人教A版高中数学必修4第1章《 三角函数》全部教案 同步单元测试卷

第一章三角函数

本章教材分析

1.本章知识结构如下:

2.本章学习的内容主要是:三角函数的定义、图象、性质及应用.三角函数是高中教材中的一

种重要函数，与其他的函数相比，具有许多重要的特征:它以角为自变量，是周期函数.三角函数

是解决其他问题的重要工具，是高中阶段学习的最后一个基本初等函数,是深化函数性质的极

好素材.本章的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，特别强调了单位圆的直

观作用，借助单位圆直观地认识任意角、任意角的三角函数.

3.本章教学的重点是三角函数的定义,同角三角函数的基本关系式，正弦函数的图象及基本性

质.难点是弧度制和图象变换的准确理解和掌握.关键是学好三角函数定义.从实际教学情况

来看，教学中应重视学生的画图.“五点画图”虽然简单，但却易学难掌握.在本章教学中,教师应

根据学生的生活经验和已有的数学知识,通过列举熟知的实例，创设丰富的情境，使学生体会

三角函数模型的意义.教学时，可结合本章引言的章头图，让学生围绕这些问题展开讨论，通过

思考,让学生知道三角函数可以刻画这些周期变化规律，从而激发学生的求知欲.

4.三角函数的内容一直是高考的重要内容，特别是三角函数的图象和性质，及结合三角形的基

础知识为背景的三角函数知识，频频在各省高考试题中出现,难度虽有降低，却是经久不衰的

高考考查内容.

5.本章教学时间约需16课时,具体分配如下（仅供参考）：

标题课时

1.1任意角和弧度制约2课时

1.2任意角的三角函数约3课时

1.3三角函数的诱导公式约2课时

1.4三角函数的图象与性质约4课时

1.5函数y=Asin®x+<p）的图象约2课时

1.6三角函数模型的简单应用约2课时

本章复习约1课时

1.1任意角和弧度制

1.1.1任意角

整体设计

教学分析

教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突，然后通过具体例子，将初中学过的

角的概念推广到任意角，在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有

经验（生活经验、数学学习经验）的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.

让学生体会到把角推广到任意角的必要性，引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面

直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特

别注意这种利用儿何的直观性来研究问题的方法，引导学生善于利用数形结合的思想方法来

认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角

终边相同的角的集合，是本节的一个重要任务.

学生的活动过程决定着课堂教学的成败，教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的

过程功能，在这个过程上要不惜多花些时间，让学生进行操作与思考，自然地、更好地归纳出终

边相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S={p|p=a+k-360°,keZ}的含义.如能借助信

息技术，则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,

让学生在动态的过程中体会，既要知道旋转量，又要知道旋转方向，才能准确刻画角的形成过

程的道理，更好地了解任意角的深刻涵义.

三维目标

1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性，理解并掌握正角、负角、零角、

象限角、终边相同角的概念及表示，树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概

念.

2.通过自主探究、合作学习，认识集合S中k、a的准确含义,明确终边相同的角不一定相

等，终边相同的角有无限多个，它们相差360。的整数倍.这对学生的终身发展，形成科学的世界

观、价值观具有重要意义.

3.通过类比正、负数的规定，让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的

运用，为今后的学习与发展打下良好的基础.

重点难点

教学重点:将0°—360。范围的角推广到任意角，终边相同的角的集合.

教学难点:用集合来表示终边相同的角.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

图1

思路1.（情境导入汝I图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机，只要指针旋转到阴

影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转，旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉的体

操运动员旋转的角度，自行车车轮旋转的角度,螺丝扳手的旋转角度，这些角度都怎样解释?在

学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广.进而引入角的概念的推广的问题.

思路2.（复习导入）回忆初中我们是如何定义一个角的?所学的角的范围是什么?用这些角

怎样解释现实生活的一些现象，比如你原地转体•周的角度，应怎样修正角的定义才能解释这

些现象?由此让学生展开讨论，进而引入角的概念的推广问题.

推进新课

新知探究

提出问题

①你的手表慢了5分钟，你将怎样把它调整准确?假如你的手表快了1.25小时,你应当怎样将

它调整准确?当时间调整准确后，分针转过了多少度角？

②体操运动中有转体两周，在这个动作中,运动员转体多少度？

③请两名男生（或女生、或多名男女学生）起立，做由“面向黑板转体背向黑板”的动作.在这个

过程中，他们各转体了多少度？

活动:让学生到讲台利用准备好的教具——钟表,实地演示拨表的过程.让学生站立原地

做转体动作.教师强调学生观察旋转方向和旋转量，并思考怎样表示旋转方向.对回答正确的

学生及时给予鼓励、表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，设•条

射线的端点是O,它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置0B,则形成了一个角a,点0

是角的顶点，射线OA、0B分别是角a的始边和终边.

