人教版九年级数学上册专项复习：点和圆、直线和圆的位置关系

24.2点和圆、直线和圆的位置关系

【提升训练】

一、单选题

1.在平面直角坐标系中，P经过点A（0,6）、3（0,36）,与x轴相切于点C,则点P的坐标是

（）

A.（3,2>/3）B.（3,3⑹

C.（3,20）或卜3,26）D.（3,36）或卜3,36）

【答案】C

【分析】

分两种情况：如图1,过尸作轴于连接PC,根据切线的性质得到PCLx轴，根据矩形的性质得

到PC=O£>,PD=OC,根据勾股定理得到PD=yjPB2-BD2=7（273）2-（A/3）2=3，如图2,同理可得，

P（-3,2若），于是得到结论.

【详解】

解：如图1,过尸作PDLy轴于。，连接尸C,PB,

•.•。尸与无轴相切于点C,

；.PC_Lx轴，

四边形OCPD是矩形，

：.PC=OD,PD=OC,

;点A(0,6)、B(0,373)，

:.AB=26,0A=^3

BD-AD-/AB-百,

：.OD=OA+AD=2y/3

：.PC=OD=2y[3,

:.PB=PC=26，

在RtxPBD中，PD=^PB2-BD2=｛（2我2_（我2=3,

:.P（3,273）；

（-3,2色'）,

故选：C.

【点睛】

本题考查了切线的性质，勾股定理，坐标与图形性质，分类讨论思想的运用是解题的关键.

2.设。为坐标原点，点A、8为抛物线y=d上的两个动点，且03.连接点43,过。作OC,A3

于点C,则点C到y轴距离的最大值（）

A.—B.—C.3D.1

222

【答案】A

【分析】

设A(ma2)，B(b,炉)，求出AB的解析式为y=(a-工口+1,进而得到。D=l,由NOCB=90。可知，C点

a

在以。。的中点£为圆心，以为半径的圆上运动，当C8为圆£半径时最大，由此即可求解.

22

【详解】

解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为“，与x轴的交点为。，

设A(a,a2),B(b,按),其中分0,厚0,

\'OA±OB,

・//1

ab

即ab=-l,

设A3的解析式为：y=(。-工)1十加，代入A(m洲，

a

解得：m=1,

OD—1,

VOC^AB,即NOCB=90，

；.C点在以OD的中点£为圆心，以「=」。。=1为半径的圆上运动,

22

当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大,

故CH的最大值为r=~,

2

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出与y轴交点的纵坐标始终为1,结合

ZOCB=90.由此确定点E的轨迹为圆进而求解.

3.如图，在AA5C中，AB=10，AC=8,BC=6,以边A5的中点。为圆心，作半圆与AC相切，

点尸，。分别是边和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）

A.6B.2Vo+1C.—D.9

3

【答案】D

【分析】

如图，设。。与AC相切于点E,连接OE,作OPiLBC垂足为P交。。于Q,此时垂线段0P最短，PiQi

最小值为OPi-OQi,如图当0在AB边上时，P2与8重合时，P20最大值=5+3=8,由此即可求解.

【详解】

解：如解图，设I。与AC相切于点E，连接0E,则

作。垂足为点4,交（0于点。1，此时垂线段。［最短,

当。、Q、P三点不共线时，构成△OQPi,

由三角形两边之差小于第三边可知，当O、。1、P1三点不共线时，

PQ有最小值为RQ1，且一0Q,,

,：AB=10,AC=8,BC=6,

/•AB-=AC2+BC2,

•••ZC=90°,

/.OPJ/AC,OEHBC,

为斜边AB上的中点，

OPi和OE均为△ABC的中位线，

Z.AO=OB=-AB=5,

2

：.P.C=PXB=OE=^BC=3,

A（9^=1AC=4,

《Qi最小值为。OQi=L

当。2在A3边上，鸟与B重合时，22最大值为+。5=3+5=8,

PQ长的最大值与最小值的和是9,

故选：D.

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理，三角形两边之差小于第三边求最值，解题的关键是正确找到点尸。取得最大

值、最小值时的位置.

