示；最后，就只需改变向量的方向，

也就是让向量绕其起点旋转起来，分析其旋转一周过程中的不同情况即可.在验证“任

意性”的过程中，我在学生板演分析之余，采用多媒体辅助教学，借助几何画板的动态

演示，让学生更加直观地理解定理中的“任意

3.对定理中“唯一性”的讨论我引导学生从定性的“存在”到定量的“几组”将定理精细化，并

从形的角度（贴近学生思维）和数的角度分别对“唯一性''进行证明，使学生进一步体会向

量是集数形于一身的数学概念.

本节课在猜想的形成，以及对定理中的存在性、任意性、唯一性的验证和证明过程中，

问题思维力度大，师生互动多.因此，我在设计本节课时，根据学情对每一个活动做好了充

分的预案，针对学生的不同反馈，灵活地进行引导启发；对每一个问题的提出，注意了设问

的梯度和问题的明确性，针对解决过程设计好“提示”和“追问”，使不同认知基础的学生

都能得到相应的收获.

与此同时，由于定理的形成和理解难度较大，在授课过程中，我对学生表现出的积极因

素给予适时适度的鼓励，当学生遇到知识漏洞和思维障碍时,本着循循善诱的原则进行帮助.

五、教学过程

（一）复习引入，铺垫新课

引例如图，平行四边形ABC。的两条对角线相交

于点点N为线段的中点，设=AD=b,

用向量a,方的线性运算来表示向量MN、MA、MB.A

设计意图：

1.复习向量的线性运算；

2.使学生感受到用平面内两个给定向量的线性运算，可以表示出许多不同的向量；

3.利用这个并不困难的引例，引出本节课要研究的问题.

（二）逆向设问，形成猜想

通过活动1,我们发现通过平面内两个给定向量的线性运算，可以表示出许多不同的向

量.那么

问题1想通过线性运算表示这些向量，必须给定两个向量吗？

设计意图：

1.如果两个给定向量就够用了，那么再增加其他的向量就没有必要了，体现数学的简

单化原则；

2.通过回忆数乘向量的几何意义，说明一个非零向量只能表示与之共线的向量，无法

表示与之不共线的向量，因此至少需要两个向量；

3.通过回忆平行向量基本定理，说明一个非零向量可以表示与之共线的任意向量，同

时为后面应用平行向量基本定理，以及两个定理进行比较做知识上的复习.

预案：学生容易忽略特殊情况，如零向量.

问题2通过平面内两个给定向量的线性运算可以表示多少向量，是有限个、无数个还

是任意一个？

设计意图：

1.说明当给定的两个不全为零的向量共线的时候，只能表示与他们共线的向量，从而

形成定理中的“不共线”；

2.说明当给定的两个向量不共线时，只能表示与他们共面的向量，从而形成定理中的

“这一平面内”；

3.区别“无数个”与“任意一个”，从而猜想定理中的“任意”.

预案：

1.学生认为两个给定的向量可以表示无数个向量而非任意一个，此时可以引导学生思

考哪些向量无法表示；

2.学生容易忽略“平面内”的限定，认为两个给定的向量可以表示任意一个向量，这

与此前学生数学学习中对三维空间研究较少有关，难以突破二维空间的思维局限，

此时，教师可以给出反例，让学生体会；

3.学生容易忽略共线的特殊情况，认为同一平面内两个给定向量可以表示该平面内任

意一个向量，此时可以追问学生“无论这两个向量如何给定，都可以表示平面内任

意一■个向量吗？”；

4,由问题1的讨论，有些学生容易想到当一个向量是零向量时，无法表示平面内任意

向量，有些学生会想到当两给定向量共线时，无法表示平面内任意向量，教师需要

引导学生认识到“不共线”的限定就排除了含零向量的可能.

活动1请学生表述猜想：通过同一平面内两个不共线向量的线性运算可以表示这一平

面内任意一个向量.

设计意图：

1.由猜想是否成立，引出课题；

2.猜想得到验证之后，这就是定理文字语言的描述，也是用符号语言进行描述的基础.

