专题01 圆的认识以及与圆有关的概念 （原卷版）

专题01圆的认识以及与圆有关的概念圆——知识点总结归纳圆的定义以及相关元素（1）集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合（2）轨迹形式的概念：圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆（3）圆中相关元素概念1、半径：圆上一点与圆心的连线段。2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。4、弧：圆上两点之间的曲线部分，半圆周也是弧。劣弧：小于半圆周的弧。优弧：大于半圆周的弧。5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．6、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。8、弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．9、同圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等．圆的对称性（1）旋转对称性1、圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．2、圆的旋转对称性圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．（2）轴对称性1、圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．2、圆的轴对称性垂径定理．垂径定理：定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．（扩展）即：在⊙中，∵∥∴弧弧注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．圆的性质定理（1）圆周角定理1、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2、推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．2、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．所对的两圆心角相等所对的两圆心角相等所对的两条弦相等所对的两条弧相等所对的两条弦的弦心距相等注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．点与圆、直线与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系1、点在圆内点在圆内；2、点在圆上点在圆上；3、点在圆外点在圆外；（2）直线与圆的位置关系1、直线与圆相离无交点；2、直线与圆相切有一个交点；3、直线与圆相交有两个交点；（3）切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵且过半径外端∴是⊙的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。（4）切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线∴平分外接圆内切圆外接圆内切圆概念经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形名称内接三角形外切三角形圆心名称外心内心尺规作图实质三角形各边垂直平分线的交点三角形各内角角平分线的交点性质到三角形各顶点的距离相等到三角形各边的距离相等直角三角形外接圆、内切圆半径的求法(为斜边长)内、外心的位置锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。钝角三角形外心在三角形外。三角形一定有内切圆，圆心定在三角形内部。I是的外心：∠BIC=2∠AI是的内心：∠BIC=+∠A注意等边三角形的内心、外心重合。外接圆1、三角形一定有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。三角形的外接圆圆心是三边的垂直平分线的交点。三角形外接圆圆心叫外心2、HYPERLINK锐角三角形外心在三角形内部。HYPERLINK直角三角形外心在三角形斜边中点上。HYPERLINK钝角三角形外心在三角形外。3、有HYPERLINK外心的图形，一定有HYPERLINK外接圆(各边HYPERLINK中垂线的交点，叫做外心）外接圆HYPERLINK圆心到三角形各个HYPERLINK顶点的HYPERLINK线段长度相等过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做HYPERLINK三角形的外心在三角形中，三角形的外心不一定在三角形内部，可能在三角形外部（如钝角三角形），也可能在三角形上（如直角三角形）4、过不在同一HYPERLINK直线上的三点可作一个圆（且只有一个圆）（2）内切圆1、与三角形三边都相切的圆叫做HYPERLINK三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形三条HYPERLINK角平分线的交点。2、HYPERLINK三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆，且内切圆圆心定在三角形内部。3、在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。4、HYPERLINK内切圆的HYPERLINK半径为r=2S÷C，当中S表示三角形的HYPERLINK面积，C表示三角形的HYPERLINK周长。补充：在直角三角形的内切圆中，有这样两个简便HYPERLINK公式：两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径。r=2、两直角边乘积除以直角三角形周长，得数是内切圆的半径。r=（3）内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙中，∵四边形是内接四边形正多边形与圆概念与性质正多边形的概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．中心：把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心。中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。（2）圆内正多边形的计算1、正三角形在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；2、正四边形四边形的有关计算在中进行，：3、正六边形六边形的有关计算在中进行，.复习：n边形内角和等于（n-2）×180°多边形的外角和恒等于360°扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式：：圆心角：扇形多对应的圆的半径：扇形弧长：扇形面积（3）圆锥侧面展开图（1）=（2）圆锥的体积：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；圆锥的底面半径，母线长，高组成直角三角形，可利用勾股定理求解．2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图=（2）圆柱的体积：圆的认识以及与圆有关的概念例题讲解一、圆的概念【例1】下列关于圆的叙述中正确的是()A．圆是由圆心唯一确定的B．圆是一条封闭的曲线C．平面上到定点的距离小于或等于定长的所有点组成圆D．圆内任意一点到圆心的距离都相等【例2】下列说法中，不正确的是（）A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B．圆的每一条直径都是它的对称轴 C．圆有无数条对称轴 D．圆的对称中心是它的圆心【例3】对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理 C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理 D．将车轮设计为圆形是运用了“圆上所有的点到圆心的距离相等”的原理弧、弦、圆心角等元素的概念【例1】下图中∠ACB是圆心角的是()【例2】如图，图中的弦共有()A．1条B．2条C．3条D．4条【例3】下列说法正确的是（）A．弦是直径 B．弧是半圆 C．直径是圆中最长的弦 D．半圆是圆中最长的弧【例4】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点P是OB上的任意一点(不包括点O、B)，CD、EF是过点P的两条弦，则图中的弦有________________，以B为端点的劣弧有___________________．圆的认识综合题型【例1】下列4个说法中：①直径是弦；②弦是直径；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④弧是半圆；正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例2】下列说法中，不正确的是（）A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的弧是等弧【例3】下列命题中是真命题的有（）①两个端点能够重合的弧是等弧；②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；③长度相等的弧是等弧；④半径相等的圆是等圆；⑤直径是最大的弦；⑥半圆所对的弦是直径．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【例4】如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE＝BF，请你判断线段OE与OF的数量关系，并给予证明．【例5】已知，如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．【例6】如图，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长．【例7】如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，HN＝c，则a、b、c三者间的大小关系为________．证明四点共圆【例1】已知：如图，BE、CFABCMBCB、C、E、FM【例2】如图，在□ABCDBADAE⊥BC，AF⊥CD．求证：A、E、C、F课后练习题：1．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（）A．a B．b C．a+b D．a﹣b2、生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（）A．圆的直径是半径的2倍 B．同一个圆所有的直径都相等 C．圆的周长是直径的π倍 D．圆是轴对称图形3．有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是（）A．1 B．4 C．10 D．114、下列各组图形中，四