我们规定:一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋

转形成的角叫做负角.钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角，为了简便起见,

在不引起混淆的前提下，“角a”或“N『可以简记作“a”.

如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角，零角的始边和终边重合，如果a

是零角，那么a=0。.

讨论结果:①顺时针方向旋转了30。;逆时针方向旋转了450°.

②顺时针方向旋转了720。或逆时针方向旋转了720。.

③-180。或+180。或-540。或+540。或900。或10800...

提出问题

①能否以同一条射线为始边作出下列角：210。,-45。,-150。.

②如何在坐标系中作出这些角,象限角是什么意思？0°角又是什么意思？

活动:先让学生看书、思考、并讨论这些问题，教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时

表扬,对回答不准确的学生，教师提示、引导考虑问题的思路.学生作这样的角，使用一条射线作

为始边，没有固定的参照，所以会作出很多形式不同的角.教师可以适时地提醒学生:如果将角

放到平面直角坐标系中，问题会怎样呢?并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的好处:使

角的讨论得到简化,还能有效地表现出角的终边“周而复始”的现象.

今后我们在坐标系中研究和讨论角，为了讨论问题的方便，我们使角的顶点与坐标原点重

合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是笫几象限角.

要特别强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半

轴重合.

讨论结果:①能.

②使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.角的终边在第几象限,我们就

说这个角是第儿象限角.这样：

210。角是第三象限角；

■45。角是第四象限角；

-150。角是第三象限角.

特别地，终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限，比如0°角.

可以借此进一步设问：

锐鱼是第几象限角?钝角是第几象限角?直角是第几象限角?反之如何？

将角按照上述方法放在直角坐标系中，给定一个角，就有唯一条终边与之对应，反之，对于直

角坐标系中的任意一条射线OB,以它为终边的角是否唯一?如果不唯一,那么终边相同的角有

什么关系？

提出问题

①在直角坐标系中标出210。,-150。的角的终边，你有什么发现？它们有怎样的数量关

系?328。,-32。,-392。角的终边及数量关系是怎样的?终边相同的角有什么关系？

②所有与a终边相同的角，连同角a在内,怎样用一个式子表示出来？

活动:让学生从具体问题入手，探索终边相同的角的关系，再用所准备的教具或是多媒体

给学生演示:演示象限角、终边相同的角，并及时地引导:终边相同的一系列角与0°到360。间

的某一角有什么关系，从而为终边相同的角的表示作好准备.

为了使学生明确终边相同的角的表示方法，还可以用教具作一个32。角，放在直角坐标系

内,使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，形成-32。角后提问学生这是

第儿象限角?是多少度角?学生对后者的回答是多种多样的.

至此,教师因势利导，予以启发，学生对问题探究的结果已经水到渠成,本节难点得以突破.

同时学生也在这一学习过程中,体会到了探索的乐趣，激发起了极大的学习热情，这是比学习

知识本身更重要的.

讨论结果:①210°与-150。角的终边相同;328。,-32。,-392。角的终边相同.终边相同的角相差360°

的整数倍.

设5={0Ip=-32°+k-360°,keZ},则328。,-392。角都是S的元素,-32。角也是S的元素(此时k=0).

因此,所有与-32。角的终边相同的角，连同-32。在内，都是集合S的元素;反过来，集合S的任何一

个元素显然与-32。角终边相同.

②所有与a终边相同的角，连同角a在内，可以构成一个集合S=(pIp=k-360°+a,keZ).

即任•与角a终边相同的角，都可以表示成a与整数个周角的和.

适时引导学生认识:①kez；②a是任意角;③终边相同的角不•定相等,终边相同的角有无数

多个，它们相差360。的整数倍.

应用示例

例1在0。一360。范围内，找出与-950。12,角终边相同的角，并判定它是第几象限角.

解:-950。12，=129。4&-3、360。,所以在00—360。的范围内，与-950。12角终边相同的角是129。4&

它是第二象限的角.

点评:教师可引导学生先估计-950。12大致是360。的几倍，然后再具体求解.

例2写出终边在y轴上的角的集合.