（三）操作确认，定理雏形

活动2操作确认，形成定理雏形

环节1教师给定一组不共线向量ei、C2（由向量的可平移性，不妨让这两个向量共起

点），并给出待分解的向量m请学生到黑板上作图，并说明作图过程及能够用ei、02的线

性运算来表示的原因.

设计意图:

1.基底给作共起点的情况，使学生更容易想到逆用平行四边形法则进行分解；

2.由这种情况入手，是因为这种情况与学生物理课上学习过的矢量分解类似，学生比

较容易上手;

3.逆用向量线性运算法则，构造平行四边形或三角形，培养学生的逻辑推理能力；

4.通过较简单情况下向量。的分解，体会将向量a用不共线向量ei、e2的线性运算进

行表示的方法和依据；

5.通过对学生将向量a平移的追问，一方面再次明确向量只与大小、方向有关，与起

点位置无关，即可以平移，另一方面说明平移至共起点是根据平行四边形法则中三

个向量的位置关系，目的是便于构造平行四边形，从而说明可以将对平面内任意向

量的验证问题简化为对以点。为起点的任意向量进行验证.

预案：如果学生逆用三角形法则对向量a进行分解，首先给予肯定，再询问其它方法;

如果学生没有用三角形法则，那么在整个验证活动结束后，提醒学生逆用三角形法则也

是可以验证的，可以课后进行尝试.

环节2当向量a可以用不共线向量ei、e2的线性运算进行表示时，不改变向量的方向，

只改变向量的大小，验证分解的存在性.

方案一：从形入手，可以先想象再配合几何画板直观观察分解的存在性.

方案二：从数入手，由平行向量基本定理，与向量。方向相同的向量一定可以写成™I,

既然”=入同+入202，那么ma=mA\ei+nTAie2-

设计意图：

1.向量的两个基本要素大小和方向同时变化不便于研究，我们可以分别研究；

2.从形理解更为直观，从数理解更为严谨，同时也潜移默化地使学生体会到向量是有

着数、形两种属性的数学对象；

3.由本环节的探究可知，只要向量a可以用不共线向量ei、e2的线性运算进行表示，

那么与之同向的向量也可以用ei、C2的线性运算来表示，那么对猜想的验证就只剩

下说明任意方向的向量都可以用的、e2的线性运算来表示了.

预案：

1.学生可能想不到从数的角度进行证明，这就需要教师进行引导了；

2.从数的角度进行说明的过程中，学生可能会发现向量〃口可以表示与向量a共线的

任意向量，也就是说如果向量a可以用不共线向量ei、e2的线性运算进行表示，那

么与之共线的向量就都以用ei、e2的线性运算来表示，而不仅仅是与之同向的向

量.如果学生发现这一点，是非常值得肯定的，这可以使得下一环节的验证进一步

得到简化.但数乘向量可以表示与原向量方向相反的向量这件事，学生在认知上仍

存在一定困难，为了分散难点，此处如果学生没有发现，教师也不必提及.

环节3使向量。绕其起点旋转，随着旋转，向量。的分解方法会有什么不同吗？都有

哪些情况呢？请想好的学生在黑板上画出代表不同情况的向量，对它们分别进行研究，提炼

一般方法，验证任意性.同时，利用几何画板进行动态演示，直观确认任意性.

1.通过对几种情况的区别，培养学生分类讨论的意识；通过对分类依据的交流，从分

解出的向量与基底方向的关系，到线性运算中系数的符号，为后续课程中建立坐标

系，划分象限埋下伏笔；

2.通过对上图中向量ai的分解方式与向量a分解方式的对比，将直接延长和反向延长

有向线段的情况统一起来，提炼出相应的平行四边形的一般构造方法：过向量a的

起点和终点分别作与ei、e2平行的直线，这四条直线围成所需平行四边形；

3.对向量a与6、e2其中一个共线情况的讨论，为后面分析平面向量基本定理与共线

向量基本定理之间的联系做铺垫；

4.利用几何画板动态演示使学生更加直观地确定猜想中的“任意”.

