直线与圆的位置关系课件-高二上学期数学人教A版选择性4

2.5.1直线与圆的位置关系教学目标和学科素养课程目标学科素养A.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.B.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.1.数学抽象：直线与圆的位置关系.2.逻辑推理:判断直线与圆的位置关系.3.数学运算:判断直线与圆的位置关系4.数学建模:直线和圆的方程解决实际问题.教学重难点重点判断直线与圆的位置关系难点直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

“海上生明月，天涯共此时。”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊。在海天交于一线的天际，一轮明月慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面,越来越高，展现着迷人的风采.一情境导学二探究新知1.画面中能抽象出哪些基本的几何图形呢？太阳圆海平面直线海上日出直线与圆的位置关系那你想象一下，直线和圆的位置关系有几种？相交相离相切练习：看图判断直线l与⊙O的位置关系.O.O.O.O.Olllll相离相交相切相交？三位置判断——代数法.Ol想一想？代数法联立方程关系位置△>0相交△=0相切△<0相离如果，公共点的个数不好判断，该怎么办？

“直线和圆的位置关系”能否像“点和圆的位置关系”一样进行数量分析？求判别式△四复习点与圆的位置关系练一练例1已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得弦长。解：联立直线与圆C的方程，得消去y，得x2-3x+2=0，解得x1=2，x2=1.所以，直线l与圆C相交，有两个公共点把x1=2，x2=1分别代入方程①，得y1=0，y2=3.所以，直线l与圆C的两个交点是A（2,0），B(1,3)五位置判断——几何法(用圆心O到直线l的距离d与圆的半径r的关系来区分.).Oldr.Oldr.Oldr3、直线和圆相离d>r2、直线和圆相切d=r1、直线和圆相交d<r练一练例1已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得弦长。解：圆C的方程x2+y2-2y-4=0可化为x2+（y-1）2=5，因此圆心C坐标（0,1）半径为√5.圆心C到直线l的距离：所以，直线与圆C相交，有两个公共点.oxyCrd六归纳总结——直线与圆的位置关系位置关系特点交点个数几何法代数法图示l又称相交直线和圆有两个公共点.相切直线和圆有唯一的公共点.相离直线和圆没有公共点..o.A.Bl.OAl210d<rd=rd>r.Ol割线切线△>0△=0△<0七切线问题例2过P点(2，1)作圆O：x2+y2=1的切线l，求切线l的方程.解法1：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y-1=k(x-2)，即kx-y+1-2k=0由圆心（0，0）到切线l的距离等于圆的半径1，得：解得k=0或因此，所求切线l的方程为y=1，或4x-3y-5=0oxyP例2过P点(2，1)作圆O：x2+y2=1的切线l,求切线l的方程.解法2：设切线L的斜率为k,则切线方程l的方程为y-1=k(x-2)因为直线l与圆相切,所以方程组只有一组解.消元,得(k2+1)x2+(2k-4k)x+4k2-4k=0①因为方程①只有一个解,所以△=4k2(1-k)2-16k(k2+1)(k-1)=0解得k=0或因此，所求切线l的方程为y=1，或4x-3y-5=01．过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法

先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.2．过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．3．求切线长(最值)的两种方法(1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；(2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．

通性通法[跟踪训练]1．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9解析：选D圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.ABOPA1P2A2A3A4八弦长问题例3如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).解：建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为X轴，0为坐标原点,圆心在X轴上.由题意，点P,

B的坐标分别为(0,

4),(10,

0).设圆心坐标是(0,

b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.yx下面确定b和r的值.因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标(0.

4)，(10,

0)都满足方程x2+(y-b)2=r2，于是，得到方程组解得b=-10.5，r2=14.52.ABOPA1P2A2A3A4八弦长问题例3如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).yx所以，圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程，得（-2）2+(y+10.5)2=14.52即课后思考：是否可以用其他方法解决？九实际应用例4一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险?yx轮船港口解:以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系.为了运算的简便，我们取10

km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0,

3)，轮船所在位置的坐标为(4,0).这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应圆的方程为x2+y2=4;轮船航线所在的直线方程3x+4y-12=0.联立直线l与圆O的方程，得消去y，得由△=(-72)2-4*25*80<0,可知方程组无解.所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险.方法总结用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”:第一步:建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算，解决代数问题;第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论。课堂小结十课后探究——切线公式提示：已知:圆的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r，圆上一点P(x0,y0)解:圆心C(a，b)直线CP的斜率:k1=(y0-b)/(x0-a)因为直线CP与切线垂直，所以切线的斜率:k2=-1/k1=-(x0-a)/(y0-b)根据点斜式，求得切线方程:y-y0=k2(x-x0)y-y0=[-(x0-a)/(y0-b)](x-x0)整理得:(x-x0)(x0-a)+(y-y0)(y0-b)=0(注意:这式也是很好用的切线方程公式)展开后:x0x-ax+ax0+y0y-by+by0-x02-y02=0(1)因为点P在圆上，所以它的坐标满足方程:(x0-a)2+(y0-b)2=r2化简:x02-2ax0+a2+y2-2by0+b2=r2移项:-x02-y02=-2ax