人教版八年级数学上册学案

第十一章三角形

11.1与三角形有关的线段

11.1.1三角形的边

——三角形的有关概念、分类及三边关系

一、新课导入

1.导入课题：

三角形是我们早已熟悉的图形，你能列举出日常生活中形如三角

形的物体吗？对于三角形，你了解了哪些方面的知识？你能画一个三

角形吗？

2.学习目标：

(1)记住三角形的有关概念.

(2)会用符号表示三角形，会对三角形进行分类.

(3)能说出三角形的三边关系，并能运用三角形三边关系解决

相关问题.

3.学习重、难点：

重点：三角形及其有关的概念；三角形的分类.

难点：三角形三边关系及应用.

二、分层学习

第一层次学习

1.自学指导：

(1)自学内容：教材第2页至IJ“思考”前的内容.

(2)自学时间：5分钟.

(3)自学要求：认真阅读课本的内容，划出你认为是重点的语

句.

(4)自学参考提纲：

①什么样的图形叫三角形？

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做

三角形.A

②对照右边的图形，指出三角形的边、角、顶点.，乙二

线段AB、BC、CA是三角形的边，点A、B、C是三角形的顶

点，NA,NB,NC是三角形的角.

③三角形的边有几种表示方法？对照右边的图形写出来.

除了②中的表示方法，还可以用a,b,c表示.

④用符号语言表述右图的三角形

记作：ZkABC,读作：三角形ABC.

⑤什么是等腰三角形、等边三角形？等腰三角形与等边三角形之

间有什么关系？

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形;三边都相等的三角形叫

做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.

⑥等边三角形是特殊的等腰三角形，用图示的方法表示它们之间

的包容关系.

2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情：三角形的知识在小学已经学习过，本节知识是对三

角形知识的系统学习，而本层次主要是学习三角形的相关概念及两种

特殊三角形的概念，学生能很快接受.

②差异指导：a.引导学生理解三角形的概念中“首尾顺次相接”的

意思;

b.让学生认识到三角形的表示方法不是单一的.

（2）生助生：学生围绕各自的学习疑点进行互助交流.

4.强化:

（1）三角形的有关概念及等腰三角形的意义.

（2）练习：如图，共有6个三角形，其中以AC为边的三角形

是△ABCqAECqADC；以NB为内角的三角形有ABCfDBCAEBC.

A

第二层次学习

1.自学指导：

（1）自学内容：教材第2页“思考”到第3页“探究”之前的内容.

（2）自学时间：5分钟.

（3）自学方法：思考三角形的分类方法.

（4）自学参考提纲：

①想一想：研究三角形，我们应该从哪些方面着手？

可以从角和边这两个方面着手.

②试一试：按角分，可以将三角形分为哪几类？按边分，可以将

三角形分为哪几类？

按角分，可以分为三类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形;

按边分可以分为两类：三边都相等的三角形，等腰三角形，而等腰三

角形又包括底边和腰不相等的等腰三角形和等边三角形.

③议一议：你能用图示的方法表示三角形按边分的情况吗？

涌形

2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情：按角分类学生比较容易理解，按边分类部分学生理

解等边三角形为什么放在等腰三角形中时可能会存在一定困难.

②差异指导：教师对个别学困生进行点拨指导.

(2)生助生：学生之间相互讨论交流三角形的分类标准是什么.

4.强化：

三角形的分类标准，按边的分类.

I二中都不相等的二角形

第三层次学习

1.自学指导：

(1)自学内容：探究三角形三边之间的关系.

(2)自学时间：5分钟.

(3)自学方法：任意画出一个三角形ABC,思考：从B点到C

点有哪几条路径？并比较各路径的长度.

(4)探究提纲：

①如图，假设一只小虫从点B出发，沿三角形的边爬到点C,有

两条路线，路线B-C最近.根据是：两点之间线段最短.于是得出结

论三角形两边的和大于第三边.

②在三角形ABC中，可以得出：AB+BOAC,AC+BOAB,

AB+AC>BC.

③由②还可以得出：

AC-AB<BC；AB-AC<BC；BC-AB<AC.

由此又可得出三角形的三边关系的另一个结论是：三角形两边的

差小于第三边.

④下列长度的三条线段能否构成三角形，为什么？

a.3、4、8b.5、6、11c.5>6、10

a.不能，因为3+4<8；b.不能，因为5+6=11；c.能，因为5+6>10.

⑤动手完成例题，看看你的方法和书上的方法一样吗？谁的更

好？

⑥思考例题(2)中为什么要分情况讨论？

2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情：这节课中探讨三边之间的不等关系.三边关系中“两

边之和大于第三边”，学生通过观察能直接得出结论；“两边之差小于

第三边”的结论部分学生很难推导.其次，例题的解法比较多，但是学

生还不习惯用方程的知识解决几何问题，因此，教师要了解学生的认

知困难在哪里.

②差异指导：

a.引导学生先用观察或测量的方法，归纳三边之间的不等关系，

形成系统的知识体系，教师讲解推导过程.

b.引导学生自己动手完成例题，然后说说书上这样做的好处，让

学生形成用代数方程解决几何问题的意识.

(2)生助生：学生之间相互交流帮助.

4.强化：

(1)三角形三边不等关系.