4.如图，正方形ABCD的顶点4、。在。。上，边与。。相切，若正方形A3CD的周长记为G，。。

的周长记为C2,则G、Q的大小关系为（）

A.Q>C2B.Q<C2C.Q=C2D.无法判断

【答案】A

【分析】

设正方形的边长为。，。。的半径为广，则G=4a,C2=Inr,结合垂径定理，勾股定理得出r=

则GY=4”?=叮乂即可得出结论

【详解】

如图：设与。。相切与点N,连接ON,延长NO交AD于点M,

-OM±AD,M为AD中点，

设正方形的边长为。，0O的半径为厂，

OD=ON=r,MN=a,OM=MN-ON=a-r,MD=

二在HrOMD中,OD2=OM2+MD2

5

:.r=­a

8

正方形ABC。周长为G，。。的周长为。2

厂A_,-57ca

G=4〃，C2=2"=—^―

（16—5万）a

Cj-C=4a-

244

。＞0,16—5万＞0

G—C2〉0

G＞G

故选：A.

【点睛】

本题考查了圆切线的性质，正方形的性质，垂径定理，勾股定理，以及正方形的周长和圆的周长公式，熟

练掌握垂经定理和勾股定理找到正方形的边长和圆的半径之间的关系是解题关键.

5.如图，AB是：。的直径，点C为。外一点，CA,分别与:。相切于点A,点。，连结BD,

AD.若NAGD=50。，则NDB4的度数是()

A.15°B.35°C.65°D.75°

【答案】C

【分析】

根据切线的性质得出/C4O=90。，AC=CD,求出NC4Z)=NCZM=L(180°-ZAC£»=65。，求出/Z148,根

2

据圆周角定理求出NADB=90。，再求出答案即可.

【详解】

解：：CA,CO分别与。。相切于点A,点。，

AZCAO=90°,AC=CD,

"?ZACD=50°,

：.ZCAD=ZCDA=—(180°-NACO)=65°,

2

ZDAB=90°-ZCAD=9Q°-65°=25°,

「AB是直径，

ZADB=90°,

：.ZDBA=90o-ZDAB=90°-25o=65°,

故选：C.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆周角定理等知识点，能综合运用知识

点进行推理和计算是解此题的关键.

6.如图，在：。中，A3切I。于点A,连接03交(。于点C,过点A作AO//05交。。于点。,

连接CD.若4=50。，则NOCD为（）

A.15°B,20°C.25°D.30°

【答案】B

【分析】

连接OA,根据AB与。。相切易得NQ4B=90。，在HrVOAB中，已知NB=50。，可以求出NAO5的

度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出/ADC的度数，最后根据AO//OB可得

ZOCD=ZADC.

【详解】

：45切(。于点A,

/.ZOAB=9Q°,

在加V0LB中，

ZB=50°,

ZA(9B=40°,

ZADC=20°,

又：ADHOB,

：.ZOCD=ZADC=20°.

故选：B.

【点睛】

本题考察了切线的性质，圆周角定理以及平行线的性质，综合运用以上性质定理是解题的关键.

7.如图，AB是。。的弦，AC与。。相切于点A,连接。4,OB,若/0=120。，则4c的度数是（）

【答案】D

【分析】

由切线的性质得出ACLOA,根据等边对等角得出/。48=/。54.求出/OAC及NOAB即可解决问题.

【详解】

解：与。。相切于点A,

：.AC±OA,

：.ZOAC=90°,

"：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA.

,/Z0=120°,

180°—/。

ZOAB=---------------=30°,

2

ZBAC=ZOAC-ZOAB=90°-30°=60°.

故选：D.

【点睛】

本题考查切线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握切线的性质.

8.如图，AB是的直径，AT是。。的切线，ZT=40°,交于点C,E是AB上一点，延

长CE交0。于点。，则NCD3的度数是（

A.35°B.40°C.45°D.50°

【答案】B

【分析】

连接AC,根据切线的性质得到ATLAB,进而求出/ABT,根据圆周角定理得到/ACB=90。，计算即可.

【详解】

解：连接AC,

是。。的切线,

J.ATVAB,

VZT=40°,

ZABT=90°-Zr=50°,

是。。的直径，

ZACB=9Q°,

：.ZCAB=90°-ZABT=40°,

由圆周角定理得，ZCDB=ZCAB^40°,

故选：B.

【点睛】

本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.

9.如图，在，ABC中，AG平分NC4B,使用尺规作射线与AG交于点E,下列判断正确的是（

A.AG平分。B.ZAED=ZADE

C.点E是ABC的内心D.点E到点A,B,C的距离相等

【答案】C

【分析】

利用基本作图得到平分/ACB,则根据三角形内心的定义可判断E点为△ABC的内心，从而得到正确的

选项.

【详解】

解：由作法得C。平分NACB,

平分NCAB,

点为AABC的内心

故选：C.

