专题01 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型（解析版）

专题01平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型【模型解读】图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型证明】（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2022·河南洛阳·统考二模）如图，，，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点作，从而可得，则有，，即可求的度数．【详解】解：过点作，如图，，，，，．故选：C．【点睛】本题考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．例2．（2023·山东·统考中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则．

【答案】【分析】可求，由，即可求解．【详解】解：，，，，，，故答案：．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握性质是解题的关键．例3．（2022下·浙江宁波·七年级统考期末）如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是（

）A．B．C．D．与没有数量关系【答案】A【分析】过C作∥，得到∥，因此，，由垂直的定义得到，由邻补角的性质即可得到答案．【详解】解：过C作∥，∥，，，，，，，，，故选：A．

【点睛】本题考查平行线的性质，关键是过C作，得到，由平行线的性质来解决问题．例4．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，已知AB//CD，，，，则度．

【答案】90【详解】解：如图，过点E作EH∥AB，过点F作FG∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥FG∥CD，AB∥EH∥CD，∴，，又∵，，∴，，∴，∴，即：，∴．故答案为：90．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理，作辅助线构造内错角是解题的关键．例5．（2023下·四川雅安·七年级雅安中学校考期中）如图，，平分，平分，若，则的度数=．【答案】40度/【分析】先作，作，可知，即可得出，，．再根据角平分线定义得，，然后根据，代入整理得出，即可得出答案．【详解】过点B作，过点C作，∵，∴，∴，，．∵平分，平分，∴，，∴，．∵，∴，∴，∴，∴，即．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等，确定各角之间的数量关系是解题的关键．例6．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）如图，已知，点E，F分别在直线上，点O在直线之间，如图所示，分别在和的平分线上取点M，N，连接，则；如果，，，连接，则（用m，n的代数式表示）【答案】【分析】过点O作，过点M作，过点，则，由平行线的性质推出，同理得，由此推出，再由角平分线的定义得到，进一步推出，由此即可得到答案；同理求出当，，时，的值即可．【详解】解：如图所示，过点O作，过点M作，过点，∵，∴，∴，∵，∴，同理可证，∴；∵，∴，∴，∵分别是的角平分线，∴，∵，，∴，∴；；同理当时，可得，，∵，，∴，故答案为：，．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．例7．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，，，则、、之间满足的数量关系为．

【答案】【分析】如图，过E作，过F作，过G作，再证明，再结合平行线的性质可得结论．【详解】解：如图，过E作，过F作，过G作，∵，∴，

∵，∴，，∵，∴，，∴，∵，∴；故答案为：【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．例8．（2023·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下：过点E作直线a∥AB，则a∥AB∥CD，则∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D.（2）∠E+∠B+∠D=360°，理由如下：过点E作直线b∥AB，则b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，∠4+∠D=180°∴∠B+∠3+∠4+∠D=360°即∠E+∠B+∠D=360°.（3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下：过点E，F，G作直线c∥AB，d∥AB，e∥AB，则c∥AB∥d∥e∥CD，则∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD.例9．（2022上·江西景德镇·九年级校联考期中）直线，点M、N分别在直线上．(1)如图1，的数量关系为：；(2)如图2，直线与分别交于点E、F，连接，的平分线交于点H．①当，时，请判断与的数量关系，并说明理由；②如图3，当保持并向左平移，在平移的过程中猜想、与的数量关系，请直接写出结论．【答案】(1)(2)①，见解析；②或【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线．明确角度之间的数量关系是解题的关键．（1）如图1中，过点P作．利用平行线的性质证明即可；（2）①利用平行线的性质角平分线的定义证明即可；②分如图中，当点P在的右侧时；如图中，当点P值的左侧时，两种情况，利用平行线的性质角平分线的定义求解即可．【详解】（1）解：如图1中，过点P作．∴，∴，，∴，∴．故答案为：；（2）①解：，理由如下：如图2，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案为：；②解：由题意知，分P值的右侧，P值的左侧，两种情况求解：如图中，当点P在MN的右侧时，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴．如图中，当点P值的左侧时，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴．课后专项训练1．（2023下·浙江·七年级期中）如图，，平分，且，垂足为F，若，则的大小是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图所示，过点F作，则，由平行线的性质得到，由角平分线的定义求出，再由垂线的定义求出，则．【详解】解：如图所示，过点F作，∵，∴，∴，∵平分，，∴，∵，即，∴，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，正确作出辅助线是解题的关键．2．（2023下·吉林松原·七年级校联考期中）山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补得到，，再根据周角的定义求出的度数即可．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．3．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）已知如图：，与的角平分线交于点，则图中与的关系是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由角平分线的定义可得，，由平行线的性质可求得，从而求得，由对顶角相等得，则有，即可求解．【详解】如图，与的角平分线交于点，，，，，，，，，，．故选：．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．4．（2023上·山东青岛·八年级统考期末）如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（