活动:终边落在y轴上，应分y轴的正方向与y轴的负方向两个.

学生很容易分别写出所有与90。,270。的终边相同的角构成集合,这时应启发引导学生进一步

思考:能否化简这两个式子，用一个式子表示出来.

让学生观察、讨论、思考，并逐渐形成共识，教师再规范地板书出来.并强调数学的简捷性.

在数学表达式子不唯一的情况下，注意采用简约的形式.

解:在0。―360。范围内，终边在y轴上的角有两个,

即90。和270。角，如图2.

因此,所有与90。的终边相同的角构成集合

Si={pIp=90°+k-360°,keZ}.

而所有与270。角的终边相同的角构成集合

S2={pI。=270。+卜360。,rZ}.

于是,终边在y轴上的角的集合

S=S|US2

={pIp=90°+2k180°,kGZ}U{Bl0=90。+180。+2k•180*Z)

={pIp=90°+2k-180°,keZ}U{0|p=90°+(2k+l)-180°,kGZ}

={pIp=90°+nl80°,neZ}.

点评:本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示.教学中，应引导学生体会用集合表

示终边相同的角时，表示方法不唯一，要注意采用简约的形式.

变式训练

①写出终边在x轴上的角的集合.

②写出终边在坐标轴上的角的集合.

答案:①S={B|p=(2n+l)180°,neZ}.

②S={B[p=n-90°,nGZ}.

例3写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360。印<720。的元素P写出

来.

解:如图3,在直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴夹角是45。,在0。―360。范围内，终

边在直线y=x上的角有两个:45。和225。,因此，终边在直线y=x上的角的集合

S={pIp=45°+k-360°,keZ}U{P|p=225°+k-360°,keZ}.

S中适合-360。印<720。的元素是：

45o-2xl80°=-315°,

45°-lxl80°=-135°,

45o+0xl80°=45°,

45o+lx180°=225°,

450+2xl80o=405°,

450+3xl80°=585°.

点评:本例是让学生表示终边在已知直线的角,并找出某一范围的所有的角，即按一定顺

序取k的值,应训练学生掌握这一方法.

例4写出在下列象限的角的集合：

①第一象限；②第二象限；

③第三象限；④第四象限.

活动:本题关键是写出第一像限的角的集合，其他象限的角的集合依此类推即可,如果学

生阅读例题后没有解题思路，或者把①中的范围写成0°—90。,可引导学生分析360。―450。范

围的角是不是第一象限的角呢?进而引导学生写出所有终边相同的角.

解:①终边在第一象限的角的集合:用In-360°<p<n-360°+90°,ieZ).

②终边在第二象限的角的集合:{。In-360o+90°<p<n-360°+180°,Z}.

③终边在第三象限的角的集合:仍In-360°+180o<p<n-360o+270°,i£Z).

④终边在第四象限的角的集合:{pIn-360°+270o<p<n-360o+360°,i£Z}.

点评:教师给出以上解答后可进一步提问:以上的解答形式是唯一的吗？充分让学生思

考、讨论后形成共识，并进一步深刻理解终边相同角的意义.

知能训练

课本本节练习.

解答：

1.锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；

直角不属于任何一个象限,不属于任何一个象限的角不•定是直角；

钝角是第二象限角，但是第二象限角不一定是钝角.

点评:要深刻认识锐角、直角、钝角和象限角的区别与联系，并理解记忆.为弄清概念的本质属

性,还可以再进一步启发设问：

锐角一定小于90。吗?小于90。的角一定是锐角吗？

钝角一定大于90。吗?大于90。的角一定是钝角吗？

答案当然是:不一定.

让学生展开讨论，在争论中,将对问题的认识进一步升华，并牢牢的记忆这些基础知识.

2.三、三、五.

点评:本题的目的是将终边相同的角的符号表示应用到其他周期性问题上.题目联系实

际，把教科书中除数360换成每个星期的天数7,利用了“同余”来确定7k天后、7k天前也是星

期三,这样的练习难度不大，可以口答.

3.(1)第一象限角.

(2)第四象限角.

(3)第二象限角.

(4)第三象限角.

点评:能作出给定的角，并判断是第几象限的角.

4.(1)305。42,第四象限角.

(2)35。&,第一象限角.

(3)249。30,第三象限角.

点评:能在给定的范围内找出与指定角终边相同的角，并判断是第儿象限的角.

5.(l){pIp=l303。8'+k360°,k®},-496o4Z,-136o4Z,223°18,.

