2024-2025学年福建省漳州市十校联盟高二下学期期中质量检测联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省漳州市十校联盟高二下学期期中质量检测联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a=(k−1,k,−2)，b=(3,2,1)，且a⊥b，则A.4 B.42 C.5 2.如图，函数f(x)的图象是线段AB，求limΔx→0f(1+Δx)−f(1)2Δx的值为(

)

A.−32 B.−34 C.3.在四面体O−ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，OM=λMA，N是线段BC上靠近A.1 B.−37 C.3 4.厦门湾南岸漳州海岸线像一条珍珠项链，串联了一个个美丽的景点。现有甲，乙，丙三人从南炮台公园，卡达凯斯，镇海角，滨海火山口四个景点随机选择一个景点游玩，A=“三人选择的景点各不相同”，B=“三人至少有一人去了镇海角”，则P(A|B)= (

)A.1837 B.637 C.385.已知定义在R的函数f(x)的导数为f′(x)，f(−1)=1e，且对任意x的满足f(x)−f′(x)>ex，则不等式f(x)+xA.(−1,+∞) B.(−∞,−1) C.(−1e,+∞)6.在三棱锥S−ABC中，SA⊥底面ABC，SA=AC=2，BC=23，M是线段SA中点，∠CAB=120∘，则异面直线SC与BMA.π2 B.π3 C.π47.已知函数f(x)=x2+ax+1，g(x)=ex，若曲线y=f(x)与y=g(x)存在公切线，且公切线的斜率为e，则实数A.e±2 B.e+2 C.2±e D.2−e8.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，且AB=AC=BC=2，PA=23，三棱锥各顶点均在球O的表面上，则球心O到平面PBC的距离为(

)A.23 B.105 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设函数f(x)=x3−3xA.f(x)的极小值为−2 B.f(x)的对称中心为(1,0)

C.f(x)在区间[−3,3]上的最小值−2 D.f(x)在x=0处的切线方程为y=210.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之和为奇数”，事件B=“取出的球的数字之和为偶数”，事件C=“取出的球的数字之积为偶数”，则(

)A.事件A与C是互斥事件 B.P(A)=35

C.P(A|C)=34 D.事件11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是棱DD1A.CP在CB1上的投影向量为14CB1

B.若点E为该正方体外接球球面上的点，则有无数个点E，使得CE//面BDA1

C.过三点B，A1，P的截面面积为3102

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=12x2−3x−413.在空间直角坐标系中，已知A(1,1,1)，B(1,2,3)，C(2,3,4)，D(t,4,5)，则当t=

时，A，B，C，D四点共面。14.若x，y∈R，且满足ex+2y−2+ex−2y−2=x(e为自然对数的底数四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为30%、40%、30%。环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为0.02;是中午投放的条件下，违规混投的概率为0.03;是晚上投放的条件下，违规混投的概率为0.04。现随机抽查一袋垃圾，求：(1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率;(2)这袋垃圾存在违规混投的概率;(3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率。16.(本小题15分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=∠BAA1=∠CAA1=60°，AB=AC=AA1=1，M，N(1)试用a，b，c表示向量MN，并求MN的长;

(2)求异面直线MN，BC所成角的余弦值．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=x3−3ax，a∈R.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)∀x∈[1,2]时，不等式f(x)≥−20恒成立，求实数a18.(本小题17分)

如图，在三棱锥P−ABC中，PB=PC，D为BC的中点，E为PA上的动点，平面PAD⊥平面PBC(1)证明：AB=AC(2)若AB⊥AC，AB=2，PA=PD=1，线段PA上是否存在一点E，使得平面BEC与平面ABC的夹角的余弦值为255?若存在，求PE19.(本小题17分)已知函数f(x)=(1)求f(x)的极值;

(2)若a<−1，x1，x2为函数f(x)的两个零点，证明：x1+参考答案1.D

2.B

3.C

4.A

5.B

6.A

7.A

8.D

9.ABD

10.BC

11.ABD

12.(0,4)，(0,4]均可

13.3

14.4

15.解：设垃圾来自早、中、晚时段分别为事件A，B，C;垃圾违规混投为事件V，

由已知：P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(C)=0.3;

P(V|A)=0.02，P(V|B)=0.03，P(V|C)=0.04，

(1) P(BV)= P(B) P(V|B)= 0.4 ×0.03= 0.012，

即中午时段且违规混投的概率为0.012．

(2) P(V)= P(A)P(V|A)+ P(B)P(V|B)+ P(C)P(V|C)

= 0.3×0.02+ 0.4×0.03+ 0.3×0.04 = 0.006+ 0.012+ 0.012= 0.03，

即违规混投的概率为0.03．

(3)P(C|V)=P(VC)P(V)=P(C)P(V|C)P(V)=16.解：(1)由题意，可得MN=MA1+A1C1+C1N=23BA1+A1C1+13C1B1

=23(AA1−AB)+AC+13(AB−AC)=−13AB+23AC+23AA1，

又AB=a，AC=b，AA1=c，

∴MN=−13a17.解：因为f(x)=x3−3ax，

所以f′(x)=3x2−3a，

当a≤0时，f′(x)=3x2−3a≥0恒成立，

即f(x)在R上单调递增；

当a>0时，令f′(x)=3x2−3a=0，则x=±a，

令f′(x)>0，得x>a或x<−a，

令f′(x)<0，得−a<x<a，

∴f(x)在(a,+∞)，(−∞,−a)上单调递增，在(−a,a)上单调递减；

(2)∵∀x∈[1,2]，不等式f(x)≥−20恒成立，

∴x3−3ax≥−20恒成立，

∴3ax≤x3+20，18.解：(1)因为D为BC中点，PB=PC，所以BC⊥PD，

因为平面PAD⊥平面PBC，平面PAD∩平面PBC=PD，BC⊂平面PBC，

所以BC⊥平面PAD，

因为AD⊂平面PAD，所以BC⊥AD，

因为D为BC的中点，所以AB=AC．

(2)假设存在E满足条件．

取AD的中点M连接PM，因为PD=PA=1，所以PM⊥DA，

又因为BC⊥平面PAD，PM⊂PAD，所以PM⊥BC，

又AD∩BC=D，AD，BC⊂面ABC，

所以PM⊥面ABC，

如图，以D为坐标原点，DA，DB所在直线分别为x，y轴，过点D且与PM/​/平行的直线为z轴，

建立空间直角坐标系D−xyz:

则A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,−2,0)，P(22,0,22)，

则CB=(0,22,0)，PA=(22,0,−22)，

设PE=λPA(0≤λ≤1)，则PE=λPA=(22λ,0,−22λ)，

BE=BP+PE=(22(λ+1),−2,22(1−λ))，

设平面BEC的法向量为n1=(x,y,z)

由19.解：(1)因为函数f(x)的定义域为(a,+∞)，且f′(x)=1x−a+a，

若a≥0，则f′(x)>0，故函数f(x)在(a,+∞)上单调递增，

所以函数f(x)既没有极大值，也没有极小值；

若a<0，f′(x)=ax−a−1ax−a，当x