2024-2025学年重庆市大一名校联盟高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆市大一名校联盟高二下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若Cn2=CnA.48 B.108 C.114 D.1262.若limΔx→0f(1+Δx)−f(1)3Δx=3，则A.27 B.9 C.3 D.13.函数f(x)=x−xlnx的单调递增区间为(

)A.(−∞,1) B.(0,1) C.(0,e) D.(1,+∞)4.小明用3D打印机制作了一个底面各边边长均不相等的四棱锥模型，现将此模型的每一个面都涂上一种颜色，其中有公共边的两个面异色，现有5种颜色可供使用，则有(    )种不同的涂色方法A.320 B.360 C.420 D.4805.若函数f(x)=ex−12ax2A.(0,1) B.(0,e] C.[e,+∞) D.(e,+∞)6.某单位在5月1日——5月5日这5天假期期间，实行每日一人值班制度，以确保各项工作的日常运转与应急事务的及时处理。现计划从4名员工中每天派1名员工值班，则每位员工至少值一天班的概率是(

)A.1564 B.15128 C.241257.《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.设a，b，m(m>0)均为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(modm)，如8和14被3除得的余数都是2，则记8≡14(mod3).若a≡b(mod10)，且a=C200+CA.2021 B.2023 C.2025 D.20278.已知函数f(x)=alnx，不等式f(ax)≤ex在x∈(0,+∞)上恒成立，则实数aA.(0,1] B.(−∞,1] C.(0,e] D.(−∞,e]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知二项式(ax−1x)A.展开式中二项式系数之和为64

B.展开式中有理项的个数为3

C.若a=2，则展开式的常数项为60

D.若展开式中各项系数之和为64，则a=310.若函数y=ℎ(x)的图象上至少存在两个不同的点M，N，使得曲线y=ℎ(x)在这两点处的切线垂直，则称函数y=ℎ(x)为“类正交函数”.下列函数中为“类正交函数”的是(

)A.y=x2 B.y=ex C.11.已知函数f(x)=2x3−3xA.当a=1且x∈(0,π)时，f(sinx)<f(sin2x)

B.当b=0时，若f(x)有两个极值点，则a的取值范围是(−12,+∞)

C.若f(x)满足f(1−x)+f(x)=2，则a2+b2的最小值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设函数f(x)=e3x+a，若f′(0)=3，则a=

．13.已知函数y=x+lnx在点(1,1)处的切线与二次函数y=ax2+(a+2)x+1相切，则实数14.在如图所示的九宫格中填入数字和字母，已知三个字母A，B，C都填到九宫格中且不能在同一行同一列，其他每格只能从数字1，2，3中选择一个填入，有公共边的两个格数字不相同，则不同的填法种数为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)某中学为表彰在过去一学期在“德智体美劳”等方面表现突出且优异的同学，特设“为校争光奖”，获得该奖项的一共七名同学，其中3名男生与4名女生。为了纪录下这荣耀时刻，摄影师要求获奖同学进行排队拍照，排队按照下列不同的要求进行，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答．(1)全体站成一排，男生互不相邻;(2)若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端;(3)若排成一排照，其中甲不站最左面，乙不站最右面．16.(本小题15分)已知函数f(x)=(1)求f(x)在x=1处的切线方程;(2)若函数y=f(x)−a有3个不同的零点，求实数a的取值范围．17.(本小题15分)

礼嘉智慧公园旨在打造智能化体验示范区，将人工智能、大数据、物联网等现代信息技术与优美环境有机结合，从公园设施到衣食住行，多方面引领智慧新生活，让百姓切身感受科技的魅力。公园为了再次升级，拟将一块在半径为20米的半圆形绿化地扩建成一个新型文化广场(如图所示的阴影部分)，同时为了拥有更好地体验试将该广场分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中矩形ABCD区域是休闲健身区，以CD为底边的等腰三角形PCD区域是儿童活动区，P，C，D三点在圆弧上，AB中点恰好在圆心O.设∠COB=θ，新型文化广场的面积为S．