(2)归纳例题的解题要领.

(3)练习：

①一个等腰三角形的周长为24cm,只知其中一边的长为7cm,

则这个等腰三角形的腰长为7或8.5cm.

②下列长度的线段不能组成三角形的是(A)

A.3,8,4B.4,9,6C.15,20,8D.9,15,8

三、评价

1.学生自我评价(围绕三维目标)：学生总结交流自己的学习收

获及存在的困惑.

2.教师对学生的评价：

(1)表现性评价：对学生在学习过程的态度、方法、成果和不

足进行点评.

(2)纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师自我评价(教学反思)：

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、猜想、

实验、数据处理、归纳、类比等思维过程，从中获得数学知识与技能,

体验教学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.

针对性练习

一、基础巩固（每题10分，共50分）

1.下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边分类可

分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；③三角形的两边之差

大于第三边；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝

角三角形.其中正确的有（B）

A.1个B.2个C.3个D.4个

A

2.如图，下列不等关系成立的是（C）

A.PA+PD>AMB.PN+PD>AD\

C.PN+PM>MND.PA+PM>MN\Z---

N

3.下列长度的线段能组成三角形的是（D）

A.3cm,12cm,8cmB.6cm,8cm,15cm

C.2cm,3cm,5cmD.6.3cm,6.3cm,12cm

4.如图，为估计池塘岸边A,B的距离，小方在池塘的一侧选取一

点O,测得OA=15米，OB=10米，A,B间的距离不可能是（D）

（）

A.20米B.15米

CIO米D.5米宣生号

5.已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边的长x

的取值范围是2cm<x<8cm.

二、综合应用（第6题20分，第7题10分，共30分）

6.已知等腰三角形的一边长等于4,另一边长等于9,求这个三

角形的周长.

解：如果该等腰三角形的腰长为4,三角形的三边长分别为4,4,

9.因为4+4<9,此时不能构成三角形.

如果该等腰三角形的腰长为9,三角形的三边长分别为4,9,9,

所以这个等腰三角形的周长为4+9+9=22.

7.如图AABC中，AB=AC,AD=BD=BC,则图中有工个等腰三角

形.

A

三、拓展延伸(每题10分，共20分)

8.等腰三角形的周长为20厘米.

(1)若已知腰长是底长的2倍，求各边的长；(2)若已知一边长为6

厘米，求其它两边的长.

解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米.

x+2x+2x=20

解得x=4.

所以三边长分别为4cm,8cm,8cm.

(2)如果6厘米长的边为底边，设腰长为x厘米，则6+2x=20,

解得x=7；如果6厘米长的边为腰，设底边长为x厘米，则2x6+x=20,

解得x=8.由以上讨论可知，其他两边的长分别为7厘米，7厘米或6

厘米，8厘米.

9.观察下列图形，完成后面的问题.

(1)第十个图形中共有匿个阴影三角形.

(2)用正整数n表示第n个图形中阴影三角形的个数.

解：；(n2+n)

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

一、新课导入

1.导入课题：

在与三角形有关的线段中，除了它的三边外，还有它的高、中线

和角平分线，这节课我们来学习三角形的高，中线和角平分线的意义、

作法和发现的规律性结论.

2.学习目标：

(1)了解三角形的高、中线和角平分线的意义.

(2)会画出三角形的高、中线和角平分线.

(3)结合图形写出三种线段分别得到的相应结论.

3.学习重、难点：

重点：三角形的高、中线和角平分线的意义和画法.

难点：结合三角形高、中线和角平分线的定义探索相应的规律结

论.

二、分层学习

第一层次学习

1.自学指导：

(1)自学内容：教材第4页《11.1.2三角形的高.、中线与角平

分线》的第1自然段.

(2)自学时间：6分钟.

(3)自学要求：认真阅读课本的内容，划出你认为是重点的语

句.

(4)自学参考提纲：

①表述出什么是三角形的高？

从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，所得线段叫做三角形的

RJ.

②如图1,〈AD是AABC的高,

，ADJ_BC于点D(或NADB=NADC=90。).

反之，•「ADLBC于点D(或NADB=NADC=90。)，

AAD是^ABC中BC边上的高.

③请画出下列三角形三边上的高，并说说你有什么发现?

发现：三角形的高可以在三角形内，也可以在三角形边上，还可

以在三角形外.

2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情：三角形的高，这部分知识实际上是探讨线与线之间

的位置关系，学生会作锐角三角形的高，但直角三角形、钝角三角形

三边上的高线，学生容易混淆，所以应跟踪学情点拨引导.

②差异指导：引导学生找准要作哪条边上的高，及掌握直角三角

板的两条直角边的用法.

(2)生助生：学生互助交流不同类别三角形的高的画法.

4.强化:

(1)强调三角形的高线是一条线段.

（2）作三角形高的方法.

（3）练习：如图，写出以AE为高的三角形.

解：AABE>AABD,AABC,AAED,AAEC,AADC.

第二层次学习

1.自学指导：

（1）自学内容：教材第4页《11.1.2三角形的高、中线与角平

分线》的第2自然段到第5页的第1自然段.

（2）自学时间：6分钟.

（3）自学要求：认真阅读课本的内容，结合图形划出你认为是

重点的语句及存有疑点之处.

