人教A版数学必修二 全册课时作业一课一练（含答案）

6.1平面向量的概念

1.［2022•湖北鄂州高一期中］下列关于零向量的说法正确的是（）

A.零向量没有大小

B.零向量没有方向

C.两个反方向向量之和为零向量

D.零向量与任何向量都共线

2.［2022•天津河北区高一期叼在中，AB=AC,D,E分别是48,4。的中点,

则（）

A.AB与就'共线B.DE与无共线

C.AD与花相等D.AD与前）相等

3.在棱长为1的正方体48CO的8个顶点中选2个点作为向量的始点和终

点，则其中：与向量正相反的单位向量共有个，模长为S的向量共有

个.

4.如图，设。是勿8c。对角线的交点，则

DC

（1）与总的模相等的向量有多少个？

（2）与总的模相等，方向相反的向量有哪些？

（3）写出与施共线的向量.

5（多选）［2022•安徽合肥六中高一期末］如下四个命题中，说法正确的是（）

A.向量施的长度与向量法的长度相等

B.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同

C.两个有公共终点的向量，一定是共线向量

D.向量盛与向量历是共线向量，则点儿B,C,。必在同一条直线上

6.［2022•广东揭阳高一期末］设备，加分别是与°,力同向的单位向量，则下列结论中正

确的是（）

A.ao=boB.ao=1bo

C.a（）//boD.|ao|+lbo|=2

7.［2022•山东荷泽高一期中］已知4、B、C是不共线的三点，向景旭与向量施是平行

向量，与於是共线向量，则m=.

8.在如图所示的坐标纸中（每个小正方形的边长均为1）,用直尺和圆规画出下列向量.

(1)位I=3,点4在点。北偏西45。方向;

(2)\OB\=22，点8在点。正南方向.

9.如图，△48。和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设△48C

的边长为。，写出图中给出的长度为;的所有向量中‘

(1)与向量劭相等的向量;

(2)与向量d为共线的向量;

(3)与向量晶平行的向量.

10.一艘军舰从基地力出发向东航行了200海里到达基地8,然后改变航线向东偏北

60。航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达。岛.

(1)试作出向量后,BC,CD；

⑵求I而I.

11.[2022•浙江丽水高一期末]若a,b为非零向量，则”是“用b共线”的

mi网

()

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

12.在平行四边形48CO中，E,尸分别为边力£＞、8c的中点，如图.

(2)求证：BE=FD.

答案：

1.解析：根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；

两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错俣；

零向量与任意向量共线，D正确.故选D.

答案：D

2.解析：因为力8与4C不平行，所以沦与左不共线，A错；

因为O,£分别是48,4c的中点，则DE与8C平行，故方方与所共线，B正确;

因为力。与4E不平行，所以而与崩不相等，C错；

因为疝=DB=一而,则D错.故选B.

答案：B

3.解析：如图所示，

其中与正相反的单位向量有扇，G5,Oi小，共3个；

•・•正方体棱长为1,・••正方体体对角线长为3,

・•・模长为3的向量有8A,DB4G,CiA,AiC,CAi,B\D,DBi,共8个.

答案：38

4.解析：(1)在平行四边形力8C0中，。为对角线的交点，所以力。=。。，且4?〃OC,

所以与5的模相等的向量有n,AO,CO三个向量.

(2)与5的模相等且方向相反的向量为诙，AO.

(3)与次共线的向量有及？，①，应.

5.解析：向量48与向量历1是互为相反向量，所以A选项正确，选项B显然正确，

选项C显然错误，

选项D,也有可能直线48与直线CO平行.故选AB.

答案：AB

6.解析：单位向量的模长为1,故1。。1+1〃。1=2,D正确，

题中他，瓦分别与力同向，而。，6方向不确定，故A,B,C错误，故选D.

答案：D

7.解析：向量机与向量就是平行向量，则向量〃，与向量次方向相同或相反；

向量所与8c是共线向量，则向量m与向量3c方向相同或相反，

又由力、B、C是不共线的三点，可知向量次与向量诙方向不同且不共线，

则m=0.

答案：0

8.解析：（I）：1为1=3,点力在点。北偏西45。方向，，以。为圆心，3为半径作

圆与图中正方形对角线OP的交点即为彳点：

（2）V\OB\=22=22+22.・••以。为圆心，图中0。为半

径画圆，圆弧与OH的交点即为6点.