(2){pIp=-225°+k-360°,keZ},-585°,-225°,135°.

点评:用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定的范围内

找出与指定的角的终边相同的角.

课堂小结

以提问的方式与学生一起回顾本节所学内容并简要总结：

让学生自己回忆:本节课都学习了哪些新知识?你是怎样获得这些新知识的?你从本节课上都

学到了哪些数学方法?让学生自己得到以下结论：

本节课推广了角的概念,学习了正角、负角、零角的定义,象限角的概念以及终边相同的角的

表示方法,零角是射线没有作任何旋转.一个角是第几象限的角，关键是看这个角的终边落在

第儿象限，终边相同的角的表示有两方面的内容:(1)与角a终边相同的角，这些角的集合为

S={pIp=k-360°+a,keZ};(2)在0。-360。内找与已知角终边相同的角a,其方法是用所给的角

除以360。,所得的商为k,余数为a(a必须是正数),a即为所找的角.

数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.

作业

①课本习题1.1A组1、3、5.

②预习下一节:弧度制.

设计感想

1.本节课设计的容量较大，学生的活动量也较大,若用信息技术辅助教学效果会很好.教师可充

分利用多媒体做好课件，在课堂上演示给学生;有条件的学校，可以让学生利用计算机或计算

器进行探究,让学生在动态中掌握知识、提炼方法.

2.本节设计的指导思想是加强直观.利用几何直观有利于对抽象概念的理解.在学生得出象限

角的概念后，可以充分让学生讨论在直角坐标系中研究角的好处.前瞻性地引导学生体会:在

直角坐标系中角的''周而复始''的变化规律，为研究三角函数的周期性奠定基础.

3.几点说明：

(1)列举不在0。-360。的角时，应注意所有的角在同一个平面内，且终边在旋转的过程中，角的

顶点不动.

(2)在研究终边相同的两个角的关系时,k的正确取值是关键，应让学生独立思考领悟.

(3)在写出终边相同的角的集合时，可根据具体问题，对相应的集合内容进行复习.

备课资料

备用习题

1.若角a与。终边相同，则一定有()

A.a+p=180°B.a+p=O°

C.a-p=k-360°(kEZ)D.a+p=k-360°(keZ)

2.集合A={aIa=k-90°-36°,keZ},B={pI-1800<p<180o},!fliJAPB等于()

A.{-36°,54°}B.{-126°,144°}

C.{-126°,-36°,54°,144°}D.{-126°,54°}

3.在直角坐标系中，若角a与角p的终边互相垂直，则角a与角p的关系是()

A.p=a+90°B.p=a±90°

C.p=a+90°+k-360°(keZ)D.p=a±90°+k-360°(keZ)

4集合Z={xIx=(2n+l)-180°,neZ},Y={xIx=(4k±l)-180°,keZ}之间的关系是()

A.Z^YB.Z*Y

C.Z=YD.Z与Y之间的关系不确定

n

5.已知角0的终边与168。角的终边相同，则在(0。,360。)范围内终边与上角的终边相同的角是

3

6.若集合人={(1Ik-180°+30°<a<k-180°+90°,leZ},集合B={pIk-360°+315°<p<k-360°+405°,

kCZ),求AOB.

7.写出终边在四个象限角平分线上的角的集合.

参考答案：

l.C2.C

3.答案:D

点拨:将角的终边按逆(或顺)时针旋转90。后，知a±90。^角p的终边重合.

4.答案:C

点拨:先分别将n和k赋以不同的整数值,找出角x的终边，然后再比较.

5.答案:56。,176。,296。

g

点拨:根据已知条件有0=1(360。+168。,胫Z,-=k-120°+56°,keZ.又0<k-120o+56o<360°,

3

满足条件的k为0,1,2.

6.解:B={0Ik-360°-45o<p<k-360o+45°,leZ).

采用数形结合法，在直角坐标系内,分别寻找集合A和集合B中的角的终边所在的区域，终边

在这两个区域的公共部分内的角的集合就是ACB,可以求得

AAB={xI30°+k360°<x<45°+k-360°埠Z}.

7.解:终边在四个象限角平分线上的角的集合为{BIp=n-90°-45°,nGZ}.

（设计者:沈献宏）

1.1.2弧度制

整体设计

教学分析

在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满

足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同

的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单位

进行度量，并且一度的角等于周角的」一，记作1°.

360’

通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出

角度和弧度的换算方法.在此基础上，通过具体的例子,巩固所学概念和公式，进一步认识引入

弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度

的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础.