（4）自学参考提纲：

①连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中

②结合右图填空:

VAD^AABC的中线,

.•.BD=CD=2BC

.*.SAABD=SAADC=-SAABC.

反之：VBD=DC,.'.AD是^ABC的中线.

③画出下列三角形三边的中线，说说你的发现.

发现：它们的中线都在三角形内部且相交于一点.

④要找到一块质地均匀的三角形钢板的平衡点，你应怎样做?

作它的三条中线，交点即为平衡点(即重心).

2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情：重点了解学生对画中线的基本步骤，及三条中线交

于一点即重心的掌握.

②差异指导：引导学生寻找画中线的方法：

a.先要找准边的中点；

b.连接该中点与这边所对的顶点的线段.

(2)生助生：学生相互讨论交流学习疑难点.

4.强化:

(1)强调三角形的中线是一条线段.

(2)三角形的中线的概念和中线的画法.

(3)练习：如图所示，AM是AABC的中线，若4ABM的面积

是20平方厘米，求AABC的面积.

SAABC=2SAABM=40平方厘米

第三层次学习

1.自学指导：

（1）自学内容：教材第5页图11.1-5至IJ“练习”前的内容.

（2）自学时间：6分钟.

（3）自学要求：认真阅读课本的内容，结合图形完成参考提纲.

划出你认为重点的语句和学习疑点.

（4）自学参考提纲：

①定义：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶

点与对边上的交点之间的线段，叫做三角形的角平分线.

②结合右图填空：

TAD是AABC的角平分线，

.*.Z1=Z2=-ZBAC.

2

反之，•.•N1=N2,，AD是^ABC的角平分线.

③如右图，ZkABC中，NB、NC的平分线相交于O,NA=70。,

则NBOC=125°.

④画出下列三角形的三条角平分线，你有什么发现?

发现：三角形的角平分线都在三角形内部且相交于一点.

⑤你怎样来区别三角形的高线、中线、角平分线？

三角形的高线垂直于三角形的边;三角形的中线平分三角形的

边；三角形的角平分线平分三角形的角.

2.自学:同学们可结合自学指导进行自学.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情：三角形的角平分线是探究角之间的数量关系，学生

已经掌握了量角器的用法，能很快地画出一个已知角的角平分线.

②差异指导：引导学生从概念、画法等方面区别高线、中线、角

平分线.

(2)生助生：学生之间相互交流帮助解决学习中的疑惑.

4.强化：

(1)三角形的角平分线的概念及其画法.

(2)练习:

a.如图①，AD是4ABC的中线，AE是NBAC的平分线，则BD

b.如图②，BD是AABC的角平分线，DE〃BC,NDBC=20。,

求NAED.

解：YBD是4ABC的角平分线，.,.ZDBC=-ZABC.

2

VDE/7BC,ZDBC=20°,

NAED=NABC=2NDBC=40°.

三、评价

1.学生自我评价(围绕三维目标)：学生交流自己的学习收获和

存在的困惑.

2.教师对学生的评价：

(1)表现性评价：对学生的学习态度、学习方法、学习成果及存

在的不足进行点评.

(2)纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师自我评价(教学反思)：

本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独

立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提

供一个交流合作的机会，培养学生独立探究，合作学习的能力.

针对性练习

一、基础巩固（每题10分，共50分）

1.三角形的高、中线和角平分线都是（C）

A.直线B.射线C.线段D.垂线

2.如图，在2\ABC中，AD是角平分线，AE是中线，AF是高,

(1)BE=EC=1BC；(2)ZBAD=ZDAC=|ZBAC；

(3)ZAFB=ZAFC=90°；(4)AABC的面积=LBCAF.

2

3.如图，在4ABC中，AD平分NBAC且与BC相交于点D,Z

B=40°,ZBAD=30°,则NC的度数是邺.

4.以下说法错误的是（A）

A.三角形的三条高一定在三角形内部交于一点

B.三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点

C.三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点

D.一个三角形的三条高、中线、角平分线分别交于同一个点

5.如图所示，在4ABC中，Z1=Z2,G为AD的中点，连接BG

并延长，交AC于点E,CF_LAD于点H,交AB于点F.下列说法中,

正确的有（A）

A

1

E

BC

①AD是aABE的角平分线②BE是ZkABD的边AD上的中线

③CH>AACD的边AD上的高.

A.1个B.2个C.3个D.0个

二、综合应用(每题10分，共20分)

6.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为多少度？

RDC

解：如图，4ABC中，ZB=90°,AD>CE是4ABC的角平分线，

贝ijZDAC+ZECA=-(ZBAC+ZBCA)=45°,ZAFC=180°-(ZECA+

2

NDAC)=135。.所以直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为135°.

7.如图，AD是AABC的边BC上的中线，已知

AB=5cm,AC=3cm.△ABD的面积为acm2,

(l)SAABC=2acm2；

(2)AABD与AACD的周长之差为2cm.

三、拓展延伸(每题15分，共30分)

8.在^ABC中，AD是NA的平分线，DE〃AC交AB于E,EF

〃AD交BC于F,试问EF是ABED的角平分线吗？说说你的理由.