【点睛】

本题考查了作图-基本作图:熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知

线段的垂直平分线；作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线）.也考查了三角形的内心.

10.下列五个说法：①近似数3.60万精确到百分位；②三角形的外心一定在三角形的外部；③内错角相等；

④90。的角所对的弦是直径；⑤函数）=正巨的自变量x的取值范围是龙2-2且XW1.其中正确的个数

x-1

有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【分析】

根据近似数3.60万精确到百位可判断①，根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三角形三边中垂线

的交点，锐角三角形在形内，直角三角形在斜边中点上，钝角三角形在形外可判断②，根据两直线平行，

内错角相等可判断③；90。的圆周角性质可判断④，函数>三根式函数要求被开方数非负，分式函

x-1

数分母不为0,可判断⑤即可得出答案.

【详解】

解：①近似数3.60万精确到百位，故①近似数3.60万精确到百分位错误；

②三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三角形三边中垂线的交点，锐角三角形在形内，直角三角形在

斜边中点上，钝角三角形在形外，故②三角形的外心一定在三角形的外部错误；

③两直线平行，内错角相等；故③内错角相等错误；

④90。的圆周角性质是90。的圆周角所对的弦是直径，故④90。的角所对的弦是直径不正确；；

⑤函数>=Y五1,

x-l

x+2>0

x-1^0

解得x2—2且xw1,

⑤函数耳的自变量X的取值范围是2且XW1正确.

正确的个数有一个⑤.

故选择：B.

【点睛】

本题考查基本技能，精确度，三角形外心，内错角，90。圆周角的性质，函数的自变量取值范围，熟练掌握

精确度，三角形外心，内错角，90。圆周角的性质，函数的自变量取值范围是解题关键.

11.如图，A3是。。的直径，交。。于点。，。石，AC于点E，下列说法不正确的是（）

A.若DE=DO,则。E是。。的切线B.若=则OE是。。的切线

C.若CD=DB,则OE是。。的切线D.若£见是。。的切线，则AB=AC

【答案】A

【分析】

根据A8=AC,连接AO,利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点。是BC的中点，。。是AABC

的中位线，OO〃AC,然后由OELAC,得到/。。£=90。，可以证明。E是。。的切线，可判断B选项正确；

若DE是。。的切线，同上法倒推可证明A2=AC,可判断。选项正确；

根据CD=BD,AO=BO,得到是△ABC的中位线，同上可以证明OE是。。的切线，可判断C选项正确；

若DE=DO,没有理由可证明。E是。。的切线.

【详解】

解：当A8=AC时，如图：连接AD,

•.28是。。的直径，

：.AD±BC,

：.CD=BD,

'：AO=BO,

是△ABC的中位线，

：.OD//AC,

YDELAC,

：.DE±OD,

.•.QE是。。的切线，所以B选项正确；

当。E是。。的切线时，如图：连接AD,

：DE是。。的切线,

：.DE±OD,

'JDELAC,

：.OD//AC,

.•.O£>是AABC的中位线，

J.CD//BD,

是。。的直径，

：.AD±BC,

：.AD是线段BC的垂直平分线，

：.AB=AC,所以。选项正确；

当C£>=8£>时，又40=2。，

是AABC的中位线，

J.0D//AC,

；DELAC,

：.DE±OD,

...DE是。。的切线，所以C选项正确.

若DE=D0,没有理由证明DE是。。的切线，所以A选项错误.

故选：A.

【点睛】

本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键.

12.如图，是。。的直径，出与相切于点A,5C〃OP交C。于点C若N3=70。，则/QPC的

度数为（）

C.30°D.40°

【答案】B

【分析】

连接。C,证明△B4。丝△尸C。（SAS）,得到/OCP=90。，进而求得NQPC.

【详解】

如图，连接0C,

因为OB=OC,

所以/OCB=Z0BC=7。。,

所以ZBOC=180o-70°-70o=40°,

又因为50/OP,

所以/AOP=/8=70。，

...ZPOC=180°-ZAOP-ZBOC=10°,

所以在△用。和△PC。中，

AO=CO

<ZAOP=ZCOP,

OP=OP

所以ARIO咨APCO（SA5）,

所以/OCP=/OAP

因为B4与（。相切于点A,

所以NOCP=N04尸=90。，

所以/OPC=1800-ZPOC-ZOCP=20°,

故选：B.

【点睛】

本题考查了圆的切线、证明全等三角形和平行线等知识内容，灵活运用条件，学会选择辅助线是解题的关

键.