通过探究讨论，关键弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达

到突破难点之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠

性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度

制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是互相联系、辩证统一的.进一步加强对

辩证统一思想的理解，渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点.

三维目标

1.通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从

而引出弧度制.

2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，通过总结引入弧度制的好

处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生

的学习兴趣.

重点难点

教学重点:理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算.

教学难点:弧度的概念及其与角度的关系.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.（类比导入）测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换

算的?家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的?度量角的

大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制?它们是怎样换算的？

思路2.（情境导入）利用古代度量时间的•种仪器——日孱，或者利用普遍使用的钟表.实

际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法,

度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中,已学过利用角度来度量角的大小,

现在来学习角的另一种度量方法——弧度制.要使学生真正了解弧度制，首先要弄清1弧度的

含义,并能进行弧度与角度换算的关键.

在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系一一弧的度数等于圆心角的度数.

随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广:从“形''上说，圆心角有正角、零角、负角，

相应的，弧也就有正弧、零弧、负弧;从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数.圆心角

和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”,就像三角函数值的正负可以用三角函数线（有向线

段）的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的

弧，反之亦然.

推进新课

新知探究

提出问题

问题①:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢？

问题②:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么

角的度量是否也能用不同单位制呢？

活动:教师先让学生思考或讨论问题，并让学生回忆初中有关角度的知识,提出这是认识

弧度制的关键，为更好地理解角度弧度的关系奠定基础.讨论后教师提问学生,并对回答好的

学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键.教师板书弧度制的定义:规定

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧

度制;在弧度制下,1弧度记作1rad.如图1中,彳1，的长等于半径r,AB所对的圆心角NAOB就

是1弧度的角，即'=1.

r

讨论结果：

①1°的角可以理解为将圆周角分成360等份，每一等份的弧所对的圆心角就是1。.它是一个定

值,与所取圆的半径大小无关.

②能，用弧度制.

提出问题

问题①:作半径不等的甲、乙两圆,在每个圆上作出等于其半径的弧长，连结圆心与弧的两

个端点，得到两个角，将乙图移到甲图上，两个角有什么样的关系？

问题②:如果一个半径为r的圆的圆心角a所对的弧长是1,那么a的弧度数是多少?既然

角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间如何换算？

活动:教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系,提问学生归纳的情况，让学

生找出区别和联系.教师给予补充和提示，对表现好的学生进行表扬，对回答不准确的学生提

示和鼓励.引入弧度之后，应与角度进行对比，使学生明确:第一，弧度制是以“弧度”为单位来度

量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;第二,1弧度是等于半径长的弧所对

的圆心角（或这条弧）的大小，而1。的角是周角的」一;第三，无论是以“弧度”还是以"度'’为单位,

360

角的大小都是一个与半径大小无关的定值.教师要强调为了让学生习惯使用弧度制，本教科书

在后续的内容中尽量采用弧度制.

讨论结果:①完全重合，因为都是1弧度的角.

1JI

②e一；将角度化为弧度：360。=2兀rad,l0=——rad=0.01745rad,将弧度化为角度:2兀

r180

rad=360°,lrad=(——)%57.30。=57。18。弧度制与角度制的换算公式:设个角的弧度数为a

K

180a7t

rad=(-------)°,n°=n------(rad).

7T180

提出问题

问题①:引入弧度之后,在平面直角坐标系中，终边相同的角应该怎么用弧度来表示?扇形

的面积与弧长公式用弧度怎么表示？

问题②:填写下列的表格，找出某种规律.

AB的长OB旋转的方向ZA0B的弧度数ZA0B的度数

7Tr逆时针方向

2itr逆时针方向

R1

2r-2

-7T

0

180°

360°

活动:教师先给学生说明教科书上为什么设置这个“探究”?其意图是先根据所给图象对

一些特殊角填表,然后概括出一般情况.教师让学生互动起来，讨论并总结出规律，提问学生的

总结情况，让学生板书，教师对做正确的学生给予表扬，对没有总结完全的学生进行简单的提

示.检查完毕后，教师做个总结.

由上表可知，如果一个半径为r的圆的圆心角a所对的弧长是1,那么a的弧度数的绝对值

是,这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题，即角度制、弧度制都是角的

a

度量制，那么它们一定可以换算.推而广之，同一个数学对象用不同方式表示时,它们之间一定

有内在联系，认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一.