A

解：EF是ABED的角平分线，理由如下：

•「AD是NBAC的平分线，AZ1=Z2.ADE//AC,Z5=Z2=Z1.

VEF^AD,?.N3=N5,N4=N1,「.N3=N4,；.EF是ABED的角平分

线.

9.在^ABC中，ZACB=90°,CD±AB于D,AB=13,CD=6,BC=10,

求AC的长.

解：VSAABC4AB.CD4AC.BC,AB=13,CD=6,BC=1。,

AB»CD_13x6

.•.AC==7.8.

BC10

11.1.3三角形的稳定性

——三角形稳定性探究与应用

一、导学

1.导入课题：

盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉

一根木条(如右图)，为什么这样做呢？

2.学习目标：

(1)知道三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.

（2）体验稳定性与不稳定性在生产、生活中的广泛应用.

3.学习重、难点：

重点：三角形的稳定性.

难点：三角形的稳定性的应用.

4.自学指导：

（1）自学内容：探究三角形木架、四边形木架在外力作用下形

状是否发生改变.

（2）自学时间:10分钟.

（3）自学方法：实验操作，观察归纳.

（4）探究提纲：

①自主探究：

a.如图（1）,把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后推拉

它，它的形状会改变吗？

b.如图（2）,把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后推拉

它，它的形状会改变吗？

会改变

c.如图（3）,在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点

连接起来，然后推拉它，它的形状会改变吗？

不会改变

②议一议：

从上面实验过程中你能得出什么结论？与同伴交流.

三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，

三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.

斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变，原因是四边形变成

了两个三角形，这样就利用了三角形的稳定性.

③看一看，想一想：

三角形的稳定性和四边形的不稳定性在生活中都有广泛应用.

你知道课本图11.1-8和图11.1-9中的例子，哪些是利用三角形的

稳定性？哪些是利用四边形的不稳定性？你能再举一些例子吗？

钢架桥与起重机是利用三角形的稳定性，活动挂架和伸缩门是利

用四边形的不稳定性，还有相框的支架是利用三角形的稳定性，纸箱

是利用四边形的不稳定性.

二、自学

同学们可结合探究提纲进行自主探究.

三、助学

1.师助生：

(1)明了学情：三角形的稳定性在日常生活中有广泛的应用，学

生接触的比较多，所以掌握起来也比较快.

(2)差异指导：引导学生把三角形的稳定性和四边形的不稳定性

结合在一起学，重点掌握三角形的稳定性，理解四边形的不稳定性及

如何稳定一个多边形.

2.生助生：学生之间相互指导操作，然后交流讨论.

四、强化

1.三角形的稳定性及其应用.

2.练习：(1)有下列图形：①正方形；②长方形；③直角三角形;

④平行四边形.其中具有稳定性的是③.(填序号)

（2）铁栅门和多功能挂衣架能够伸缩自如，是利用四边形的不

稳定性.

（3）要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要钉上2

根木条.

五、评价

1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生交流自己的学习收获

和存在的不足.

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：对学生的学习态度、学习方法、学习成果和存

在的问题进行点评.

（2）纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师自我评价（教学反思）：

本节课学习三角形的稳定性，完成的教学目标是通过观察、想象、

实践、推理、小组交流合作，使同学们了解三角形具有稳定性，四边

形不具有稳定性，稳定性与不稳定性在生产、生活中广泛应用，培养

同学们细心观察的学习作风和学习习惯，以及自主学习和独立思考的

能力.

针对性练习

一、基础巩固（第1题20分，其余每题各10分，共50分）

L下列图形中具有稳定性的有（1）（4）（6）（填序号）.

2.在建筑工地我们常可看见如图所示用木条EF、FG固定的矩形

门框ABCD.这种做法根据(C)

A.两点之间线段最短

B.两点确定一条直线

C.三角形的稳定性

D.垂线段最短

3.如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用

的几何原理是三角形的稳定性.

4.我们学校教学楼的大门是推拉门，这种门工作的原理是四边形

的不稳定性.

二、综合应用(20分)

5.探究:如图，用钉子把木棒AB、BC和CD分别在端点B、C处

连接起来，用橡皮筋把AD连接起来，设橡皮筋AD的长是x,

⑴若AB=5,CD=3,BC=11,试求x的最大值和最小值；

(2)在(1)的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗?

(3)AB、BC、CD能围成一个三角形吗？

解：(1)x最大值=AB+BC+CD=19.x最小值=BC-AB-CD=3；

(2)3<x<19；

(3)不能.

三、拓展延伸(30分)

6.如图a是一张可折叠的钢丝床的示意图，这是展开后支撑起来

放在地面上的情况.如果折叠起来，床头部分被折到了床面之下(这里

的A、B、C、D各点都是活动的).其折叠过程可由图b的变换反映出

来.

(1)活动床头的固定与折叠是根据三角形的稳定性和四边形的不

稳定性而设计的;

(2)若图b中的四边形ABCD的边AB=6,BC=30,CD=15.当AD

长为多少时，才能实现上述的折叠变化？

解：观察分析图b中的第4个图形可得

AB+AD=BC+CD.

将AB=6,BC=30,CD=15代入，得AD=39.

所以当AD=39时，才能实现上述的折叠变化.