预案：

1.如果学生没有理解老师的意图，无从下手，教师可以使最初的向量a旋转一个小角

度，使学生发现此时分解的方法与原方法一致，那么向量。继续旋转，什么时候分

解方式就不同了呢？从而使学生理解老师的意图；

2.如果学生按照夹在两给定向量所成的小于180。的角内和角外进行分类，那么可以先

请学生对画出的向量进行线性表示，并分析分解出的向量方向及线性表达式中系数

的符号，从而从这个角度给出其余情况；

3.学生容易遗漏特殊情况，即与幻、02其中一个共线的情况，可以由其他同学补充；

4.如果学生对向量41、的、。4不会分解，可以引导学生回忆非零向量共线的定义，即

同向或反向.

活动3经过上述活动的探究，猜想得到了验证，试用符号语言总结得到的结论.

如果ei,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量。存在实

数击,42使。=尢01+4202.

设计意图：学生对符号语言的表述有一定困难,但这也是培养学生数学表达能力的机会,

需要教师帮助学生完善表述.

（四）完善定理，理解辨析

问题3我们定性地说明了满足要求的实数尢，入2存在，那么到底存在多少组呢？

设计意图：

1.从定性研究到定量研究，使学生体会科学研究的一般思路；

2.对唯一性的论证，一方面从形的角度用作图方法证明，贴近学生思维，培养论证表

达能力，另一方面从数的角度用同一法、反证法证明，培养逻辑思维能力，同时使

学生进一步体会向量是集数形于一身的数学概念；

3.理解当基底选定后，平面内的任意向量与有序实数对（九，%）——对应，为后面向量

的坐标表示做铺垫.

预案：

1.大部分学生会利用作图过程进行分析，但学生证明的意识比较薄弱，容易想当然，

缺乏从定义、公理、定理出发进行严谨逻辑推理的意识，这就需要教师抓住契机进

行培养；

2.高一年级的学生还没有学习反证法，同一法在课标当中也没有涉及，所以从数的角

度严格证明对学生来讲是个难点，如果没有课外的补充学习，学生很难想到这种证

明方法，因此这里的处理方式是教师引导，且对证明不做规范性要求.

完善平面向量基本定理：

如果ei，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量。存在唯

一一对实数A1，入2使a=尢0|+入202.

设计意图：将教材定理中的“有且只有”写作“存在唯一”，减少理解障碍.

教师解释定理的价值，深化学生对定理的认识：

阿基米德曾经说过：给我一个支点，我可以撬起地球.

通过平面向量基本定理，我们可以说：

给我两个不共线的向量，我可以通过简单的线性运算，构造出该平面内的所有向量；

给我两个不共线的向量，我可以把该平面内任意向量的问题都化归为这两个向量的问

题，从而化任意为确定，化未知为己知；

给我两个不共线的向量，我可以把该平面内的向量与有序实数对建立一一对应，搭起数

与形之间的桥梁，为用数的运算来刻画形的问题创造了可能.

我只需要两个不共线的向量！

设计意图：

1.借用阿基米德名言的句式，引起学生兴趣和注意；

2.通过排比，强调平面向量基本定理的重要价值；

3.说明这两个不共线向量的重要地位，引出基底定义.

给出基底的定义：

我们把不共线的向量ei，e2叫做表示这一平面内所有向量的基底(base).

设计意图：给出基底的英文单词，base有基础的意思，更容易让学生理解基底是构建

平面内所有向量的基础.我认为这也体现了平面向量基本定理中“基本”的含义.

问题4这个定理与平行向量基本定理有什么联系？

设计意图：

1.使学生理解二者的联系：平面向量基本定理是平行向量基本定理由一维到二维的推

广，平行向量基本定理是平面向量基本定理在一维时的特殊情形，这里体现了特殊

与一般的辨证观点，在这种视角下，平行向量基本定理中的“非零向量”也可以称

为一维空间上的一个基底，由它生成了与之共线的所有向量；

2.使学生体会联系地看待事物，而非割裂地看待知识，将新知识纳入到自己的知识网

络中，提高对知识体系的整体认识.

