人教版八年级数学下册试题 第18章平行四边形章节测试卷（含详解）

第18章《平行四边形》章节测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学科代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形教具边长为10 cm,∠D′=45°A．100 cm2 B．50 cm22．如图，等边△ABC中，D是AC边上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，若BC=5，BD=4，则△ADE的周长是（

）A．9 B．5 C．7 D．43．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC上任意一点，先给出下列四个条件：①AE=CF，②∠AEB=∠DFC，③BE=DF，④BE∥DF．以上条件中不能判定四边形BEDF是平行四边形的条件是（

）A．① B．② C．③ D．④4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么a−b的值为（

）A．−3 B．−1 C．3 D．15．如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为10和24，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（

）A．13 B．10 C．24 D．126．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OC，OD上的两点，且BE=CF，过点F作FG⊥FC交AB点G，若∠EBC=α，则∠AFG用含α的式子表示为（

）A．2α B．45°−α C．90°−2α D．22.5°+α7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点C坐标为4,0，顶点D坐标为6,10，对角线BD经过坐标原点O，边AB与x轴交于点E，对E点坐标为（

）A．−2,0 B．−43,0 C．−8．如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=1，AB=3，将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△ADE，G为EC的中点．则DG的长是（

）A．1 B．2 C．3 D．39．如图，在矩形ABCD中，AB>BC，BC=2，分别以点A，点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN交AD和CB的延长线于点E，F，连接AF，CE．若AB平分A．12 B．63 C．16 D．10．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折叠DE分别交AB，AC于E，G，连接GF，下列结论：①∠FGD=112.5°②BE=2OG③S△AGD=S△OGD④四边形A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．平面直角坐标系中，A−1,0，B3,0，C0,2，D为平面内一点.若A、B、C、D四点恰好构成一个平行四边形，则平面内符合条件的点D12．如图，E是▱ABCD的边AB上的点，Q是CE中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD=3cm213．如图，在矩形ABCD中，AD=1，AB=2，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为．14．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交线段BC于点E，交线段DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作▱ECFG，若∠ABC=120°，则∠BDG=．

15．如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,P,Q分别是边AD,BC上的动点，点P从A出发到D停止运动，点Q从C出发到B停止运动，若P,Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中，①存在四边形APCQ是矩形；②存在四边形APCQ是菱形；③存在四边形APQB是矩形；④存在四边形APQB是正方形．所有正确结论的序号是．

16．点A坐标为−4,4，点B(0,m)在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△ABC，其中∠BAC=90°．直线AC与x轴交于Cn,0，当B点的运动过程中，m+n的值为

三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D在BC上，∠B=70°．(1)求∠CDE的大小；(2)若∠C=30°，AC与DE交于点O，求证：OE=DC．18．（6分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．(1)在图①中以AB为边画一个面积为2的平行四边形ABCD．(2)在图②中以AB为边画一个面积为3的平行四边形ABEF（菱形除外）．(3)在图③中以AB为边画一个面积为5的平行四边形ABMN（正方形除外）．19．（8分）在等边△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，满足DE=EF，且∠DEF=60°．作点E关于AC的对称点(1)当点D，E，F在如图1所示的位置时，请在图1中补全图形，并证明四边形DBCG是平行四边形；(2)如图2，当AD<BD，∠BDE=15°时，写出线段AB和DE的数量关系，并说明理由．20．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在AB、AD上，AE=AF，连接EF，且AC⊥EF．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)连接OE，若点E是AB的中点，OE=5，OA=1221．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AG为△ABC的外角∠BAE的平分线，BF⊥AG，垂足为F，点D为BC上一点，连接DF，交AB于点O．