11.2与三角形有关的角

11.2.1三角形的内角

——三角形的内角和定理及直角三角形的性质与判定

一、新课导入

1.导入课题：

前面我们学习了与三角形有关的线段，今天我们就来学习与三角

形有关的角.

2.学习目标：

(1)通过经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理.

(2)能运用平行线的性质证明内角和定理.

(3)能应用三角形内角和定理推导并归纳直角三角形的性质与

判定.

3.学习重、难点：

重点：三角形内角和定理及其应用，直角三角形的性质与判定.

难点：三角形内角和定理的证明.

二、分层学习

第一层次学习

1.自学指导：

(1)自学内容：探究验证三角形内角和等于180。的方法.

(2)自学时间：5分钟.

(3)自学要求：动手完成实验活动，得出三角形的内角和定理,

并能证明这一定理.

(4)探究提纲：

①拼一拼：

在事先准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码（如图），并

将它的内角剪下将顶点拼合在一起，试一试看怎么样?

拼成了一个平角.

②议一议：

从上面的操作过程你能得出什么结论？与同伴交流.

把一个三角形其中的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，形成了

一个平角.说明在AABC中，ZA+ZB+ZC=180°.从中得出：三角形

内角和定理三角形三个内角的和等于180%

③想一想：

如果我们不用剪、拼的办法，可不可以用推理论证的方法来说明

三角形内角和定理的正确性呢？如果有困难的话不妨先完成如下的

填空，再回答.

已知：ZkABC,求证：ZA+ZB+ZC=180°.

证明：如右图，过点A作直线DE,使DE〃BC

VDE/7BC,

.•.NB=NDAB（两直线平行，内错角相等）

同理NC=NEAC（两直线平行，内错角相等）

VZBAC>NDAB、NEAC组成平角，

AZBAC+ZDAB+ZEAC=180°（平角定义）

AZBAC+ZB+ZC=180°（等量代换）

④记一记：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线,

在平面几何里，添加的辅助线通常用虚线（选“实线”或“虚线”）来表

示.

⑤思考：你能从拼图中想出其他证明三角形内角和定理的方法

吗？

2.自学:同学们可结合探究提纲进行自主探究学习.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：”三角形的内角和为180。”在小学四年级已经接触

过，学生并不陌生，但学生对添加辅助线证明内角和定理仍存在难度,

教师对此应予关注.

②差异指导：引导学生回忆前面学习过的知识之中，有哪些知识

涉及到180°.

（2）生助生：学生相互查看拼图及论证过程，并对错误的学生进

行指导.

4.强化：

（1）三角形内角和定理及证明方法.

（2）教材第16页复习巩固第1题.

第二层次学习

1.自学指导：

（1）自学内容：教材第12页到第13页例1、例2.

（2）自学时间：5分钟.

（3）自学要求：认真阅读例题条件和问题，学习例题的解答过

程.

（4）自学参考提纲:

①把例1的已知条件在图形中标示出来.

②找准例2中的方位角，并在图形上标示出来.

③还有哪些角没有弄清楚，做上记号，组内交流.

④试着独立完成例2,组内评一评.

2.自学:结合自学指导进行自学.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情：例1学生会很快独立地完成.例2中由于出现的方

位角较多，学生容易混淆，需要重点关注.

②差异指导：帮助学习困难的学生，一句一句分析例2中所描述

的方位角，并对照图形找出来.

(2)生助生：不清楚、不明白的地方互助交流.

4.强化：

(1)三角形内角和定理及应用.

(2)方位角的意义及应用.

第三层次学习

1.自学指导：

(1)自学内容：教材第13页到第14页“练习”之前的内容.

(2)自学时间：5分钟.

(3)自学要求：动手完成推导的过程，能说出得出结论的依据.

(4)自学参考提纲：

①如图，用符号表示下列直角三角形.

RtAABCRtAPMQ

②三角形的内角和定理在直角三角形中是否适用？直角三角形

两锐角之间存在什么关系？写出证明过程.

证明：因为直角三角形中有一个直角，且内角和为180。，所以另

外两锐角的和为90°.

结论：直角三角形的两个锐角互余.

根据下列图形，把上述结论改写成几何语言：

在AABC中,；ZB=90°,JZA+ZC=90°.

③独立阅读例3的解答过程，你知道例3中运用了直角三角形

的什么性质？这个性质反过来也成立吗？

例3中运用了直角三角形两个锐角互余的性质，这个性质反过来

也是成立的.

④直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.

结合右图把上述语句改写成几何语言：

在4ABC中，A

,.,ZB+ZC=90°,/

.'.△ABC是直角三角形.B'

2.自学:结合自学指导进行自学.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情：本节内容比较容易，学生能通过自学掌握本节知识.

②差异指导：在解答例3时，引导学生寻找题目中的隐含条件.

（2）生助生：学生之间相互交流，帮助解决学习疑点及存在的

问题.

4.强化:

（1）回忆直角三角形的性质及判定.

（2）教材第14页“练习”.

练习1：ZACD=ZB.VZBCD+ZB=90°,ZBCD+ZACD=90°,

，ZACD=ZB.

练习2：z\ADE是直角三角形...•/©=90°,.../2+/人=90°,又：/

1=N2,，Zl+ZA=90°,NADE=90°.Z.AADE是直角三角形.