13.如图，已知。。上三点A、B、C,连接A3、AC.OB、OC,切线交OC的延长线于点。,

NA=25°,则ND的度数为（）

A

30°C.40°D.50°

【答案】C

【分析】

根据圆心角等于同弧所对圆周角的2倍求得NBOC=2NA=50°,再利用切线的性质定理求得

"80=90°，即可求出/£）的度数.

【详解】

解：VZA=25°,

：.ZBOC=2ZA=50°,

：瓦）是.。的切线,

ZDBO=90°,

：.ND=90°-/DOB=40°,

故选：C.

【点睛】

此题考查圆周角定理，切线的性质定理，利用直角三角形两锐角互余的计算，熟练掌握圆周角定理及圆的

切线的性质定理是解题的关键.

14.如图，AB为。的直径，直线E尸与。相切于点。，直线AC交所于点H、交于点C,连

接AD、OD,则下列结论错误的是（）

OB

A.若AH7/0。，则AD平分NH4H；B.若AD平分NH4H,则AHLEF；

C.若AHLEF，则AD平分NfiAH；D.若DH?=CHAH，则AH_L砂.

【答案】D

【分析】

根据平行线的判定和性质，切线的性质以及角平分线的定义分别分析即可判断.

【详解】

解：A、'：AH//OD,ODLHF,

：.ZCAD=ZADO,

"：AO=OD,

ZHAD=ZDAO=ZADO,

.•.AD平分NBAH,故正确，不合题意；

B、：A£>平分N84H,

ZHAD=ZDAO,

'：AO=DO,

：.ZDAO-ZADO,

：.ZADO=ZHAD,

：.AH//OD,

'JODLHF,

：.HALHF,故正确，不合题意；

C、'：AHLEF,ODLEH,

J.AH//OD,

由A得：A。平分NBH4,故正确，不合题意；

D、由。A?无法证明AXLER故错误，符合题意；

故选D.

【点睛】

本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练运用切线的性质.

15.如图，ABC中，ZA=60°,BC=6,它的周长为16,若圆。与BC,AC,AB三边分别切于E,F,

。点，则。尸的长为（

A.2B.3C.4D.6

【答案】A

【分析】

根据切线长定理求出BE=BD,CE=CF,得出等边三角形推出止=AD=A",根据BC=6,

求出8O+CF=6,求出AO+AF=4,即可求出答案.

【详解】

解：：。0与BC,AC,AB三边分别切于E,F,。点，

：.AD=AF,BE=BD,CE=CF,

'：BC=BE+CE=6,

：.BD+CF=6,

'：AD=AF,ZA=60°,

△AD厂是等边三角形，

：.AD=AF=DF,

"：AB+AC+BC=16,BC=6,

：.AB+AC=10,

'：BD+CF=6,

：.AD+AF=4,

"：AD=AF=DF,

1,一

：.DF=AF=AD=-x4=2,

2

故选：A.

【点睛】

本题考查了对切线长定理的应用，关键是求出AD+AB的值,主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力,

题目比较好，难度也适中.

16.如图，为：0的直径,C为圆上一点，过点C的切线与直径AB的延长线交于点。，若ZADC=20°,

则N54C的度数为（）

A.45°B.40°C.35°D.30°

【答案】C

【分析】

连接。c,根据切线的性质得到OCUCD,进而求出/COO=70。，即可求出/氏4C=LZBOC=35°.

2

【详解】

解：如图，连接OC,

,:CD为C。的切线，

OCLCD,

：.NCOD=90°-NO=70°,

OA=OC,

：.ZBAC=-ZBOC=35°.

2

故选：C

【点睛】

本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，根据题意添加辅助线构造直角三

角形和等腰三角形是解题关键.

17.如图，已知。C的半径为3,圆外一点。满足OC=5,点尸为。C上一动点，经过点。的直线/上有两

点A、B,且。4=。8,ZAPB=90°,/不经过点C,则48的最小值（）

•c

I

AOB

A.2B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】

连接。尸，PC,0C,根据。尸+PQOC,求出。尸的最小值，根据直角三角形的性质得到48=2。尸，计算得

到答案.

【详解】

解:连接。P,PC,0C,

'：0P>0C-PC=2,

.••当点。，P,C三点共线时，。尸最小，最小值为2,

'：OA=OB,ZAPB=90°,

：.AB=2OP,

当O,P,C三点共线时，AB有最小值为20P=4,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了几何问题的最值，掌握三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边，得到点O,P,

点共线时，0P最短是解题的关键.