）（1）；（2）；（3）；（4）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，又∵∠A＝110°，∴∠C＝70°，∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正确，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，∴∠D+∠CED＝110°，∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正确，∵点E在AC上的任意一点，∴AE无法判断等于CE，∠BED无法判断等于45°，故（1）、（4）错误，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．5．（2023下·安徽安庆·七年级统考期末）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】过点E作，则，由平行线的性质得，过点C作，则有，同理，结合角平分线的定义即可求得结果．【详解】解：如图，过点E作，∵，∴，∴，∴，过点C作，则有，

同理，∵和分别平分和，∴，∴，，即，解得：，故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解二元一次方程组，构造平行线是解题的关键．6．（2023下·河南平顶山·八年级统考期末）如图，直线，点A和点B分别在直线a和b上，点C在直线a、b之间，且，，，则的度数是（

）

A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据角的和差求出，根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图，

∵，，∴，∵，∴，∵，∴，故选：D．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟记“等腰三角形的两底角相等”是解题的关键．7．（2023下·浙江温州·七年级统考期中）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中，两点分别落在直线，上，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：直线，∴，故选：．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．8．（2023·湖北随州·统考模拟预测）如图，已知，将直角三角形如图放置，若∠2=40°，则∠1为（）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】B【分析】过A作AB∥a，即可得到a∥b∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠5的度数，进而得出的度数．【详解】解：标注字母，如图所示，过A作AB∥a，∵a∥b，∴a∥b∥AB，∴∠2=∠3=40°，∠4=∠5，又∵∠CAD=90°，∴∠4=50°，∴∠5=50°，∴∠1=180°-50°=130°，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．9．（2023·山东菏泽·统考中考真题）如图，，，则的度数是．【答案】【分析】直接作出，再利用平行线的性质分析得出答案．【详解】作，∵，∴，∴，，，∴，，∴，故答案为．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，正确得出，是解题关键．10．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，三角形中，．交于，、分别是、上的点，连接、，，．则的度数为．

【答案】/85度【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是先过点作，交于点，证明，再根据平行公理的推论证明，从而证明，再根据已知条件，求出，最后利用平行线的性质求出答案即可．【详解】解：如图所示，过点作，交于点，，，，，，即，，，即，，，，，，故答案为：．

11．（2023上·浙江金华·七年级校考期中）如图，，，则．

【答案】/54度【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点P作直线，可得，从而得到，进而得到，即可求解．【详解】解：如图，过点P作直线，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案为：12．（2023上·甘肃·八年级校考阶段练习）如图，C岛在A岛的北偏东方向上，B岛在A岛的北偏东的方向上，C岛在B岛的北偏西方向上，从C岛看A岛、B岛的视角．

【答案】/110度【分析】根据方向角，平行线的性质可得答案．【详解】如图，作出点C的正北方向，

则，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了方向角，平行线的性质，角的和，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．13．（2023下·浙江金华·七年级校联考阶段练习）如图，直线，，为直角，则．

【答案】【分析】过点作，根据平行线的性质，求解即可．【详解】解：过点作，如下图：

则，∴，，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质并运用数学结合思想．14．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，，和的平分线相交于点P．请写出、、的数量关系．

【答案】【分析】作，则，根据平行线的性质可得，结合角平分线定义可得，再根据推出，，即可得出．【详解】解：如图，作，，，，，，，，和的平分线相交于点P．，，，，，，，，即．故答案为：．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的和差关系等，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．15．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，，点O在内部，且平分，射线交于点E，若，，则的度数为．