9.解析：（1）与向量G力相等的向量，即与向量G为大小相等，方向相同的向量，有优，

LBf；

（2）与向量济共线的向量，即与向量明方向相同或相反的向量，有正，LB\GB,

LEfEC

（3）与向量成平行的向量，即与向量成方向相同或相反的向量，有寿，血,HA\HK,

KB1

10.解析：（1）建立如图所示的直角坐标系，向量而反,CD即为所求.

（2）根据题意，向量力与诙方向相反，故向量亚//CD,又|成|=|而|,

，在四边形458中，AB//CDtAB=CD,故力88为平行四边形，

：.AD=BC,贝力石\=\BC|=400（海里）.

11.解析：依题意。，力为非零向量，*［卜表示与。同向的单位向量，表示

美0戈美方我

与。同向的单位向量,

由可得。与〃共线且同向，所以充分性成立；

d6共线可能同向共线、也可能反向共线，所以d。共线得不出,

i尹b戈

所以必要性不成立.故选B.

答案：B

12.解析:⑴据题意，与向量用共线的向量为：亦，而,BF，庆？tCBtAEtEAtED,

DEtAD,DA；

(2)证明：・・・48CO是平行四边形，且E,b分别为边力O,8c的中点，

:・BF=ED,且BF//ED,

・•・四边形8人£应是平行四边形，

:・BE=FD,宜BEI/FD,

・••匠=丽.

6.2向量的加法运算

1.[2022•天津河北区高一期中]化简次+BC+CD+无=()

A.0B.AE

C.0D.EA

2.在矩形45CQ中，力4=3,AD=4,则I诵+花+肃)|=()

A.5B.6

C.8D.10

3.在平行四边形48co中，BC+CA+石=.

4.如图，请在图中直接标出：

⑴赢+BC；

(2)AB+BC+CD+DE.

5.[2022•河南安阳高一期末]如图为正八边形/其中0为正八边形的中心,

则厉+HG+南=()

A.OBB.OD

C.OFD.OH

6.[2022•天津西青高一期末]在四边形48C。中，若以=CB+诙，贝川)

A.四边形48co是矩形

B.四边形48co是菱形

C.四边形力8co是正方形

D.四边形48C。是平行四边形

7.如图所示，四边形48CO是梯形，AD//BC,则51+5C+AB=.

8.化简：

(\)AB+无+BC+DA；

(2)(次+MB)+(防+BC)+0Af.

9.已知菱形ABCD的边长为2,

(1)化简向量就)+DC+无；

⑵求向量还+/+CD的模.

10.如图，已知电线40与天花板的夹角为60。，电线40所受拉力I尸il=24N,绳80

与墙壁垂直，所受拉力IBI=12N.

求尸1和尸2的合力.

11.[2022•河南开封高一期末]在平面四边形/8CQ中，E,尸分别为力。，3。的中点，则

下列向量与油+DC不相等的是()

A.2EFB.AC+DB

C.EB+ECD.FA+而

12.如图，已知O,E,尸分别为△力BC的三边BC,AC,45的中点，求证：AD+BE

+CF=0.

答案:

1.解析：AB+正+cb+历=AE.故选B.

答案：B

2.解析：由题意4c=AB-AD,\AB-\-AC-\-ADI=12Ac\=2AB2-}-AD2=

10.故选D.

答案：D

3.解析：BC+CA+AB=BA+AB=0.

答案：0

4.解析：（1）成+BC=AC,如图所示：

⑵懑+BC+CD+DE=AE,如图所示:

5.解析：由平面向量的运算法则，可得女+HG+而=OC+FG=OC+CB=

08.故选A.

答案：A

6.解析：'：CA=CB+CD,CA=CB+成,

：.CB+就=CB+CD,

：,BA=CD,・・・45〃O。且力8—。。，四边形/3CZ）是平行四边形.故选D.

答案：D

7.解析：OA+BC+AB=OA+法+BC=OB+BC=OC.

答案：OC

8.解析：（19+CD+的+DA=AB+BC+CD+DA=AC+CA=0；

（2）（AB+话）+（历+BC）+痂=AB+BO+OM+痴+或=AO+励+

BC=AB+BC=AC.

9.解析：⑴而+DC+Cfi=AC+CB=矗.

（2）由向量的平行四边形法则与三角形法则，得|/+AD+诙\=\AC+CD\=\AD\

=2.

D

10.