18.如图，点。为4.ABC的内心，ZA=60°,OB=2,0C=4,贝LO5C的面积是（）

A

A.4布B.2GC.2D.4

【答案】B

【分析】

过点C作于点H.由点。为△ABC的内心，ZA=60°,得NBOC=120。，则/COH=60。，由0C

=4,得8=26,B0=2,于是求出AOBC的面积.

【详解】

解：过点C作C”，B。于点

•.•点。为△ABC的内心，ZA=60°,

AZBOC=180°-ZOBC-ZOCB=9Q°+-ZA=90°+-x60°=120°,

22

则NCO”=60。，ZOCH=30°

VCO=4,

OH=2

：.CH=2y/3,BO=2,

/\OBC的面积为万BO,CH=-x2x2-^3=2>

故选：B.

A

【点睛】

本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30。角的直角三角形的性质是解题的关键.

19.如图，Q4是IO的切线，切点为A,PO的延长线交（。于点C,点。为AC上的动点，若NP=40°,

则NCQA等于（）

A.115°B.110°C.105°D.100°

【答案】A

【分析】

在优弧AC上任取一点。（不与4、C重合），连接CDAD,如图所示，由B4为圆。的切线，利用切线的

性质得到OA与AP垂直，在△4PO中，根据三角形的内角和求出NAOP的度数，再利用同弧所对的圆周角

等于所对圆心角的一半求出/AOC的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可求出NAQC的度数.

【详解】

解：在优弧AC上任取一点O（不与A、C重合）,

连接CD,AD,如图所示:

是。。的切线，

：.OA±AP,

：.Z0AP=9Q°,又/尸=40°,

ZAOP=180°-Z.OAP-/尸=50°,

ZAOC=130°

:圆周角/ADC与圆心角NAOC都对AC,

1

ZADC=一NAOC=65°,

2

又四边形AQCD为圆内接四边形，

ZADC+ZAQC=ISO°,

：.ZAQC=115°.

故选：A.

【点睛】

此题考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，以及四边形的内角和，熟练掌握切线的性质

是解本题的关键.

20.如图，,MB是。。的切线，切点为A、3,点。为优弧AB上一点，且OC//MB,若ZAMO=25°.则

NOC4等于（）

A.100°B.15°C.20°D.25°

【答案】C

【分析】

如图（见解析），先根据切线长定理可得ZBMO=ZAMO=25。,再根据平行线的性质可得ZDOM=25°,

然后根据圆的切线的性质可得。4,AM,从而可得NAQ0=65°,ZAOD=40°,最后根据圆周角定理

即可得.

【详解】

解：如图，延长。3交（。于点。，连接OA,

B

c,

是O。的切线，ZAMO=25°,

ZBMO=ZAMO=25°,OA±AM,

OCUMB,

ZDOM=ZBMO=25°,

又•.ZAMO=25°,OA±AM,

ZAOM=90°-ZAMO=65°,

ZAOD=ZAOM-ZDOM=40°,

则由圆周角定理得：ZOCA=-ZAOD=2Q°,

2

故选：c.

【点睛】

本题考查了切线长定理、圆的切线的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键.

21.如图，E4和m是。的两条切线，A,3为切点，点。在AB上，点E，尸分别在线段E4和PB

则NEL方的度数为（）

C.900--«D.2a

22

【答案】C

【分析】

根据切线长定理得到以=必，即可得△4。£0/^8口》,再利用等腰三角形的性质、三角形的内角和定理

即可求解.

【详解】

解：：24和依是1。的两条切线，A，3为切点，

；•PA=PB，

：.ZPAB=ZPBA=90°--a,

2

VAD=BF,BD=AE>

：.△ADE沿ABFD,

；•ZADE=ZBFD,

ZEDF=180°-ZADE-ZBDF=180°-ZBFD-ZBDF=ZPBA=9Q°--a,

2

故选：C.

【点睛】

本题考查切线长定理、全等三角形的判定与性质等内容，掌握切线长定理是解题的关键.

22.已知；。2，。3是等圆，AA3P内接于a，点c,E分别在。2，。3上・如图，①以C

为圆心，"长为半径作弧交（R于点。，连接CD；②以E为圆心,BP长为半径作弧交。3于点F,

连接石尸；下面有四个结论：①CD+EF=AB；②CD+EF=AB；③ZCO2D+ZEO.F=ZAO.B；

@ZCDO2+ZEFO3^ZP,所有正确结论的个数是（）

0P）___DO£（

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】c

【分析】

根据圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理即可得到结论.