(1)在不添加新的线的前提下，请增加一个条件：______，使得四边形AFBD为矩形，并说明理由；(2)若四边形AFBD为矩形，请用尺规作图的方法作一个菱形ABPC，使BC为菱形的一条对角线．（保留作图痕迹，不写作法）22．（8分）操作与探究：如图1，在锐角∠MON的边OM、ON上分别取点A、C，使OA=OC，在OC上取点B，作▱ABCD，连接AC、BD交于点P，作射线OP．(1)求证：OP平分∠MON．(2)移动点B使∠BPC=∠MON，求证：▱ABCD是矩形．(3)如图3，在（2）的条件下，去OA中点Q连接QB，将∠BPC绕点P逆时针旋转适当的角度，得到∠EPF（点E、F分别是∠EPF的两边与QB的延长线、ON的交点）．猜想线段PE与PF之间的数量关系，并证明你的结论．23．（8分）综合与实践【主题】多边形的稳定性【素材】平行四边形连杆式是常见的机械部件，当连杆移动时，两对边始终保持平行，能方便地进行往返运动，这一设计源于平行四边形证明的性质．【实践探索】1如图1，这是某同学推荐的一幅实例设计图，你认为合理吗？请说明你的理由．2如图2，一个正方形教具，使其发生形变（如图），若正方形教具边长为10cm，∠【拓展应用】3如图3，一张多档位可调节靠椅，其档位调节示意图如图4所示，已知两支脚AB=AC=0.7米，BC=0.84米，O为AC上固定连接点，靠背OD=0.7米，档位为Ⅰ档时，OD∥AB，档位为Ⅱ档时，OD'⊥AC参考答案一．选择题1．C【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，三角形的稳定性，多边形，过点A′作A′H⊥BC于H，由题意得四边形A′BC【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=10cm∴AB=BC=CD=AD=10cm由题意知A′∴四边形A′∴∠A过点A′作A′H⊥BC∴∠A∴∠A∴A′∵A′∴A′∴菱形A′BCD故选：C．2．A【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定；找出旋转角推出△BDE是等边三角形是解题关键．根据旋转的性质得△BDE是等边三角形；得DE=BD=4，即可求△ADE的周长．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=5，由旋转知，AE=DC，BE=BD，∴△BDE是等边三角形，∴DE=BD=4，∴△ADE的周长为：AE＋故选：A．3．C【分析】本题考查了平行四边形的性质定理和判定定理，以及全等三角形的判定及性质；熟记平行四边形的判定方法是解决问题的关键．【详解】解：在▱ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，AD∥CB，若AE=CF，则DE=BF，△ABE≌△CDF，∴BE=DF，∴四边形BEDF是平行四边形，故①不符合题意；若∠AEB=∠DFC，则△ABE≌△CDF，∴BE=DF，AE=CF，则DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形，故②不符合题意；若BE∥DF，∵AD∥CB，∴四边形BEDF是平行四边形，故④不符合题意；若BE=DF，不能判定四边形BEDF是平行四边形，故③符合题意；故选：C．4．D【分析】本题考查代数式求值，涉及矩形性质、中点坐标公式等知识，熟练掌握矩形性质及中点坐标公式是解决问题的关键．由矩形的对角线交于一点，且对角线相互平分，从而由中点坐标公式求出对角线交点O的坐标，列方程求解即可得到a,b的值，代入代数式求解即可得到答案．【详解】解：如图所示：由中点坐标公式可知AC中点O的坐标为9+a2,13+2BD中点O的坐标为15+52,5+b∴a+9=20解得a=11b=10∴a−b=11−10=1，故选：D．5．A【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时PM+PN的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．【详解】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时PM+PN的值最小，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，∵四边形ABCD是菱形，∴CP=1在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=即NQ=13，∴MP+NP=QP+NP=QN=13，故选：A．6．A【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形可得AC与BD互相垂直平分，即可证明△BOE≌△COF，得到∠OBE=∠OCF=45°−α，∠BEO=∠CFO=45°+α，进而得到∠AFO=∠CFO=45°+α，再根据垂直求出∠DFB，最后根据∠AFG=∠AFO−∠DFB求解即可．【详解】解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴OA=OC=OB，∠OBC=∠OCB=45°，∠AOF=∠COF=∠BOE=90°，∵OF=OF，∴△AOF≌△COFSAS∴∠AFO=∠CFO，∵BE=CF，∴Rt△BOE≌∴∠OBE=∠OCF，∠BEO=∠CFO，∵∠EBC=α，∴∠OBE=∠OCF=45°−α，∠BEO=∠CFO=45°+α，∴∠AFO=∠CFO=45°+α，∵FG⊥FC，∴∠GFC=90°∴∠DFB=90°−∠OFC=90°−45°+α∴∠AFG=∠AFO−∠DFB=45°+α−45°−α故选：A．7．B【分析】此题考查了平行四边形的性质、一次函数的图象和性质等知识，过点D作DM⊥x轴于点M，过点B作BF⊥x轴于点F，求出点B的横坐标为−2，设点A的坐标为0,n，其中n>0，求出点B的坐标为−2,n−10，再求出直线AB的解析式为y=5x+n，得到点E的坐标为−n5,0，根据S△ABD=S△BCD【详解】解：过点D作DM⊥x轴于点M，过点B作BF⊥x轴于点F，如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AD∥BC，设点B的横坐标为m，∵顶点C坐标为4,0，顶点D坐标为6,10，顶点A在y轴正半轴上，∴m+62=0+42∴m=−2即点B的横坐标为−2，设点A的坐标为0,n，其中n>0∵点A到点B的平移方式和点D到点C的平移方式相同，即为向下平移10个单位，向左边平移2个单位，∴点B的纵坐标为n−10，∴点B的坐标为−2,n−10，设直线AB的解析式为y=kx+b−2k+b=n−10解得k=5b=n∴直线AB的解析式为y=5x+n当y=0时，0=5x+n，解得x=−n∴点E的坐标为−n∵S△ABD∴12∴1解得n=20∴−∴点E的坐标是−4故选：B8．B【分析】如图，过点C作CF⊥AD于点F，延长DG交CF于点M，根据旋转的性质得到∠BAD=90°,AD=AB=3,DE=BC=1，证明四边形ABCF是矩形，得到CF=AB=3,AF=BC=1，进而求出DF=2，根据G为EC的中点，证明△DEG≌△MCGASA，推出CM=DE=2,DG=GM，求出FM=2，利用勾股定理求出DM=2【详解】解：如图，过点C作CF⊥AD于点F，延长DG交CF于点M，由旋转的性质得：∠BAD=90°,AD=AB=3,DE=BC=1，∵CF⊥AD，∴∠CFA=∠B=∠BAD=90°，∴四边形ABCF是矩形，∴CF=AB=3,AF=BC=1，∴DF=AD−AF=2，∵点G为EC的中点，∴EG=CG，∵∠ADE=∠B=90°，∴∠ADE=∠BAD，∴DE∥∵AB∥∴DE∥∴∠DEC=∠ECM，∵∠EGD=∠CGM，∴△DEG≌△MCGASA∴CM=DE=1,DG=GM，∴FM=CF−CM=2，在Rt△MDF中，DM=∴DG=GM=1故选：B．9．D【分析】本题考查了作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质，证明△AFC、△AEC为等边三角形，得到AF=CF=AC=CE=AE，从而推出四边形AFCE是菱形，求出CF、AB的长，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：由作法可得：EF垂直平分AC，∴FA=FC，EA=EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=∠D=90°，AD=BC=2，∵AB平分∠FAC，∴∠FAB=∠CAB，∵∠AFB+∠FAB=90°，∠ACB+∠CAB=90°，∴∠AFB=∠ACB，∴AF=AC=CF，∴△AFC为等边三角形，同理可得：△AEC是等边三角形，∴AF=CF=AC=CE=AE，∴四边形AFCE是菱形，∵BF=BC=2，AB=3∴CF=4，∴四边形AFCE的面积=4×23故选：D．10．C【分析】由四边形ABCD是正方形和折叠性质得出∠DAG=∠DFG=45°，∠ADG=∠FDG=12×45°=22.5°，再由三角形的内角和求出∠FGD=112.5°．故①正确；由四边形ABCD是正方形和折叠性质，判断出四边形AEFG是平行四边形，再由AE=EF，得出四边形AEFG是菱形．利用45°的直角三角形，由勾股定理得出GF=2OG，BE=2EF=2GF【详解】解：由四边形ABCD是正方形和折叠性质得出∠ADO=∠DAG=∠DFG=45°，∠ADG=∠FDG=1∴∠FGD=180°−∠DFG−∠FDG=180°−45°−22.5°=112.5°，故①正确；由四边形ABCD是正方形和折叠性质得出，∠DAG=∠DFG=45°，∠EAD=∠EFD=90°，AE=EF，∵∠ABF=45°，∴∠ABF=∠DFG，∴AB∥又∵∠BAC=∠BEF=45°，∴EF∥∴四边形AEFG是平行四边形，∵AE=EF，∴四边形AEFG是菱形．∵在Rt△GFO中，GF=2OG，在Rt∴BE=2OG，故②④正确．由四边形ABCD是正方形和折叠性质知，AD=FD，AG=FG，DG=DG，在△ADG和△FDG中，AD=FD∴△ADG≌△FDG∴S△AGD故③错误．综上可知，①②④正确．故选C．二．填空题11．2,−2或4,2或−4,2【分析】分三种情形画出图形即可解决问题．【详解】解：如图，