教师给学生指出，角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对

应关系:每•个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来，每•个实数也都

有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是:今后在表示与角a终

边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角a的单位来决定另一项的单位，即两项

所用的单位制必须一致,绝对不能出现上360。+勺或者2时+60。一类的写法.在弧度制中，与角

3

a终边相同的角，连同角a在内，可以写成p=a+2kn(keZ)的形式.如图2为角的集合与实数集

R之间的---对应关系.

任意角的臬合实敷集R

图2

讨论结果:①与角a终边相同的角，连同角a在内，可以写成。=a+2k7t(keZ)的形式.弧度制下关

于扇形的公式为l=aR,S=—aR2,S=—1R.

22

②

Ab的长OB旋转的方向ZA0B的弧度数ZA0B的度数

7ir逆时针方向n180°

27tr逆时针方向2n360°

R逆时针方向157.3°

2r顺时针方向-2-114.6°

nr顺时针方向-71-180°

0未旋转00°

nr逆时针方向n180°

2nr逆时针方向2兀360°

应用示例

例1下列诸命题中，真命题是（）

A.一弧度是一度的圆心角所对的弧

B.一弧度是长度为半径的弧

C.一弧度是一度的弧与一度的角之和

D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位

活动:本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别，以达到熟

练掌握定义.从实际教学上看，弧度制不难理解，学生结合角度制很容易记住.

根据弧度制的定义:我们把长度等于半径长的弧和所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各项,

可知D为真命题.

答案:D

点评:本题考查弧度制下角的度量单位:1弧度的概念.

变式训练

下列四个命题中，不正确的一个是（）

A.半圆所对的圆心角是ITrad

B.周角的大小是27r

C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径

D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度

答案:D

例2将下列用弧度制表示的角化为2k兀+a（kGZ,aC[0,2兀））的形式，并指出它们所在的象

限:①-臣;②吆;©-20;@-2^/3.

43

活动:本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角，教师给予指导并讨论归纳出一般

规律.即终边在X轴、y轴上的角的集合分别是:印IP=kjc,keZ},{pIp—=kjc,k£Z}.第一、二、

2

三、四象限角的集合分别为：

兀

{BI2k7r<B<2k7t+—,keZ},

2

TC

{pI2k兀+5vpv2k兀+?c,keZ},

,34

{PI2k7r+7c<P<2k7t+,kZ},

{PI2kn+<p<2k7t+27r,keZ}.

1、冗TT

解:①一”=-471+-，是第一象限角.

44

②H327r=10兀2+且4,是第二象限角.

43

③-20=3x6.28-1.16,是第四象限角.

④-23=3.464,是第二象限角.

点评:在这类题中对于含有n的弧度数表示的角，我们先将它化为2k7r+a(kWZ,ae[0,27t))

的形式，再根据a角终边所在的位置进行判断，对于不含有7：的弧度数表示的角，取兀=3.14,化

TT3乃

为kx6.28-Hx.keZ,IaIG[0,6.28)的形式，通过a与生，兀，二-比较大小，估计出角所在的象限.

22

变式训练

⑴把-1480。写成2k7t+a(keZ,ae[0,2初的形式;

⑵若ps[-471,0),5.p与(1)中a终边相同，求p.

74万16乃八16〃

解:⑴480°：—=-10兀+----,0^----<271,

999

16〃

A-l4800=2(-5)7T+-^-.

(2)VB与a终边相同,，&=2k卅——,kez.

9

又,/ge[-47I,0),.\Pi=--,p2=-"三.

99

例3已知0<0<2兀,且。与70相同，求6.

活动:本例目的是让学生在教师的指导下会用弧度制求终边相同的角，并通过独立完成

课后练习真正领悟弧度制的要领，最终达到熟练掌握.从实际教学来看,用弧度制解决角的问

题要很容易却难掌握，很有可能记错或者混淆或者化简错误，学生需多做些这方面的题来练基

本功.可先让学生多做相应的随堂练习，在黑板上当场演练，教师给予批改指导，对易出错的地

方特别强调.对学生出现的种种失误,教师不要着急，在学生的练习操作中一一•纠正，这对以后

学习大有好处.

k

解：由已知，得70=2kTt+9,kWZ,即60=2k7t.生一兀.

3

k

XV0<&24,0〈

3

...、,，4八72乃475万

•keZ,当k=l、2、3、4、5时,9=—■>---、兀、---、---.

3333

点评:本题是在一定的约束条件下，求与角a终边相同的角，一般地,首先将这样的角表示

为2k7c+a(keZ,ae[0,2兀))的形式，然后在约束条件下确定k的值，进而求适合条件的角.