解析：如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力产=人+尸2=沅，

在△OC4中，I①I=24,

\AC\=12,ZOJC=60°,

:・NOC4=90。,Aloci=123,

与/2的合力大小为123N,方向为与正2成90。角竖直向上.

11.解析：因为在平面四边形力3CO中，E,尸分别为力O,8C的中点，

所以崩=ED=XAD,BF=FC=1BC,

22

因为诺=EA-\-AB-\-BF,EF=ED+DC+3，

所以26=ED+DC+CF-\-EA+AB+BF=AB+DC,

所以A不满足题意，

因为虎=DA+AC,AB=AD+方＞，

所以比+AB=DA+iC-bib+DB=AC+法，所以B不满足题意，

因为虎=DE+EC,AB=AE+EB,

所以比+次=DE+诧+能+EB=EC+EB,所以C不满足题意，

因为荡+FD=FB+扇+危+CD=BA+CD=-(AB+DC),

所以D满足题意，故选D.

答案：D

12.证明：由题意知而=AC+CD,BE=BC+CE,CF=CB+砺，

由题意可知济=CD,BF=FA.

:.而+BE+CF=(AC+CD)+(正+CE)+©+BF)=(AC+5)+CE+

BF)+(正+CB)

=(AE+EC+CZ)+CE+际)+0

=AE+d)+泳=AE+EF+万=AF+6=0.

6.2.2向量的减法运算

1.在。48。中，设/=a,AD=b,AC=c,BD=d,则下列等式中不正确的是（）

A.。+力=。B.a—b=d

C.b-a=dD.c—a=b

2.化简充-BD4-CD-AB-\-BC得（）

A.0B.DA

C.BCD.AB

3.（多选）下列各向量运算的结果与战？相等的有（）

A.AO+0CB.AO-0C

C.OA-OCD.OC-OA

4.已知菱形43co的边长为2,求向量疝-CB+CD的模.

5.如图为正八边形MCQMG”，其中0为正八边形的中心，则柞：-FG=（)

A.BEB.E0

C.ADD.OH

6.在四边形45co中，若施=一诙，且I益一而I=I亚+访I,则四边形

为（）

A.平行四边形B.菱形

C.矩形D.正方形

7.如图所示，已知一点。到平行四边形力8c。的三个顶点力，B,C的向量分别为门，

1*2，,3,则=

8.化简下列式子:

⑴超-PQ-NM-MP；

(2)必-BC)-(ED-EC).

9.如图，已知向量4,b,C,求作向量仅一力一c.

10.如图，四边形？18co中，设施=a,AD=b,BC=c,试用°,b,c分别表示充，

DC.

11.（多选）［2022•广东揭阳高一期末］已知点。，N在所在平面内，且向|=|为|

=\OC|,NA+NB+加=0,则点O,N分别是△/4。的（）

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

12.已知瑟|=6,\AD|=9,求诵-AD|的取值范围.

答案：

1.解析：a+b=AB+AD=AC=c,故A正确；a~b=AB~AD=AB+DA=DB

=-d,故B错误；b~a=AD-AB=BD=d,故C正确；c一°=左~AB=BC=AD

=b,故D正确.故选B.

答案：B

2.解析：AC-BD+CD-AB+BC

=AC+CD+DB+BA+BC

=0+瑟

=BC做选C.

答案：C

3.解析：由向量的线性运算法则得，对A,AO+5C=AC,所以A符合题意，B

不符合题意；对C,OA-OC=CA，对D,历-OA=AC,故C不符合题意，D符合

题意.故选AD.

答案：AD

4.解析：如图，9：AB-CB+CT=AB+BC+CD=AD,

D

：.\AB-CB+CD\=\AD|=2.

5.解析：因为元？=CB,所以无-FG=CE-CB=BE,故选A.

答案：A

6.解析：由=-CD=茄=DC,所以四边形48co是平行四边形，

由I次一石|=\AB^AD\=1协I=1充I,所以平行四边形”CO的对角线相等,

因此该四边形是矩形，故选C.

答案：c

7.解析：OD=OC+CD=OC+BA=OC+OA-0B=为+小一，2.

答案：r\+n—r2

8.解析：（1）原式=而+QP+疚-MP=NP+（丽+血）=沛+丽=0.

（2）原式=（无+BA）~（CE+访）=CA-CD=DC+曰=DA.