当AD∥BC，AC∥BD时，D点的坐标为2,−2；当AB∥CD，AC∥BD时，D点的坐标为4,2；当AB∥CD，AD∥BC时，D点的坐标为−4,2；综上所述，满足条件的点D的坐标为2,−2或4,2或−4,2，故答案为：2,−2或4,2或−4,2．12．17【分析】本题考查平行四边形，三角形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，连接EF，根据平行四边形的性质，则AB=CD，AB∥CD，根据点Q是CE的中点，则EQ=CQ，根据全等三角形的判定和性质，则△BEQ≌△FCQ，BE=CF，再根据平行四边形的判定和性质，则四边形BCFE是平行四边形，得到S△BEF=2S△BQC，再根据平行四边形的判定和性质，则四边形ADFE是平行四边形，【详解】解：连接EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BEC=∠FCE，∵点Q是CE的中点，∴EQ=CQ，在△BEQ和△FCQ中，∠BQE=∠FQCEQ=CQ∴△BEQ≌△FCQ，∴BE=CF，∵BE∥∴四边形BCFE是平行四边形，∴BQ=FQ，∴S△BEF∵AB=CD，BE=CF，∴AB−BE=CD−CF，∴AE=DF，∵AB∥CD，∴四边形ADFE是平行四边形，∴PA=PF，PE=PD，∴S△PEF∴阴影部分的面积为：S△BEF故答案为：17．13．2【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．过点C作CE⊥BD于点E，连接CM，证四边形PCQM是矩形，得PQ=CM，再由勾股定理得BD=5，由△BCD面积求得CE=255，当M运动到E位置时，CM=CE=255【详解】解：如图，连接CM，过点C作CE⊥BD于点E，∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，∴∠CPM=∠CQM=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，∴四边形PCQM是矩形，∴PQ=CM，∵BC=AD=1，∴BD=B∵S△BCD∴CE=2∵CM≥CE，∴当M运动到E位置时，CM=CE=255∴PQ的最小值为25故答案为：2514．60°【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，延长AB、FG交于H，连接HD，求证平行四边形AHFD为菱形，得出△ADH，△DHF为全等的等边三角形，证明△BHD≌【详解】解：延长AB、FG交于H，连接HD，