【答案】/87度【分析】过O作，利用平行线的性质和角平分线的定义求解即可．【详解】解：过O作，

∵，∴，∴，，，∵，∴，∵平分，∴，则，∵，∴，∴，故答案为：.【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，添加平行线，利用平行线的性质求解是解答的关键．16．（2023下·湖北鄂州·七年级统考期中）（1）如图1，，垂足为点，，.试判断和之间的位置关系，并说明理由；（2）如图2，，，求证：．【答案】（1），理由见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据平行线的性质得到，再利用垂直定义及平行线的判定得到，最后利用平行公理即可解答；（2）根据平行线的性质得到，再利用平行线的判定即可得到结论．【详解】（1），理由如下：过点作，，，，∴，，，，，，；（2）连接，，，，，即，．【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的判定与性质，余角的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．17．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，则∠F＝；(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【分析】（1）如图1，分别过点，作，，根据平行线的性质得到，，，代入数据即可得到结论；（2）如图1，根据平行线的性质得到，，由，，得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论；（3）如图2，过点作，设，则，根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，于是得到结论．【详解】（1）解：如图1，分别过点，作，，，，，又，，，，又，，，，；故答案为：；（2）解：如图1，分别过点，作，，，，，又，，，，又，，，，，；（3）解：如图2，过点作，由（2）知，，设，则，平分，平分，，，，，，，．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．18．（2023下·河南平顶山·七年级统考期中）如图1、图2，已知∠1+∠2＝180°．（1）若图1中∠AEF＝∠HLN，试找出图中的平行线，并说明理由；（2）如图2，∠PMB＝3∠QMB，∠PND＝3∠QND，试探究∠P与∠Q的数量关系？（直接写答案，不写过程）．【答案】（1）AB∥CD，EF∥HL，理由详见解析；（2）∠P＝3∠Q．【分析】（1），；由同旁内角互补可得；延长交于，由平行线的性质及已知，可得，从而可判定；（2）；作，先由平行线的性质推得，从而；同理可得；再将已知代入计算即可得解．【详解】解：（1），理由如下：，；延长交于；（2）理由如下：，作，，，同理可得，．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线三线八角的基本模型是解题的关键．19．（2023下·福建厦门·七年级校考期中）对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角．(1)若，求的4系补周角的度数．(2)如图，，点是平面内一点，连接，，，若是的3系补周角，求的度数．

【答案】(1)(2)【分析】（1）设的4系补周角的度数为，根据新定义列出方程求解即可；（2）过E作，得，又由是的3系补周角得到，则，求得即可【详解】（1）解：设的4系补周角的度数为，根据新定义得，，解得，，答：的4系补周角的度数为，（2）解：过E作，如图，∴，

∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∵是的3系补周角，∴，∴，∴；【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键．20．（2022下·北京·七年级北师大实验中学校考期末）阅读下面材料：彤彤遇到这样一个问题：已知：如图，，E为，之间一点，连接，，得到，求证：．

彤彤是这样做的：过点E作，则有．∵，∴．∴∴．即．请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：已知：直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点E．

(1)如图1，当点B在点A的左侧时，若，，求的度数；(2)如图2，当点B在点A的右侧时，设，，直接写出的度数（用含有x，y的式子表示）．【答案】(1)；(2)【分析】（1）过点E作，当点B在点A的左侧时，根据，，参照彤彤思考问题的方法即可求的度数；（2）过点E作，当点B在点A的右侧时，，参照彤彤思考问题的方法即可求的度数．【详解】（1）如图1，过点作，

，

平分，平分，，，，；（2）过点E作，如图2，

则，∴，∵，∴，∴，∴，即，∵平分，平分，，∴，，∴．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定和性质．21．（2023下·浙江·七年级专题练习）（1）如图①，AB//CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5有何关系？请说明理由；（2）如图②，AB//CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．

【答案】（1）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5，理由见解析；（2）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7，一般情况：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等．【分析】（1）首先分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN，由平行线的性质，可得∠2+∠4=∠1+∠3+∠5；（2）首先分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，然后利用平行线的性质，即可证得∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．【详解】解：（1）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．理由：分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5，∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5；

（2）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．理由：分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7，∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．结论：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等．

【点睛】此题考查平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．22．（2023下·浙江·七年级专题练习）如图1