三、评价

1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习

收获和困惑.

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及存在的不

足进行点评.

（2）纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师自我评价（教学反思）：

本课时教学思路按猜想、实验、证明的学习过程，遵循学生的认

知规律，充分体现了数学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开,

并给学生留下充分的思考时间与空间，形成解决问题的意识与能力.

针对性练习

一、基础巩固（每题10分，共60分）

1.AABC中，ZA：ZB：ZC=1：2:3,则NA=理,NB=^Q2,N

C=9O2.

2.如图，在直角三角形ABC中，ZACB=90°,NA=45。，CD是

NC的角平分线，图中有3个等腰三角形.

3.如图，在^ABC中，NB=NC=50。，AD、DE分别是NBAC、

NADC的角平分线，则NDEC=(D)

A.45°B,50°C.60°D.850

4.一个等腰4ABC,一腰上的高与另一腰的夹角为40。,则这个等

腰4ABC的顶角度数为50。或130。.

5.若一个三角形三个内角度数的比为2：7：4,那么这个三角形

是(C)

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定

6.如图，NACB=90。，CDLAB于D,则图中除直角外相等的角

有NA=NBCD,NB=NACD,互余的角有：NA与NB,DA与/

ACD,NB与/BCD,NACD与NBCD.

二、综合应用(每题10分，共20分)

7.如图，在AABC中,NABC=70o,NC=65o,BD_LAC于D,求N

ABD,ZCBD的度数.

解：•.•NABC=70o,NC=65。，

ZA=180°-ZABC-ZC=45°.

VBD±AC,

.*.ZADB=ZCDB=90°,

ZABD=90°-ZA=N45°,NCBD=90°-NC=25°.

8ZABC中，BD、CD分别是NABC和NACB的平分线，已知

NA=100。,求NBDC的度数.

解：:BD、CD分别是NABC和NACB的平分线，

.•.NDBC+/DCB=12(ZABC+ZACB).

又：ZABC+ZACB=180°-ZA=80°.

ZDBC+ZDCB=40°,

ZBDC=180°-(ZDBC+ZDCB)=140°.

三、拓展延伸(20分)

9.如图,AB〃CD,AE平分NBAC,CE平分NACD,试问：Z

AEC的度数是多少？

A________B

VAB/7CD,

.,.ZBAC+ZACD=180°.

AE平分NBAC,CE平分NACD,

，ZEAC+ZECA=12(ZBAC+ZACD)=90°,

，ZAEC=180°-(ZEAC+ZECA)=90°.

11.2.2三角形的外角

一、新课导入

1.导入课题：

如图，把AABC的一边BC延长，得到NACD,像这样，三角形

的一边与另一边的延长线组成的角是三角形的什么角呢？这就是本

节课我们要学习的内容：三角形的外角.

2.学习目标：

(1)能准确地判断一个三角形的外角.

(2)能叙述和证明三角形的外角的性质.

(3)能利用三角形的外角性质解决实际问题.

3.学习重、难点：

重点：三角形外角的性质及其应用.

难点：三角形外角性质的证明.

二、分层学习

第一层次学习

1.自学指导：

(1)自学内容：教材第14页到第15页例4之前的内容.

(2)自学时间：5分钟.

(3)自学要求：认真看课本，将你认为是重点的概念、结论做

上记号.注意三角形外角的特征，记住三角形外角的性质并尝试证明;

同学们也可以结合下面的自学提纲进行学习.

(4)自学参考提纲：

活动1：

①记一记：三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线

组成的角，叫做三角形的外角.

②画一画：任意画一个三角形，然后画出这个三角形的所有外角.

③想一想：三角形的外角有几个？6个.每个顶点处有2个外角，

且它们是对顶角.

活动2：

①完成教材第15页“思考”内容.

②填空：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

③证明上述结论./

已知：AABC.

求证：ZACD=ZA+ZB.I)

证明：*.*ZA+ZB+ZACB=180°,ZACB+ZACD=180°,Z

ACD=NA+NB.

2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情：本节内容与老教材比，减少了“三角形的一个外角

大于与它不相邻的任何一个内角''等定理；”三角形的外角和360。”只

通过例4来引出，没有单独拿出来.在定理中只涉及到“三角形的一个

外角等于与它不相邻的两个内角之和''这个推论.虽说内容减少了，但

是推论的证明过程仍然是本节课的难点，教师应重点关注，掌握学习

情况.

②差异指导：引导学有困难的学生，分析推理中的关键字眼，利

用平行线的原理把一个角分成两个角，从而完成定理的证明.

(2)生助生：相互交流外角性质证明的方法和步骤.

4.强化:

(1)三角形的外角的定义.

(2)如图1,一个三角形有6个外角.每个顶点处有2个外角,

这两个外角是对顶角.

(3)如图2,AABC中，NA=80°,NB=4(r,NACD是AABC

的一个外角，则NACD=120。

第二层次学习

1.自学指导：

(1)自学内容：自学教材第15页例4.

(2)自学时间：5分钟.

(3)自学要求：结合图形体会解答过程每一步的依据.