【详解】

解:由题意得，AP=CD,BP=EF,

"：AP+BP>AB,

：.CD+EF>AB；故①错误；

。2，Q是等圆,

ox,

•>-AP=CD,BP=EF，

;AP+BP=AB'

CD+EF^AB-故②正确；

ZCO2D=,NEO3F=ZBO.P,

NAO]P+NBOF=ZAO.P,

ZCO2D+NEO3F=ZAO{B;故③正确；

•/ZCDO2=NAPO1,ZBPOl=NEFO3,

•：NP=ZAPO,+ZBPOl,

/CD。2+NEFO3=ZP,故④正确；

正确结论的序号是②③④，

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握圆心角、弧、弦的关

系是解题的关键.

23.如图，ABC中，ZA=50°,。截，A6c的三条边所截得弦长相等，则N3OC=().

A.110°B.115°C.120°D.125°

【答案】B

【分析】

先利用0O截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即。是△ABC的内心，从而，Z1=Z2,Z3=Z4,进

一步求出N80C的度数.

【详解】

解：如图,

,/AABC中ZA=50°,。。截△ABC的三条边所得的弦长相等，

二。到三角形三条边的距离相等，即。是△ABC的内心，

/.Z1=Z2,N3=N4,Zl+Z3=—(180°-NA)(180°-50°)=65°,

22

AZBOC-1800-(Z1+Z3)=180o-65°=115°.

故选：B.

【点睛】

本题考查的是三角形的内心，及三角形内角和定理，掌握三角形内心的性质是解答此题的关键.

24.如图，。。的半径为2,弦4B平移得到CO（4B与CD位于点。两侧），且C£＞与。。相切于点E.若

AB的度数为120°,则AD的长为（）

A.4B.275C.721D.373

【答案】C

【分析】

连接OE,OE的反向延长线交AB于尸，连接OB,BD,由切线的性质得EELCO,则得AF

1LL

=BF,求出。尸=万04=1,则£尸=3,再由勾股定理得4尸=在，贝|JAB=26，求出2。=£尸=3,再

由勾股定理求出A。即可.

【详解】

解：〈AB的度数为120。，

・•・NAOB=120。，

连接OE,OE的反向延长线交A5于忆连接OA,OB,如图,

•「CO与。。相切于点

：.EFLCD,

由平移的性质得：CD//AB,CD=ABf

：.EF±ABf

9：OA=OB,

：.ZAOF=ZBOF=—NAOB=60。，AF=BF=-AB^DE

22f

：.ZOAF=30°,四边形3。石尸是矩形，

：.OF^—OA=-x2=l,BD=EF,

22

二•E/=2+1=3,

：.BD=3,

在放△AO尸中，OA=2,OF=1,

■,-AF=-OF2=V22-I2=V3，

'-AD=7AB2+BD2=7（2A/3）2+32=V21，

故选：C.

【点睛】

本题考查了勾股定理，矩形判定和性质，切线等知识点，构造出矩形是解题关键.

25.如图，在。中，。是［。外一点，QAQ5与c。相切于A,B两点，C,£＞是oO上两点，若NQ=110,

则NB+ND=()

A.210°B.215°C.220°D.225°

【答案】B

【分析】

连接AB,根据圆内接四边形性质和切线长定理求出ZABC+"和ZABQ的度数即可.

【详解】

解:连接

•.•QAQ5与。相切于A,3两点，

QA—QP,

・・・/。=110,

・・.ZAB2=Z2AB=35°,

•・・是（。上两点，

:.ZABC+ZM80°，

：.ZQBC+=180。+35。=215。；

【点睛】

本题考查了切线长定理、圆内接四边形性质、等腰三角形性质，解题关键是恰当连接辅助线，构造等腰三

角形和圆内接四边形.

26.如图，在昭A4BC中，ZC=90°,AC=12,8c=9,点。是4?的三等分点，半圆。与AC相切，M,

N分别是BC与半圆弧上的动点，则的最大值与最小值之差是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】

设。。与AC相切于点D,连接OD,过点。作0PL2C垂足为尸交。。于凡此时垂线段。尸最短，MN

最小值为OP-0^=5,当N在A8边上时，M与B重合时，MN最大值=13,则可得出答案.