提出课后思考问题：三维空间的基底应该如何选取？

(五)小结反思，布置作业

1.小结：

本节课我们从一个具体问题的探究提出了研究的方向，从猜想到验证得到了定理的雏

形，从存在到唯一完善了定理的内容.

平面向量基本定理是将平面向量任意化归为确定的理论依据，是由几何到代数的桥梁.

希望同学们通过这节课能够体会一个数学概念从起因到发生,再到雏形,然后逐步完善、

发展过程中蕴含的合理的思维方式.

设计意图：

课标中对平面向量基本定理的要求是了解，而本节课花了较大的精力去发现、验证和理

解,一方面是希望学生能够认识到这个定理的价值,另一方面是希望学生通过这节课的探究,

经历一个数学概念形成的过程，体会其中蕴含的合理的思维方式.所以在小结中我希望学生

能够理解老师的意图.

2.作业：

必做作业：《成才之路》强化作业(十九)

课后思考：

(1)试利用三角形法则对定理进行验证；

(2)要想表示三维空间内的任意向量，我们最少需要几个怎样的向量作为基底呢？

设计意图：

必做作业是对课内知识的巩固，课后思考是让学有余力的生能够有充分的发展空间.

“椭圆及其标准方程”教学点评

陕西商南高级中学张志锋

本节课以学生发展为本，面向全体学生，设计的教学目标切合实际，注重学生活动和

探究的过程，并渗透数学方法。教学设计注重面向全体学生，把学生的学习过程视为在教师

引导下的自主探究过程，教学设计合理有序，落实得体。教学节奏合理。引入教学自然，问

题提出适当，问题设计环环相扣，承接有序。在教学推进过程中，为解决难点，教师根据建

标、提出从变量到不变量的问题，然后建立等量关系，进而转化为数学函数，化简后得到椭

圆的方程。在教学中注重创造思维、发散思维的培养。学具利用率高，直观性强。全教学过

程中注意了全体同学的动手参与、交流讨论也成为本节课的一个突出亮点，体现了"情景、

问题、探究、结论"的教学思路和数学教学注重思维的严密性的培养的学科特点，并发挥了

教师的引导在构建知识体系方面的突出作用，同时注重了联系生活实际和科学思想方法教

育。

教师基本功扎实，语言清晰流畅，表达科学准确，教态自然大方，教学激情炽热，教学

机智灵活，板书简洁明了，多媒体辅助教学技能应用熟练，突出教学多元化及辅助功能，多

渠道、多角度调动教学资源，合理运用一切有利条件，注重教学过渡与转承，教学环节浑然

一体。

本节课是一节优秀的数学教学课例，但是老师在追求卓越的同时，也力求相关教学内容

面面俱到，致使课堂内容显得繁多，这是本节课需要改进之处。

椭圆及其标准方程(第1课时)教学设计

陕西省商洛市商南县高级中学雷星

一、教学内容解析

1.地位与作用：

本章是北师大版选修1-1的第二章《圆锥曲线与方程》，是高中数学解析几

何的第二大部分。解析几何是数学中一个重要的分支,它联系了数学中的数与形、

代数与几何等最基本对象之间的联系。在北师大版必修2中，学生已掌握了在平

面直角坐标系下研究直线和圆的方法，本章教材进一步利用三种基本圆锥曲线深

化代数与几何的关系。本章教材内容的顺序是：椭圆一抛物线一双曲线一曲线与

方程。这样安排的用意是，先学圆锥曲线，再学曲线与方程，这样的顺序更有利

于学生的学习，符合学生从特殊到一般，具体到抽象的认知规律。在圆锥曲线的

学习过程中，不断的渗透曲线与方程的思想，为学生理解并掌握“曲线与方程”

这一概念奠定了基础。

本节是北师大版选修1—1的第二章《圆锥曲线与方程》第1