例4已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值.

活动:这是一道应用题，并且考查了函数思想,教师提示学生回顾一下用函数法求最值的

思路与步骤，教师提问学生对已学知识的掌握和巩固，并对回答好的学生进行表扬，对回答不

全面的学生给予一定的提示和鼓励.教师补充，函数法求最值所包括的五个基本环节：(1)选取

自变量;(2)建立目标函数;(3)指出函数的定义域;(4)求函数的最值;(5)作出相应结论.其中自变

量的选取不唯一，建立目标函数结合有关公式进行，函数定义域要根据题意确定，有些函数是

结构确定求最值的方法，并确保在定义域内能取到最值.

解:设扇形的弧长为1,半径为r,圆心角为a,面积为S.

由已知,2r+l=a，即l=a-2r.

[12

,S=—lr=—(a-2r)r=-r2+—r=-(r--)2+.

222416

Vr>0,l=a-2i>0,A0<r<

2

••・当时,

此时,l=a-2,—=CP—=2.

42r

2

故当扇形的圆心角为2rad时,扇形的面积取最大值—.

16

点评:这是一个最大值问题，可用函数法求解，即将扇形的面积S表示成某个变量的函数,

然后求这个函数的最大值及相应的圆心角.

变式训练

已知一个扇形的周长为己一+4,圆心角为80。,求这个扇形的面积.

9

IT47r

解:设扇形的半径为r,面积为S,由已知知道，扇形的圆心角为80x—=—,

1809

.•.扇形的弧长为也r,由已知，加r+2r=—+4,.\F2.

999

*'•S=----r2=—.故扇形的面积为—.

2999

点评:求扇形的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.相反，也可

由扇形的面积结合其他条件，求扇形的圆心角、半径、弧长.解题时要注意公式的灵活变形及

方程思想的运用.

知能训练

课本本节练习.

解答：1.⑴今⑵一誓⑶竽.

863

点评:能进行角度与弧度的换算.

2.(1)15°;(2)-240°;(3)54°.

点评:能进行弧度与角度的换算.

3.⑴国~};⑵{硒=k.Z}.

点评:用弧度制表示终边分别在X轴和y轴上.的角的集合.

4.(I)cos0.75°>cos0.75;(2)tan1.2°<tan1.2.

点评:体会同数值不同单位的角对应的三角函数值可能不同,并进一步认识两种单位制.

注意在用计算器求三角函数值之前，要先对计算器中角的模式进行设置.如求cosO.75。之前，要

将角模式设置为DEG(角度制);求cosO.75之前，要将角模式设置为RAD(弧度制).

71

5.—m.

3

点评:通过分别运用角度制和弧度制下的弧长公式,体会引入弧度制的必要性.

6.弧度数为1.2.

点评:进一步认识弧度数的绝对值公式.

课堂小结

由学生总结弧度制的定义，角度与弧度的换算公式与方法.教师强调角度制与弧度制是度

量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统•的;角度与弧度的换算,关键要理解并

牢记180。=兀rad这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算;三个注意的问题，同学

们要切记;特殊角的弧度数，同学们要熟记.

重要的一点是，同学们自己找到了角的集合与实数集R的一一对应关系，对弧度制下的弧

长公式、扇形面积公式有了深刻的理解，要把这两个公式记下来,并在解决实际问题中灵活运

用，表扬学生能总结出引入弧度制的好处,这种不断总结，不断归纳，梳理知识，编织知识的网络,

特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质，会使我们终生受用，这样持之以恒地坚持下去,

你会发现数学王国的许多宝藏，以服务于社会,造福于人类.

作业

①课本习题1.1A组6、8、10.

②课后探究训练:课本习题1.1B组题.

设计感想

本节课的设计思想是:在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难

点.因此•开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设.如果

学生一开始没有很好的理解，那么以后有些题怎么做就怎么难受.通过探究让学生明确知识依

附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生.将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教

学活动中去，由此把学生的思维推到更宽的广度.

本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律;让学生在探究中积

累知识，发展能力,对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪.但由于学生知识

水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处

并为后续三角函数的学习奠定基础.

根据本节特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生，重在引导他们变式思维的训练，培养

他们求同思维、求异思维的能力,以及思维的灵活性、深刻性与创造性.鼓励他们独立思考,

勇于探索，敢于创新,对正确的要予以肯定，对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正，使课堂学

习成为再发现再创造的过程.