(4)自学参考提纲：

①做一做：每个顶点处取一个外角，如右图，NBAE、NCBF、

ZACD是4ABC不同的三个外角，则它们的和是多少？

由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得

ZBAE=Z2+Z3,ZCBF=Z1+Z3,ZACD=Z1+Z2.

所以：ZBAE+ZCBF+ZACD=2(Z1+Z2+Z3).

由Nl+N2+N3=180。,得

ZBAE+NCBF+NACD=2x180。=360°.

②想一想：你能得出什么结论？

三角形的外角和等于360。.

③如果运用邻补角的意义，那么你怎样证明这个结论呢？

VZl+ZBAE=180°,Z2+ZCBF=180o,Z3+ZACD=180°,

.*.Z1+Z2+Z3+ZBAE+ZCBF+ZACD=540°,

XVZl+Z2+Z3=180°,

ZBAE+ZCBF+ZACD=360°.

即三角形的外角和等于360。.

2.自学:同学们可结合自学参考提纲进行自学.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情：了解学生完成提纲情况.

②差异指导：让学生独立完成例题，看谁的方法最多.针对学生

出现的错误予以启发指导.

(2)生助生：学生相互交流帮助学习中的问题.

4.强化：

(1)三角形外角的性质.

(2)教材第15页到第16页“练习”.

图(1)：Zl=40°,Z2=140°;K(2)：Zl=110°,Z2=70°;

图(3)：Nl=50°,N2=140°;图(4)：Zl=55°,Z2=70°;

图(5)：Nl=80°,N2=40。;图(6)：Nl=60°,N2=30°.

三、评价

1.学生的自我评价(围绕三维目标)：学生代表相互交流自己的

学习收获和困惑.

2.教师对学生的评价:

(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果进行点评.

(2)纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师自我评价(教学反思)：

本课时教学应突出学生主体性原则，即通过探究学习，指引学生

独立思考，自主得到结果，再让学生相互交流，或上台展示自己的发

现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验，激发学生探究的激情.

针对性练习

一、基础巩固(每题10分，共50分)

1.如图，Zl=110°.

第1题图第2题图第3题图

2.如图，AB〃CD,ZA=40°,ZD=45°,则Nl=85°.

3.如图，已知Nl=100。，Z2=140°,那么N3=120。.

4.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，Zl=30°,Z

2=50。，则N3的度数等于(C)

A.50°B.30°C.20°D.150

GfA

£D

第4题图第5题图

5.如图，已知AC〃ED,NC=26。，NCBE=37。，则NBED的度

数是(A)

A.630B.83。C.730D.53°

二、综合应用(第6题10分，第7题20分，共30分)

6.已知三角形的三个外角的度数比为2:3：4,则它的最大内角度

数为(C)

A.90°B.110°C.100°D.120°

7.如图,AB//CD,ZA=45°,NC=NE,求NC.

解：AB//CD,NA=NDOE

又NDOE=/C+NE,NC=NE,

二.ZC=12ZDOE=12ZA=22.5°.

三、拓展延伸（20分）

8.如图，是一个五角星，求NA+NB+NC+ND+NE的度数.

解：VZAFG=ZB+ZD,

ZAGF=ZC+ZE,

ZA+ZAFG+ZAGF=180°,

ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°.

11.3多边形及其内角和

11.3.1多边形

一、新课导入

1.导入课题：

请同学们仔细观察下面的三个图形，它们给我们以由一些线段围

成的图形的形象，这些图形叫做什么形呢？

这节课我们就来学习多边形.

2.学习目标：

(1)能叙述多边形、多边形的内角、外角和对角线的意义.

(2)知道什么是凸多边形和正多边形.

3.学习重、难点：

重点：多边形及其有关的概念.

难点：多边形的边的特征.

二、分层学习

第一层次学习

1.自学指导：

(1)自学内容：教材第19页的内容.

(2)自学时间：5分钟.

(3)自学方法：认真阅读课文，可以结合下面的自学参考提纲

学习，通过观察、比较，初步建立边的概念，初步认识四边形、五边

形、六边形等平面图形，理解多边形、多边形的内角及其外角的定义.

(4)自学参考提纲：

①认识多边形

a.回忆三角形的概念，说说多边形的概念.

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边

b.下面这些图形分别是几边形?

五边形六边形八边形

如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形就叫做n边形.

②认识多边形的内角、外角

多边形的内角是多边形相邻两边组成的角，多边形的外角是多边

形的边与它的邻边的延长线组成的角，指出图2中多边形ABCDEF

的外角N1,N2,N3,N4,N5,N6.

图2

③列举出我们生活中见到的多边形.

2.自学：同学们可参照自学参考提纲进行自学.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情：在日常生活中，学生接触的多边形比较多，本层次

的内容学生能够很快掌握.

②差异指导：引导学生列举出生活中的多边形.

(2)生助生：学生之间相互交流学习的成果和困惑.

4.强化：

(1)多边形及其有关的角的概念.

(2)练习：下列图形包含了哪些多边形?

六边形四边形五边形和六边形

第二层次学习

1.自学指导：

(1)自学内容：教材第20页内容.

(2)自学时间：5分钟.

(3)自学方法：认真阅读课本，抓住各个概念中的关键词.

(4)自学参考提纲：

①什么叫多边形的对角线？

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

②什么叫凸多边形？指出下列多边形哪些是凸多边形.

