山东省济南市2025届高三下学期3月一模试题 数学 含解析

2025年3月济南市高三模拟考试数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解.【详解】集合，则，所以.故选：B2.设复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘除法运算即可得到答案.【详解】.故选：A.3.若直线：与直线：平行，则（）A.4 B. C.1或 D.或4【答案】D【解析】【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验.【详解】若直线：与直线：平行，则，整理可得，解得或，若，直线：与直线：平行，符合题意；若，直线：与直线：平行，符合题意；综上所述：或.故选：D.4.若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合等差数列、等比数列的定义判断.【详解】数列中，，数列为等比数列，令其公比为，则，，常数，因此数列为等差数列；反之，为等差数列，令其公差为，则，即为常数，因此数列为等比数列，所以“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件.故选：C5.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据焦点为，再利用抛物线平移即可得到答案.【详解】，焦点为，焦点为，则焦点为，故选：B．6.已知函数则的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可.【详解】当时，，，；当时，，，；且当时，，所以为奇函数，易知为上的递减函数，则，所以原不等式的解集为.故选：A7.已知圆台侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（）A.π B.2π C.4π D.8π【答案】B【解析】【分析】由侧面面积公式建立等式，然后分别写出上下底面面积，作差后代入即可得到结果.详解】如图：设展开图小圆半径和大圆半径分别为，则圆台侧面积，即，上底面半径，下底面半径，圆台上下底面面积之差的绝对值为.故选：B.8.已知，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令，求导分析单调性可得A错误；令求导分析单调性可得B错误；令，由诱导公式和两角和的正弦展开式可得C错误；令，求导后再分、、分别讨论单调性后放缩可得D正确.【详解】对于A，令，则，所以在上单调递减，即，所以，故A错误；对于B，令，，则，所以在上单调递增，即，故B错误；对于C，因为，令时，，，因为，所以，故C错误；对于D，令，，则，当时，，所以；当时，，，且区间对应每一个值都使得，所以；当时，，，且区间对应每一个值都使得，所以；综上则在上恒成立，所以在上单调递增，即，故D正确.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（）附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635A.若，则认为“毛色”和“角”无关B.若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%C.若，则认为“毛色”和“角”无关D.若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1%【答案】BC【解析】【分析】根据独立性检验的判断原则一一分析即可.【详解】对AB，若，因为，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%，故A错，B对；对CD，若，因为，则认为“毛色”和“角”无关，故C正确，D错误.故选：BC.10.已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，为上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，则（）A. B.C.内切圆半径的最大值为 D.外接圆半径的最小值为1【答案】ACD【解析】【分析】由椭圆的定义结合中位线的性质可得A正确；由椭圆的性质令点在第二三象限时可得B错误；由焦点三角形的面积公式结合内切圆的性质和椭圆的性质可得C正确；由正弦定理可得D正确.【详解】对于A，，故A正确；对于B，由三角形中位线得，因为当点在第二三象限时，，此时，故B错误；对于C，因为，，当点在上顶点时，最大，所以，所以，所以，所以由三角形相似可得，设内切圆半径为，又，所以内切圆半径最大值为，故C正确；对于D，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，故D正确.故选：ACD11.已知递增数列的各项均为正整数，且满足，则（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】对A直接代入计算即可；对B，利用反证法即可证明，对C，通过不断代入得到，再结合其单调性即可判断C，对D，通过代入归纳总结得到时，，再代入合理值即可判断.【详解】对A，在原式中令，则，故A正确；对B，若，单调递增，则，则，即矛盾，舍去，故，故B正确；对C，由得，则，则，，，原式中令，令，因为递增数列，C错；对D，由，令，由单调递增，，令，令则，则时，，且，则时，时，，当时，时，，在原式中令，同理由，D正确，故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为________.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】先给两个1找两个位置，再给两个3找两个位置，最后剩的一个位置排5即可.【详解】第一步选2个空给两个1有种选法，第二步选剩下3个空给两个3有种选法，最后剩一个空排5即可，根据分步乘法计数原理有种排法，故答案为：.13.函数的最小值为________.【答案】【解析】【分析】根据和分类讨论，作出函数图像即可求解.