9.解析：在平面内任取一点。，作向量。7=a,OB=b,如图所示：

则向量04—OB=a—b=BA,再作向量8C=c,

则向量C/l=a—h-c.

10.解析：由题图知：AC=AB+BC=〃+c,

又虎=AC-AD,所以虎=a-\-c-b.

11.解析：因为|苏\=\OB\=\OCI，

所以点o到三角形的三个顶点的距离相等，

所以。为△力BC的外心；

由法+祐+2VC=0,得威+标=~NC=CN,

由中线的性质可知点N在ZB边的中线上，

同理可得点N在其他边的中线上，

所以点N为。的重心.故选AC.

答案：AC

12.解析：,.・||懑\-\AD||W|施-AD\-\-\AD|,

且|成）|=9,\AB|=6,，3W|成-AD|W15.

当病与益同向时，\AB-AD|=3；

当而与赢反向时，|施-AD|=15.

・・・|/-AD|的取值范围为[3,15].

6.2.3向量的数乘运算

1.[2022•浙江台州高一期末]3(2。-6)-2(a+3b)的化简结果为()

A.4。+3bB.4a~9b

C.Sa-9bD.4a~3b

2.[2022•广东惠州高一期末]在△/8C中，D为BC上一点、,且8Z)=2QC,则疝=

)

X.ABACB.AB--AC

33

C.-ABACD.-+-iC

3333

3.已知非零向量ei,以不共线，如果次=ei+2e2,BC=-5ei--6e2,CD=7e\-2e2,

则共线的三个点是.

4.化简：

(1)2(Q—b)+3(a+。)；

(2耳(a+b)+；(a—b)i

(3)3(。+2b)-2(。+3b)-2(a+b).

5.若崩=\PB,AB=ABP，则实数人的值是()

6.[2022•福建泉州高一期中]如图，已知△ABC中，。为边8。上靠近8点的三等分点,

连接40,E为线段力。的中点，若无=mAB+nAC,则2〃[+〃=()

7.[2022•广东广州高一期中]设自、62是两个不共线的向量，已知血=2⑨+履2,BC=

ei+3e2,CD=2g—⑥，若4B,。三点共线，求片的值为.

8.两个非零向量b不共线，若48=。+6,BC=2o+8b,CD=3(°—b),求证：

A,B,。三点共线.

9.已知。为△48C的边8c的中点，E为AD上一点、,且崩=3ED,若而=a,试

用。表示或+而+EC.

10.设。，b,c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知与c共线，且b+c与

0共线，则。与。+c是否共线？请证明你的结论.

”.[2022•山东潍坊高一期中]在△48C中，AP=UAB-2AC,则尸点(

)

A.在线段8c上，且8r=：

BC9

B.在线段CB的延长线上，且巴0=：

BC9

C.在线段8c的延长线上，噌=：

D.在线段BC上，且°。=2

BC9

12.如图所示，在△48C中，D,F分别是8C,1C的中点，AEADtAB=a,AC

=h.

⑴用4,6表示心,AE,AF,BE,BF；

(2)求证：B,E,尸三点共线.

答案：

1.解析：由题意，3(一一b)-2(0+36)=4〃一9无故选B.

答案：B

2.解析：因为在人力夕。中,。为ACJ•一点，月夕。=2。U

所以疝=AB+BD=AB一；BC=AB+；(AC-AB)=：ABACt故选D.

答案：D

3.解析：•・•施=ei+2c2,丽=BC+CD=-5©+6c2+7约一簧2=2(d+2e?)=2成.

，赢,BD共线，且有公共点尻

・・・4,B,。三点共线.

答案：A,B,D

4.解析：(1)2(0—力)+3(〃+力)

=2。-26+3。+3b

=5a+b.

(2)；(a+b)+；(oT)

(3)3(0+2b)-2(。+3力)-2(4+b)

=34+6b—2。一6。一2。一2b

——a-lb.

5.解析：由崩=1PB,贝」4P,8三点共线，且力=1AB,

45

所以丽=4AB,即罚=-5BP.故选D.

54

答案：D

6.解析：依题意得，

—>-A-►-A1-A-►1-A-A/—>1—>

AD=AB+BD=AB+BC=AB+(AC-AB)=ABAC,

3333

故无=CA+AE=CA+1AD=~AC+1t1AB+{ACAB-5AC,

223336

所以m=|,〃=—?,

36

故2m+〃=2乂1—5=一।.故选A.