∵AD∥GF，AB∴四边形AHFD为平行四边形，∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD，∴∠DAF=12180°−120°=30°，∴△DAF为等腰三角形，∴AD=DF，∴平行四边形AHFD为菱形，∴△ADH≌△FDH，且均为等边三角形，∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°，∵AD∥∴∠CEF=∠DAF=∠DFA=30°，∴△CEF为等腰三角形，又∵四边形ECFG为平行四边形，∴FG=CE，CE=CF，CF=BH，∴BH=GF，在△BHD与△GFD中，DH=DF∠BHD=∠GDF∴△BHD≌∴∠BDH=∠GDF，∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°．故答案为：60°．15．①②③【分析】设P,Q两点速度为每秒1个单位长度，则AP=CQ=t，0≤t≤6，由题意可得四边形APCQ是平行四边形，再利用矩形，菱形，正方形的性质分别进行求解即可．【详解】解：设P,Q两点速度为每秒1个单位长度，则AP=CQ=t，0≤t≤6，∵四边形ABCD是矩形，AB=4,AD=6，∴AD∥BC，∠A=∠B=90°，BQ=6−t，∴四边形APCQ是平行四边形，当t=6时，点P与点D重合，点Q与点Q重合，此时四边形APCQ是矩形，故①正确；当四边形APCQ是菱形时，AP=AQ，则AQ=AB2即：当t=133时，四边形当四边形APQB是矩形时，AP=BQ，则t=6−t，解得t=3，即：当t=3时，四边形APQB是矩形，故③正确；当四边形APQB是正方形时，AP=BQ=AB，则AP=t=BQ=6−t，解得t=3，但此时AP=BQ=3≠AB，不符合题意，故④不正确，综上，正确的有①②③，故答案为：①②③．16．−8【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥y轴于点D，证明形ADOE是正方形，则AD=AE=OD=OE=4，∠DAE=90°，再证明△ADC≌△AEBASA，得到CD=BE，由B(0,m)和Cn,0得到OB=−m,OC=n，则CD=n+4，BE=−m−4，则n+4=−m−4，即可得到【详解】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥y轴于点D，∴∠ADO=∠AEO=∠DOE=90°，∴四边形ADOE是矩形，∵点A坐标为−4,4，∴OD=OE=4，∴四边形ADOE是正方形，∴AD=AE=OD=OE=4，∠DAE=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CAD+∠CAE=∠BAE+∠CAE=90°，∴∠CAD=∠BAE，又∵∠ADC=∠AEB=90°,AD=AE，∴△ADC≌△AEBASA∴CD=BE，∵点B(0,m)，点Cn,0∴OB=−m,OC=n，∴CD=n+4，BE=OB−OE=−m−4，∴n+4=−m−4，∴m+n=−8，故答案为：−8三．解答题17．（1）解：由旋转的性质可得AB=AD，∴∠ADB=∠B=70°，∴∠CDE=180°−∠ADB−∠ADE=40°；（2）证明：由旋转的性质可得AE=AC，由（1）得∠ADC=∠ADE+∠CDE=110°，∵∠C=30°，∴∠COD=180°−∠CDE−∠C=110°，∴∠AOE=∠COD=∠ADC，∴△ADC≌△AOEAAS∴OE=DC．18．（1）解：如图：平行四边形ABCD即为所求．（2）解：如图：平行四边形ABEF即为所求．（3）解：如图：平行四边形ABMN即为所求．19．（1）解：补图如下图1；