备课资料

一、密位制度量角

度量角的单位制,除了角度制、弧度制外,军事上还常用密位制.密位制的单位是“密位密位

就是圆的亮5所对的圆心角（或这条弧）的大小,因为360°=6000密位，所以

］。=6000帝位七$彳密位］密位=%_=006。=3.6'仪216".

3606000

密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线，例如7密位写成0—07,读作“零,

零七”,478密位写成4—78,读作“四，七八”.

二、备用习题

L一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是（）

7171

A.—B.—C.1Dm

36

2.圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增大到原来的2倍，则()

A.扇形的面积不变

B.扇形的圆心角不变

C.扇形的面积增大到原来的2倍

D.扇形的圆心角增大到原来的2倍

3.下列表示的为终边相同的角的是()

71.71k7t.7T

A.knH—与2k7tH—(kGZ)B.一与k?t+—(kGZ)

4422

27r_n

C.kn--与knlH—(kCZ)D.(2k+l)7t与3kn(kGZ)

33

4.已知0<0<2/7。角的终边与0角的终边重合，则0=

5.已知扇形的周长为6cm,面积为2cmL求扇形的中心角的弧度数.

njr

6.若ae(--,0),pe(0,—),求a+p,a-p的范围，并指出它们各自所在的象限.

22

7.用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包

括边界，如图4所示).

8.(1)角a,p的终边关于直线y=x对称，写出a与p的关系式;

(2)角a，B的终边关于直线y=-x对称，写出a与P的关系式.

参考答案：

l.A2.B3.C

„712.714%5万

4.—,——，兀,——,——

3333

5.解:设扇形所在圆的半径为R,扇形的中心角为a,依题意有

1,

aR+2R=6,且-aR-=2,

2

/.R=l,a=4或R=2,a=l.

/.a=4或1.

6.解:-<a+B<一,

22

好B在第一象限或第四象限，或a+p的终边在x轴的非负半轴上.

-7t<a-P<0,

在第三象限或第四象限，或a-p的终边在y轴的非正半轴上.

JT5乃

7.解:(1){0|21<兀——<0<2kn+一,k£Z};

612

3兀3乃

(2){0|2k7r——-<0<2k7t+——,kez);

44

冗兀/j[3冗

(3){9|2k7t+—<0<2k7i+—,keZ}U{*k科——<0<2k7t+—,keZ}

6262

7171

={0|n7t+—0<n7t+—,n£Z}.

62

JI

8.解:⑴B=,-a+2k兀,keZ;

(2)P=—+a+2k7T,k^Z.

三、钟表的分针与时针的重合问题

弧度制、角度制以及有关弧度的概念，在日常生活中有着广泛的应用，我们平时所见到的

时钟上的时针、分针的转动，其实质都反映了角的变化.时间的度量单位时、分、秒分别与角

TT1T

2n(rad),—(rad),——(rad)相对应，只是出于方便的原因，才用时、分、秒.时钟上的数学问题

301800

比较丰富，下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨.

例题在一般的时钟上，自零时开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数

是多少(在不考虑角度方向的情况下)？

甲生:自零时(此时时针与分针重合,均指向12)开始到分针与时针再一次重合，设时针转

过了x弧度,则分针转过了2n+x弧度，而时针走1弧度相当于经过&h=—min,分针走1

冗71

弧度相当于经过把min,故有出x=—(27t+x),得*=至，

兀717111

•••到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是27r丝+27t=2—44(rad).

1111

乙生:设再一次重合时，分针转过弧度数为a,则a=12(a-2?r)(因为再一次重合时，时针比分

针少转了一周，且分针的旋转速度是时针的12倍)，得a="247r，

.•.到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数2是47*r(rad).

点评:两名同学得出的结果相同，其解答过程都是正确的，只不过解题的角度不同而已甲

同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解，而乙同学则从时针与分针所转过的

弧度数入手，当分针与时针再次重合时，分针所转过的弧度数a-27t与时针所转过的弧度数相

等，利用弧度数之间的关系列出方程求解.

(设计者:房增凤)

1.2任意角的三角函数

1.2.1任意角的三角函数

整体设计

教学分析

学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的.锐角三角函数的引入

与“解三角形''有直接关系.任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角

形”已经没有什么关系了.因此，与学习其他基本初等函数•样，学习任意角的三角函数,关键是

要使学生理解三角函数的概念、图象和性质,并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律,

解决简单的实际问题.

本节以锐角三角函数为引子，利用单位