366

答案：A

7.解析：由4、B、。三点共线，可得/=而)(1W0),又在=26十h2,BD=BC

+CD=3ei+2ei，

2=32

则2为+她=3属+2加2,又为、62不共线，则卜=22，解得〃=4.

3

8.证明：因为弱=a+b,BC=2a+86,CD=3(a-b),

所以访=BC+cb=2a+M+3(4-b)=5〃+5瓦则砺=5AB,

所以防，AB共线，两个向量有公共点以

所以4B,。三点共线.

9.解析：如图，

A

*：AE=3ED,且病=

：.ED=1AD=Xa,EA=-3AD=-3a,

4444

又。为边5c的中点，

：.EB+EC=2ED=1a,

2

：.EA+丽+EC=-3川a=-Xa.

424

10.解析：方与o+c共线.证明如下：

Va+A与c共线，

・•・存在唯一实数九使得。+。=芥.①

,.b+c与a共线，

・•・存在唯一实数小使得②

由①一②得，a—C=ZC—//«.

(1+/Z)4=(1+i)c.

又•・•〃与。不共线，・・・1+/=0,1+2=0,

.*.//=—1,A=­1,；・。+6=-c,即〃+b+c=0.

故Q+C与b共线.

11.解析：由题设，AP-AB=：(AB-AC),则访=：CB,

所以C,P,4共线且P在CB延长线上，BP=2.故选B.

CB9

答案：B

12.解析：(1)在△46。中，D,尸分别是BC,4C的中点，

则①=AB+BD=AB+1BC=AB+1(AC-AB)=1ABAC=Xa+Xb,

222222

故次AD=1h,

AT=]AC=]b,

22

BE=AE~AB=1b-a—b~^a,

3333

BF—AF—AB=।b—a；

2

(2)证明：因为崩=；a=；(b-2a),BF=；(b-2a)t

所以能=；BF,

所以昉//BF,

又因为诙，BF有公共点8,

所以8,E,尸三点共线.

6.2.4向量的数量积

1.[2022•福建三明高一期末]在边长为2的正方形N8CO中，片为3。中点，则还AE=

()

A.2B.4

C.2#D.5

2.[2022•山东东营高一期末]若向量用b满足1。1=\b\=2,<a,b>=120°,则一-周

=()

A.4B.12

C.2D.25

3.[2022•湖北武汉高一期末]已知同=2,同=3,“与6的夹角为135。，则a在b方向

上的投影向量为________.

4.已知同=4,网=2,且。与b的夹角为申，求：

(1"

(2)(a-2b)(a+b).

5.[2022•河北石家庄高一期末]已知在边长为6的等边三角形49C中，BDDCf则

ADAC=()

A.24B.6

C.18D.-24

6.[2022•江苏苏州高一期中]已知平面向量0,b满足=2,IW=1,a(a-b)=5,

则向量Q与6的夹角为()

A.-B.-

63

C.D.2

36

7.[2022•福建福州高一期末]设非零向量a,b,c是满足o+b+c=0,a_Lb,(2°—b)_Lc,

若HI=y/i,则仍1=________.

8.[2022•河北邢台高一期末]已知向量。，力满足(2。+方)“-26)=2,且同=/，恻=

2.

(1)求0与b的夹角以

(2)求m+w.

9.[2022•广东珠海高一期末]已知1。1，网=1,且a与〃一2。相互垂直.

(1)求向量a与向量b的夹角。的大小；

(2)求1。+6].

10.在△48C中，AB=c,BC=a,CA=b,且。力=加c=cz,试判断△48C的形状.

11.（多选）［2022•山东滨州高一期末］已知用b,c是任意的非零向量，则下列结论正确的

是（）

A.\a+b\W3+函

B.ab^\a\\b\

C.若1。1=1力I,则Q=/>

D.若1。+川=\a—h\,贝ijaj_b

12.设两个向量ei,.满足同=2,|匐=1,ci,&的夹角为60。，若向量21+7及与为

+必的夹角。为钝角，求实数，的取值范围.

答案：

1.解析：由题设，ABAE=\AB||jE|cosZBAE=\ABF=4.故选B.

答案：B

2.解析：由mi=仍|=2,<4,b)=120°,

可得。5=1。1cos(a,b}=2X2Xcos=—2,

3

所以|q—W=(a—b)2

=a2-^-b2—2ab

=|a|2+\b\2-2a-h

=4+4-2X(-2)

=23.故选D.