图1∵等边△ABC，∴∠B=∠ACB=60°，∴∠BDE+∠BED=120°=∠BED+∠CEF，即∠BDE=∠CEF，又∵DE=EF，∠B=∠ECF，∴△BDE≌△CEFAAS∴BD=CE，∵点E、G关于AC对称，∴CG=CE，∴BD=CG，∵∠B+∠BCG=∠B+∠ACB+∠ACE=180°，∴BD∥CG，∴四边形DBCG是平行四边形；（2）解：AB=2如图2，作点E关于AC的对称点G，连接CG，DG，

图2∴EF=FG，∠EFC=∠GFC，同理（1），四边形DBCG是平行四边形，∴DG=BC=AB，∵DE=EF，∠DEF=60°，∴△DEF是等边三角形，∴DE=DF=FG，∵∠BDE=15°，∴∠CEF=15°，∴∠EFC=180°−∠CEF−∠ACB=105°，∴∠DFG=360°−∠DFE−∠EFC−∠GFC由勾股定理得，DG=D∴AB=220．（1）证明：∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∵AC⊥EF，∴∠BAC=∠DAC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CAD=∠ACB，∴∠BAC=∠BCA，∴△ABC为等腰三角形，∴BA=BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD=12BD∴∠AOB=90°，∵E为AB的中点，∴OE=1∵OE=5，OA=∴AB=2OE=25，OB=2OA∵OA∴5OA∴OA=2（负值已经舍去），∴AC=2OA=4，BD=2OB=4OA=8，∴四边形ABCD的面积=1∴四边形ABCD的周长=4AB=85∴四边形ABCD的周长和面积分别是85和1621．（1）解：(1)添加：AD⊥BC(答案不唯一).理由：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠EAB=∠ABC+∠C，∵AG平分∠EAB，∴∠BAG=∠ABC，∴AG∥∵BF⊥AG，∴BF