【详解】当时，即时，，当时，即时，，所以，作出函数图像：所以函数的最小值为，当时.故答案为：.14.已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________.【答案】【解析】【分析】设四个顶点为，根据得到截面方程即可求解.【详解】建立正四面体的顶点坐标，设四个顶点为，每条棱长均为，设动点，，，，，，，因为，所以，即所有满足条件的点构成的平面为平面（平面），而为正方体的顶点（如图所示），且该正方体的中心为原点，由对称性可得棱交于，棱交于，棱交于，棱交于，截面四边形的顶点为，在平面上形成一个菨形，其对角线的长度为，故面积为2.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为.（1）求智能客服的回答被采纳的概率；（2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差.【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为，方差为.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解.（2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望的方差.【小问1详解】设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”，依题意，，，因此，所以智能客服的回答被采纳的概率为.【小问2详解】依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，，，，所以的分布列为：0123数学期望；.16.如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点在线段上.（1）求证：平面平面；（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求.【答案】（1）证明见解析（2）或【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，设即可求得点的坐标，利用夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：由正方形有，又平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，过点作，则，，，所以，所以，即，又，所以平面，又平面，所以平面平面；【小问2详解】由（1）知两两互相垂直，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图：则有，设，则，设，则有，解得，得，所以，设平面的法向量为，则有，令，得，设直线与平面所成角为，所以，解得或，所以或.17.已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，.（1）求的方程；（2）过P作直线的垂线，垂足为N.（i）证明：直线过定点；（ii）求面积的最小值.【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）.【解析】【分析】（1）由离心率及双曲线参数关系求得，结合已知令，代入双曲线求参数值，即可得方程；（2）（i）设，则，设，联立双曲线并应用韦达定理，结合直线、双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标；（ii）应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值.【小问1详解】由题设且，则，由轴时，，不妨令，代入双曲线得，所以，则所求方程为；【小问2详解】（i）设，则，由斜率不为0，设，联立双曲线并整理得，则，所以，由，直线，根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上，令，则，因为，所以，而，则，所以过定点；（ii）由，由（i），，可得，令，则，由，故，当时取等号，综上，的最小值为.18.已知，函数，.（1）当时，求的极值；（2）若存在零点.（i）当时，求的取值范围；（ii）求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）（i）；（ii）证明见解析.【解析】【分析】（1）直接求导得，再分和讨论即可；（i）转化得有解，再设，求导后再对分类讨论，最后利用隐零点法即可得到其范围；（ⅱ）分析得表示原点与直线上的动点之间的距离，再等价转化为证明，再设新函数并多次求导即可证明.【小问1详解】时，，当时，，函数单调递增，既无极大值也无极小值.当时，，，函数单调递减，，，函数单调递增，函数的极小值是，无极大值.【小问2详解】（ⅰ）当时，因为函数存在零点，故有解，若，此时无解，所以，有解，，①若单调递增，此时不存在零点；②若，令，，，由零点存在定理可知存在，所以在上为减函数，在上为增函数，故，解得，故.（ⅱ）因为函数存在零点，所以有解，其中，若，则，该式不成立，故.故，考虑直线，表示原点与直线上的动点之间的距离，，所以，时，要证，只需证，即证.令，则，令，，故在上为增函数，故.即在上为增函数，故，故，即成立.19.如图，已知给定线段长为2，以为底边作顶角为的等腰三角形，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形……依次类推，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形，得到三角形列.（1）用表示出的外接圆半径；（2）当时，证明：各顶点均在外接圆上或其内部；（3）若各顶点均在外接圆上或其内部，求的取值范围.【答案】（1）;（2）证明见解析；（3）；【解析】【分析】（1）根据三角函数定义即可得到其半径表达式；（2）计算和的表达式，作差得，从而得到的外接圆各点位于的外接圆上或其内部，再反复使用该结论即可；（3）计算得，利用得到不等式，解出，则得到范围.【小问1详解】设的外接圆半