高中数学第二章点直线平面之间的位置关系复习

第二章点、直线、平面之间的位置关系1/281.

三个公理知识要点

公理1:假如一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.

公理2:

过不在一条直线上三点,有且只有一个平面.

三推论:①两相交直线确定平面;②两平行直线确定平面;③直线外点与直线确定平面.

公理3:

假如两个不重合平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点公共直线.返回目录2/28知识要点2.

线线之间位置关系相交平行异面共面判定两直线平行公理4:平行于同一条直线两直线相互平行.3/28知识要点3.

两异面直线所成角①角范围(0,90].②由定义找角:③垂直相交非钝角,且两边分别平行两异面直线.异面垂直,无垂足.4/28知识要点4.

线面平行判定定理b

a,a

a,b//a,⇒

b∥a.l∥a,l

b,b∩a=m⇒

l∥m.由线线平行得线面平行.5.

线面平行性质定理由线面平行得线线平行.5/28知识要点a

a,b

a,a∩b,a∥b,b∥b,⇒a∥b.a∥b,g∩a

=a,g∩b

=b,⇒a∥b.6.

面面平行判定定理由线面平行得面面平行.7.

面面平行性质定理由面面平行得线线平行.6/281.判定直线与平面垂直方法：（1）定义法：直线与平面内任意一条直线垂直则线面垂直；（2）判定定理：假如一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.

（线线垂直线面垂直）；空间中垂直判定及其性质（3）面面垂直性质：假如两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线直线与另一个平面垂直.知识梳理7/28（4）平行线垂直平面传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；（5）面面平行性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；（6）面面垂直性质：假如两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线直线与另一个平面垂直.(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ)．8/282.判定两平面垂直方法:（1）定义法：平面与平面相交成直二面角则面面垂直；（2）判定定理：假如一个平面经过另一个平面垂线，那么这两个平面相互垂直.

（线面垂直面面垂直）；3.线面垂直性质：垂直于同一个平面两条直线平行.

9/281.求异面直线所成角方法：平移

结构可解三角形2.求直线与平面所成角方法：找（或作）射影结构可解三角形3.求二面角方法：（1）垂线法——利用定义作出平面角，经过解直角三角形求角大小（2）垂面法——经过作二面角棱垂面，两条交线所成角即为平面角二、空间角10/2811/2812/28

例2.三个平面可将空间分成几部分?你能画出它们直观图吗?

答:

三个平面可将空间分成4个、或6个、或7个、或8个部分.4部分abg6部分abg7部分8部分abgbag13/28例3.如图所表示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC中点.求证：(1)CD⊥AE.(2)PD⊥平面ABE.14/28证实:(1)因为PA⊥底面ABCD,所以CD⊥PA,又CD⊥AC,PA∩AC=A,故CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC,故CD⊥AE.(2)因为PA=AB=BC,∠ABC=60°,所以PA=AC.又因为E是PC中点,所以AE⊥PC.由(1)知CD⊥AE,CD∩PC=C,从而AE⊥平面PCD,故AE⊥PD.因为PA⊥AB,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD,所以BA⊥PD,又因为BA∩AE=A,所以PD⊥平面ABE.15/2816/2817/28题型空间角求法例5.如图,在三棱锥P-ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,点P在平面ABC内射影O在AB上.(1)求直线PC与平面ABC所成角正切值大小.(2)求二面角B-AP-C正切值大小.18/28解析:(1)如图连接OC.由已知,∠OCP为直线PC与平面ABC所成角,设AB中点为D,连接PD,CD.因为AB=BC=CA,所以CD⊥AB.因为∠APB=90°,∠PAB=60°,所以△PAD为等边三角形,不妨设PA=2,则OD=1,OP=,AB=4.所以CD=2,OC=在Rt△OCP中，19/28(2)过D作DE⊥AP于E,连接CE.由题知D，E分别为AB，AP中点，所以DE∥BP.由已知可得,CD⊥平面PAB.所以CD⊥PA,又DE⊥PA，所以PA⊥平面CDE，所以CE⊥PA，所以,∠CED为二面角B-AP-C平面角.由(1)知,DE=，在Rt△CDE中,故二面角B-AP-C正切值为2.

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一、选择题.

1.

如图,点P,Q,R,S

分别在正方体四条棱上,而且是所在棱中点,则直线PQ

与RS

是异面直线图是()PQRS(A)PQRS(B)PQRS(C)PQRS(D)平行平行相交异面C21/28

2.

以下命题中,错误命题是()(A)平行于同一直线两个平面平行

(B)平行于同一平面两个平面平行

(C)一条直线与两个平行平面中一个相交,那么这条直线必与另一个相交

(D)一条直线与两个平行平面所成角相等A22/28

3.

在正体ABCD-A1B1C1D1

中,若E

是A1C1中点,则直线CE

垂直于()(A)AC(B)BD(C)A1D(D)A1D1ABCDA1B1C1D1E分析:如图,(A)AC

与CE

相交,排除.(B)直观BD

可能垂直CE.∵BD⊥AC,且BD⊥CC1,则BD⊥平面ACC1A1,而CE

平面ACC1A1,∴BD⊥CE.B23/284.

已知直线l⊥平面a,直线m

平面b,有以下命题:①a//b

l⊥m;②a⊥b

l//m;③l//m

a⊥b;④l⊥m

a//b.其中正确命题是()(A)①与②(B)③与④(C)②与④(D)①与③almbalmbalmbalmb①成立②反例③成立④反例D24/28

5.

设a,b,c

是空间三条直线,下面给出四个命题:①若a⊥b,b⊥c,则a//c;②若a,b

是异面直线,b,c

是异面直线,则a,c

也是异面直线;③若a

和b

相交,b

和c

相交,则a

和c

也相交;④若a

和b

共面,b

和c

共面,则a

和c

也共面.其中真命题个数是

.ABCDA1B1C1D1abc①反比如图.bc②反比如图.③反比如图.④反比如图.0个25/28

6.(1)

用符号语言表示语句:“直线l

经过平面a内一定点P,但l

在a

外”,并画出图形.

(2)

把下面符号语言改写成文字语言形式,并画出图形.

若直线a

平面a,A

a,A

a,A

直线b,a//b,则b

a.解:(1)P

l,P

a,l

a.aPl26/28

6.(1)

用符号语言表示语句:“直线l

经过平面a内一定点P,但l

在a

外”,并画出图形.

(2)

把下面符号语言改写成文字语言形式,并画出图形.

若直线a

平面a,A

a,A

a,A

直线b,a//b,则b

a.解:(2)若直线a

和点A

都在平面a

内,a

不经过点A,直线b

经过点A

且平行于a,则直线b在平面a

内.aAa·b27/287.

如图,过点S

引三条不共面直线SA,SB,SC,其中∠BSC=90,∠ASC=∠ASB=60,且SA=SB=SC=a.求证:平面ABC⊥平面BSC.SACB证实:∵∠ASC=∠ASB=60,SA=