(1)求出新型文化广场的面积为S关于θ的函数解析式;(2)当角θ取何值时，新型文化广场的面积S最大?其最大面积是多少?18.(本小题17分)已知函数f(n,x)=(2(1)当m=2时，求f(5,x)的展开式中二项式系数最大的项;(2)若f(10,x)=a0+ ①求a1+2 ②求ai(0≤i≤10,i∈N)19.(本小题17分)定义运算：pqst(1)若a=1时，求f(x)的极值;(2)若a∈(0,1]，函数g(x)=x−1ln(3)设n∈N∗，证明：e1+参考答案1.C

2.B

3.B

4.C

5.D

6.A

7.A

8.C

9.AC

10.ACD

11.BCD

12.0

13.8

14.5184

15.解：(1)先将女生全排有A44种，

再从5个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有A53种，

由分步乘法原理共有A44A53=1440种排法；

(2)若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，

则采用插空法，将其余的5人排好，5人中间有4个空，

把甲乙当做一个整体插入，方法有A22⋅A55⋅A41=960种；

(3)分四类：

(a)当甲排在最右面，同时乙排在最左面：A55=120种16.解：(1)易知函数的定义域为(0,+∞)，

所以f′(x)=x−3+2x=x2−3x+2x=(x−1)(x−2)x，

则k=f′(1)=1−3+21=0，

当x=1时，f(1)=12−3=−52，即切点为(1,−52)

所以切线方程为y=−52；

(2)有题意知，转化为方程f(x)=a有3个不等的实根，

即函数y=f(x)与直线y=a图像上有3个不同的交点

令f′(x)>0，得x<1或x>2，令f′(x)<0，得1<x<2，

故函数f(x)在(0,1)和(2,+∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，

即f(x)在x=1时取得极大值f(1)=−52，f(x)在x=2时取得极小值f(2)=2ln2−4

当x→0+时，lnx→−∞，12x2−3x→0，即f(x)→−∞，

当x=417.解：(1)由已知得BC=20sinθ，OB=20cosθ，

等腰△PCD底边CD上的高为20−20sinθ，

所以S=2×20cosθ×20sinθ+12×40cosθ(20−20sinθ)

=800sinθcosθ+400(cosθ−cosθsinθ)

=400(2sinθcosθ+cosθ−sinθcosθ)

=400(sinθcosθ+cosθ)，

所以S=400(sinθcosθ+cosθ),(0<θ<π2)；

(2)设f(θ)=sinθcosθ+cosθ，

则f′(θ)=cos2θ−sin2θ−sinθ

=−2sin2θ−sinθ+1

=−2(sinθ−12)(sinθ+1)，

令f′(θ)>0，由0<θ<π2，可得0<θ<π6，

18.解：(1)当m=2时，f(5,x)=(1+2x)5的展开式共有6项，

二项式系数最大的项为第三项或第四项，

所以T3=C52(2x)2=40x2或T4=C53(2x)3=80x3；

(2) ①f(10,x)=(2m+mx)10的通项公式为T②

f(10,x)=(1+2x)10

的通项公式为

Tr+1=C10r设

ar=2rC10r

为

a即

，即

，

∴(a

19.解：(1)由题意知：当a=1时f(x)=x−1−lnx(x>0)，

∴f′(x)=1−1x=x−1x，

当0<x<1时，f′(x)<0;当x>1时，f′(x)>0，

即f(x)在(0,1)上单调递减，f(x)在(1,+∞)上单调递增，

所以，当x=1时，f(x)取得极小值f(1)=0;f(x)无极大值；

(2)g(x)=(x−1)ex−ealnx−1+a，

要证g(x)≥0，即证x−1ea≥lnx−1+aex，即证(x−1)ex−a−lnx+1−a≥0，

令μ(x)=(x−1)ex−a−lnx+1−a(x>0)，

∴μ′(x)=xex−a−1x，