【详解】

解：如图，设。。与AC相切于点。，连接0D,过点。作。尸，BC垂足为尸交。。于尸，

此时垂线段。尸最短，尸尸最小值为OP-0F,

VAC=12,BC=9,

；•48=1AC?+BC?=V122+92=15,

VZOPB=90°,

J.0P//AC,

OPBs.ACB,

OPOB_2

,AC-AB-i5

:点。是AB的三等分点,

OB=—xl5=10,,

3

：.OP=8,

:。。与AC相切于点。，

：.ODLAC,

J.OD//BC,

：.AOD^ABC,

.OD_OA1

.•.00=3,

最小值为OP-OF=8-3=5,

如图，当N在AB边上时，M与8重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，

MN最大值=OB+OE=10+3=13,

长的最大值与最小值的差是13-5=8.

故选：D.

【点睛】

本题考查切线的性质、三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确找到点MN

取得最大值、最小值时的位置.

27.如图，AB为。的直径，直线AC与：。相切于点A,点E为半圆弧A3的中点，连接0c交，。

于点。，连接ED.若NC4D=20。，则/EDO的度数为()

A.20°B.25°C.30°D.35°

【答案】B

【分析】

连接OE,先利用切线的性质得到ZOAD=9Q°-ZCAD=70°,再在"0。中，利用等腰三角形的性质

求NOZM=NQ4£>=70°,再利用三角形的内角和求NAOD=40°.根据题意求出NEQ4=90°,则可得

AEOD=ZEOA+ZAOD=130°,在△EOD中，利用等腰三角形的性质即可得到答案.

【详解】

解：连接OE.

•••直线4。与〈。相切于点A,ZC4D=20°

ZOAD=90°-ZCAD=90°-20°=70°

AO=OD

：.ZODA=ZOAD=70°

：.ZAOD=180°-ZODA-ZOAD=180°-70°-70°=40°

：AB为（O的直径，点E为半圆弧AB的中点，

ZEOA=90°

ZEOD=ZEOA+ZAOD=90°+40°=130°

,/OD=OE

：./EDO=1（1800-NEOD）=1（180°-Z130°）=25°

故选B.

【点睛】

本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，掌握切线的性质找到角与角之间的关系

是解答此题的关键.

28.如图，已知点。为勾股形ABC（我国古代数学家刘徽称直角三角形为勾股形）的内心，其中NA为直

角，点。、E、产分别在边A3、BC、AC上，ZADO=ZAFO=ZBEO=90°,若BD=4,CF=6,

则正方形AOO尸的面积是（）

A

D.

BEC

A.2B.4C.3D.16

【答案】B

【分析】

先根据已知条件证明ABDO和LBEO全等，_CEO和△CW全等，然后设正方形ADOF的边长为工,

在中，利用勾股定理建立关于了的方程，解方程即可.

【详解】

Z.BDO=ZBEO=90°,ZABO=ZCBO,

BO是ABDO和LBEO的公共边，

•••RtABDO=RtABEO,

同理可得，Rt^CEO^RtACFO,

：,BE=BD=4,CE=CF=6,

由题意得，四边形ADO尸为正方形，

设AD=x,

BC=BE+CE=BD+CF=13

在H/LABC中，AC2+AB2=BC2,

即（X+6>+（X+4）2=102,

解得：%=2或%=—12（舍去），

正方形AOOF的面积是4,

故选：B.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、一元二次方程的解法、勾股定理、三角形的内心等

知识，熟练掌握正方形的性质，根据勾股定理列出方程式是解答本题的关键.

29.如图，A5是。。的直径，AB=AC,ABAC=45°,。交5c于点。，交AC于点E，DF与I。

相切于点。，交AC于点尸，0。与防相交于点下列结论错误的是（）

E

F

------Fc

A.BD=CDB.BH=DFC.AE=2DED.BC=2CE

【答案】D

【分析】

证明OD〃AC,利用三角形中位线性质可对A选项进行判断；再证明ODL5E,利用垂径定理得到

BH=EH,根据切线的性质得8,DE,易得四边形为矩形，所以DF=HE,于是可对B选

项进行判断；证明AE=5石，则A£=8E，根据垂径定理得到§£)=，所以AE=2£)E，则可对C

选项进行判断；连接OE,如图，计算出NA6C=NACB=67.5。，则根据圆内接四边形的性质得到

ZEDC=ZA=45°,ZDEC=ZABC=675。,所以CD>CE,则3C>2CE,则可对。选项进行判

断.