答案：D

3.解析：因为Q在b方向上的投影为1。1cos135°=-2,与b同向的单位向量为

=；b,所以a在方方向上的投影向量为一32也

答案：一；b

4.解析：(1)由平面向量数量积的定义可得。6=回•网cos:=4X2X(—;)=-4；

(2)(a—2d),(a+d)=a2—ab—2ft2

=|a|2-a-Z>-2|^|2=42+4-2X22=12.

5.解析：因为丽=1DC,

2

所以访=；BC=：(AC-AB),

所以历=AB+筋=AB(AC-AB)=；ABAC.

因为等边三角形49c的边长为6,

所以企AB=6X6cos600=18,

所以疝AC=(；AB+lAC)AC

=2ABACAC2

33

7i

=X18+X36=24,故迄A.

33

答案：A

6.解析：因为l“l=2,SI=1,a(a—b)=5,

所以。•(4—6)=/一优。=|a|2—“4=5,所以0山=—],

设向量〃与b的夹角为0,则cos0=ab=1=—\,

\a\-\b\1X22

因为0£[0,n],所以0=个.故选C.

答案：C

7.解析：因为a+b+c=0,可得。=—(a+b),

又因为(2a—b)-Lc,且1。1=2,

可得(2。_6)。=(20_。)•【一(。+6)]=—2/一。6+力2=—2X(2)2—0+|/>12=0,

解得仍|2=4,所以解I=2.

答案：2

8.解析：(1)由(20+〃)(0—25)=〃2-3。协一2〃=4-3X2X2cos<9-8=2,

得cos6=一；,因为。£[0,利，所以.

9

(2)由题意得|Q+〃|=屏+2〃6+/>2=2-42X；+4=2.

9.解析：(1)由题意，a(a-2b)=a2-2ab=Q,

所以2—22cos<9=0,可得cos6=,而OWOWg

2

所以。=兀-

4

(2)由\a+b\2=/+2®b+b2=2+2+l=5,

所以m+用=5.

10.解析：在△XBC中，易知次+或*+B=0,

即a+b+c=Ot

因此Q+C=-b,a+b=­c,

（。+6）2=（一c）2

从而

（〃+。）2=（一方2,

两式相减可得办2+2“6-C2-2QC=C2一炉,

则2b2+2（ab-ac）=2c2,

因为ab=ca=ac,

所以2b2=24,即圃=|c|.

同理可得同=同，故法|=|病\=\CA|,

即△力BC是等边三角形.

11.解析：对A,1。+力I2=a2-^b2+2a•b=\a\24-|^|2+2|«|SIcos〈a,h）

wim24-1/>12+2im・si=（w+si）2,当且仅当叫b同向时等号成立，所以

m+b|+仍|,故A正确：

对B,因为cos〈%b）Cl,所以〃仍=|。11^1cos（a,b）W|a|1^1,当且仅

当a,b同向时等号成立，故B正确；

对C,若HI=仍1,因为〃方向不一定相同，所以。，b不一定相等，故C错误；

对D,若1。+用=\a—b\,两边平方可得〃心=0,所以。_Lb,故D正确.故选ABD.

答案：ABD

12.解析：由向量2®+7e2与g+⑸的夹角。为钝角，得

,,（2fc+7c）,（ei+f02）,八

cos0=<0,

\2te\+7«2卜|01+心|

・・・（2/d+7«2>（61+y2）<0,化简得2产+151+7Vo.

解得一7V/V-!.

2

当向量2⑻+7以与。+0的夹角为180。时，也有（2阳+7«2）（约+必2）<0,但此时夹角

不是钝角.

设2®+7e2=2（ei+徒2）,K0,贝）

2/=2,R=-14,

7=后，解得—14

••

2

U<o,/

・•・所求实数.的取值范围是（一7,-：）U（-；,一；）.

6.3.1平面向量基本定理

1.已知约，62是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能做基底的是（）

A.e\与6[+。2

B.2«2与+«2

C.ei+ez与ei一«2

D.-3ei+2e2与3e1-2^2

2.[2022•山东枣庄高一期末]平行四边形力88中，E为边8c的中点，尸在边OC上且

DF=2FC,则祥=()

A.--ABADB.--AB+-AD

3232

C.-AB--ADD.-AB--AD

3232

3.[2022•江苏徐州高一期中]如图所示，在△048中，C是中点，设为=a,OB=

b,则OC=（请用a,b表示OC）.