画出多边形任何一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同

一侧，这样的多边形叫做凸多边形.a,c,e是凸多边形.

③什么叫正多边形？正多边形有什么特征？

各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.正多边形

各个角相等，各条边相等.

④试从四边形、五边形、六边形中探究n边形的对角线条数m

与边数n之间的关系.

n(n-3)

m=------(n>4)

2

2.自学：同学们可参照自学指导进行自学.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情：多边形的对角线比较多，一般学生会有疏漏，应注

意了解.

②差异指导：引导学生领会对角线的重要应用是它可以把多边形

分为几个三角形，从而把多边形的问题转化为三角形的问题来解决.

(2)生助生：学生之间相互交流帮助.

4.强化：

(1)多边形的对角线的定义，正多边形的定义.

(2)练习：画出右图多边形的全部对角线.

(3)完成教材第21页练习第2题.

答：四边形的一条对角线将四边形分成2个三角形，从五边形的

一个顶点出发，可以画出2条对角线，它们将五边形分成了三个三角

形.

三、评价

1.学生自我评价(围绕三维目标)：学生当众交谈自己的学习收

获和困惑.

2.教师对学生的评价：

(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成效和存在的不足

进行点评.

(2)纸笔评价：课堂评价检测

3.教师自我评价(教学反思)：

学习本课时，可让学生先自主探索再合作交流，小组内、小组之

间充分交流后概括所得结论，既巩固了三角形的知识，又用类比的方

法引出多边形的有关概念，加深对本课时的学习.

针对性练习

一、基础巩固（每小题10分，共50分）

1.六边形的对角线共有（D）

A.6条B.7条C.8条D.9条

2.下列属于正多边形的是（B）

A.长方形B.等边三角形C.梯形D.圆

3.从一个顶点出发的对角线，可以把十边形分成互不重叠的三角

形的个数（B）

A.7个B.8个C.9个D.10个

4.四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，十边形有35条

对角线.

5.十二边形共有54条对角线，过一个顶点可作9条对角线，可

把十二边形分成10个三角形.

二、综合应用（20分）

6.某学校七年级六个班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制

（即每个班都进行一次比赛）.一共需要多少场比赛？

解：一共需要15场比赛.如图：

一班_________二班

六班三班

五班四班

三、拓展延伸(30分)

7.四边形中，过一个顶点可画一条对角线，共可画两条对角线；

五边形中，过一个顶点可画两条对角线，共可画五条对角线；六边形

中，过一个顶点可画三条对角线，共可画九条对角线，请从以上三种

情况寻找一下规律，看一看多边形的边数和对角线之间有关系吗？如

果有，请找出来.如果是n边形，可画多少条对角线呢？

解：有关系，多边形对角线的条数等于边数与(边数-3)的乘积

的，即n边形对角线的条数

22

11.3.2多边形的内角和

一、新课导入

1.导入课题：

我们知道，三角形的内角和等于180。；正方形、长方形的内角和

都等于360。.那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360。?五边

形、六边形的内角和分别是多少呢？大家带着这个问题一起来探究多

边形的内角和问题.

2.学习目标：

(1)探索多边形的内角和公式.

(2)通过把多边形转化成三角形，体会转化思想在几何中的运

用.

3.学习重、难点：

重点：多边形的内角和公式及推导.

难点：探究多边形的内角和公式的应用.

二、分层学习

第一层次学习

1.自学指导：

(1)自学内容：教材第21页“思考”到第22页例1.

(2)自学时间：6分钟.

(3)自学要求：认真阅读课本的内容，完成课本中的思考及有

关填空，积极思考完成自学参考提纲中的问题.

(4)自学参考提纲：

①多边形的内角和公式是怎样的？公式是怎样推导出来的？

n边形内角和等于(n-2)X180。.从n边形的一个顶点出发，可以

作(n-3)条对角线，它们将-n边形分为(n-2)个三角形，n边形的

内角就等于(n-2)xl80°.

②把一个多边形分成几个三角形，你还有不同于课本中的分法

吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？试试看！

在n边形内选一点，连接这个点与n边形的各顶点，n边形被分

成n个三角形，n边形的内角和等于n个三角形内角和总和减去一个

周角,即n边形的内角和等于nxl80°-360°=(n-2)xl80°.

③例1找两个角的关系是运用了什么知识找到的？哪个条件是

隐含的？哪个条件是已知的？

是运用多边形内角和等于(n-2)X180。找到的四边形ABCD的内

角和等于360。这个条件是隐含的；四边形的一组对角互补这个条件是

已知的.

2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.

3.助学：

(1)师助生：

①明了学情：对于公式的推导，方法很多，但都围绕一个基本核

心思路即把多边形分成若干个三角形，对于这个转化的数学思想方

法，部分学生会存在理解困难，教师应及时了解情况.

②差异指导：对学习中存在的各种问题予以分类指导.

(2)生助生：学生之间相互展示交流.

4.强化：

(1)多边形的内角和公式:n边形内角和等于(n-2>180。.注意:多

边形的内角和是180。的倍数.

(2)练习：完成教材第24页“练习”.

第二层次学习

1.自学指导：

(1)自学内容：教材第22页到第23