【详解】

解：：AB=AC,

：.ZABC^ZACB,

,/OB=OD,

：.ZOBD=ZODB,

：.ZODB^ZACB,

：.OD//AC,

而OA=OB,

：.BD=CD,所以A选项的结论正确；

AB为直径，

ZAEB^90°,

'：ODUAC,

ODLBE,

BH=EH,

少为切线，

，ODLDF,

，四边形所为矩形，

:・DF=HE,

；.BH=DF,所以B选项的结论正确；

VZA=45°,ZAEB=90°,

AE=BE，

•>,AE=BE'

,/ODLBE,

BD=ED'

，AE=2£)E，所以C选项的结论正确；

连接OE,如图，

•/ZABC=ZACB=1(180°-ZA)=|(180°-ZA)=1(180°-45°)=67.5°,

AZEDC=ZA=45°,ZDEC=ZABC=61.5°,

：.CD>CE,

2CD>2CE,

即5c>2CE,所以。选项的结论错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查了垂径定理、圆周角定理、切线的性质、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质，解题关键是熟

练综合运用所学知识，准确进行推理证明.

30.如图，在已知的AABC中，按以下步骤：(1)分别以8、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧

2

相交M、N；(2)作直线MN,交AB于连接CD若CD=AD,48=25。，则下列结论中错误的是()

A.直线A/N是线段8C的垂直平分线

B.点。为△ABC的外心

C.ZACB=90°

D.点。为△ABC的内心

【答案】D

【分析】

根据垂直平分线的性质和三角形外接圆、圆周角性质判断即可.

【详解】

解:由作图可知，垂直平分线段BC,

：.DC=DB,

'：DC^DA,

：.DC=DB=DA,

...点。是小ACB的外心，AB是直径，

ZACB=90°,

故选项A,B,C正确，

答案：D.

【点睛】

本题考查了垂直平分线的性质和三角形的外接圆、圆周角性质，解题关键是熟练掌握相关性质，准确进行

推理判断.

二、填空题

31.如图，在「ABCD中，AD=12,以为直径的。与BC相切于点E,连接。C.若=

则,ABCD的周长为

【答案】24+6石

【分析】

连接0E,作AfUBC于凡先证明cAOEE为矩形，进而证明RSABFgRtAOCE,得到BF=CE=3,利

用勾股定理求出OC=3指，即可求出「A8CD的周长.

【详解】

解：如图，连接OE,作A八LBC于尸，

；BE为::。的切线，

ZOEC=ZOEB=9Q°,

\'AD//BC,

J.AF//OE,

：.四边形AFEO为平行四边形，

ZOEF=90°,

,AOEE为矩形，

：.AF=OE,EF=AO=-AD=6,

2

四边形ABCD为平行四边形，

：.AB=CD,BC=AD=12,

\'AB=OC

RtAABF=Rt^OCE,

：.BF=CE=3,

,?OE=OA=6f

在RtAOCE中，oc=VOE2+CE2=3A/5，

:.AB=CD=OC=3后，

ABCD的周长为为（12+36）义2=24+6际.

故答案为：24+6J?

【点睛】

本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，全等三角形判定与性质，勾股定理，平行四边形等知识，熟知

相关定理，并根据题意添加辅助线是解题关键.

32.如图，P是:。外一点，PB、PC是「0的两条切线，切点分别为3、C,若NP为38。，点A在

【分析】

连接。以0C,根据切线的性质求出=142。，再根据点A的位置利用圆周角定理及圆内接四边形的

性质分类求值.

【详解】

解：如图，连接OC,

•；PB、PC是，。的两条切线，切点分别为3、C,

/OBP=NOCP=90。,

,/NP=38°,

ZBOC=142°

①当点A在优弧BC上时，ZBAC=-ZBOC=11°,

2

②当点A在劣弧BC上时，点A、B、D、C四点共圆，

ZBDC+ZBAC=180°,

VZBDC=-ZBOC=71°,

2

：.ZBAC=109°

故答案为:71或109.

【点睛】

此题考查圆的切线的性质定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题中根据点A的位置运用分类讨论

是解题思想.

33.如图，。与的边AB相切，切点为5.将OA5绕点3按顺时针方向旋转得到△O'AB',使

点O'落在。上，边A3交线段AO于点C.若NA'=25°,则/OCB=度.

【答案】85

【分析】

连结。。'，先证△800,为等边三角形，求出乙4。8=/080=60。，由:。与,Q43的边AB相切，可求

NC8O==30。，利用三角形内角和公式即可求解.

【详解】

解：连结00,

V将OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△