4.如图所示，平行四边形4BC0中，AB=a,AD=b,BM=-BC,AN=-AB,试

34

用向量如b来表示力力，AM.

5.[2022•河北沧州高一期末]如图所示，点后为△48C的边4C的中点，尸为线段上

靠近点8的四等分点，则万=（

A.-BABCB.-+-BC

8844

C.--BA+-BCD.--BA+-BC

8844

6.[2022•湖南常德高一期末]如图所示，在长方形力8C。中，设石=0,AD=b,又次

=2EC,BE=痴+〃儿则2+"=()

AA.1Bn.一1

33

2

C.1D.

3

7.[2022•山东聊城高一期末]在△力3。中，D是BC中点,病=；应？，4D与BE交

于G,若4G=XAD,则』=.

8.如图，在梯形49C。中，AB//CD,AB=2,C0=1,E为线段力〃的中点，F为线

段4C上的一点，且力尸=3尸C,记/=a,AD=b.

(1)用向量。，b表示元;

(2)用向量用b表示前.

9.[2022•广东顺德一中高一期中]在△48C内有一点O,满足①+OB+OC=0,E

为8C边的中点，疝=1通，设通=a,AC=b,以。、力为基底，试求下列向量表达

4

式；

⑴无；

(2)5F.

10.[2022•重庆八中高一期中]如图，平行四边形/8C。中，已知虚=3EB,BF=4FC,

设癌=a,AD=b.

(I)用向量。和b表示向量流,AF；

(2)若反)=xDE,AO=yAF,求实数x和y的值.

ll.[2022-U东德州高一期末]如图1,蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的■端是

平整的六边形开口.六边形开口可记为图2中的正六边形/8CQE凡其中。为正六边形

49。0£厂的中心，设叁=〃，AF=b,若俞=MC,EF=3EN,则加=()

12.[2022•山东蒲泽高一期中]如图所示，在△480中，女=；5,而=；为，

/O与8c交于点A/.设为=mOB=b.

(1)试用向量〃，b表示必；

(2)在线段/C上取点£在线段8。上取点尸，使"'过点M,设无=).OA,OF=

1.iOB,其中九.证明：J+2为定值，并求出该定值.

答案:

2=1

1.解析：A选项：令的=“约+。2),因为ei,也不共线，所以1=0»无实数解，所以

为与约+。2不共线，故可以作为平面向量基底；

z=0

B选项：令262=2®+62),因为0,改不共线，所以b=2,无实数解，所以262与ei

+e2不共线，故可以作为平面向量基底；

A=1

C选项：令ei+e2=/(ei—02),因为ei,e?不共线，所以一7=1,无实数解，所以ei

+«2与①一C2不共线，故可以作为平面向量基底：

D选项：易知-3e1+2e2=—(3约一2e2),即一3e1+2e2与3cI一2«2共线，不能作为平面

向量基底.故选D.

答案：D

2.解析：如图所示，EF=EC+次=15C+1CD=-[ABAD.

2332

故选A.

答案：A

3.解析：因为。是45中点,

所以拉？=OA+AC=OA+】AB.

2

又因为施=OB-OA,

1

所以历=OA+(OB-OA)=1OAOBt

222

即沃'=1(a+b).

答案：；(a+b)

4.解析：由AB,即病=1施，

44

所以方A-AN-AD-1AB-AD-af

44

22

由BM=2BC,则俞=BC=ADt

333

所以五力=AB+BM=AB+；AD=0+；匕

5.解析：AF=AE+寿=XACEB=XAC+3(AB-AE)

2424

=XAC-^-3ABAC=]ACBA

24884

=1{BC-BA)-3BA=-7BA+XBC.故选C.

8488

答案：C

6.解析：・・・亚=2EC,：.AE=；AC,

ffff'ff'ff

：.BE=BA+AE=-AB+AC=~AB+(AB+力£>)=-AB+AD,

3333

即砺=-1fl+2b,r.2=-1,"=2,・・・/l+"=l.故选A.

33333

答案：A

7.解析：设寿=kBE=k(AE-AB)=1kAC-kAB,

4

所以，AG=AB+前=(\-k)AB4-1kAC,

4

A

x___

BD

因为疝=AB+BD=AB-lBC=AB+1(AC-AB)=1两+1左，

2222

AG=XAD=1ZS+1Z4C,

22

r,,I.r,4

1~k=2k=

25

1,_1,