高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第02讲 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征（解析版）

第02讲8.1基本立体图形（第2课时圆柱、圆锥、圆台、球的结构

特征简单组合体的结构特征）

课程标准学习目标

1.通过阅读课本解圆柱、圆锥、圆台、球的定义；

①了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.掌握2.在棱柱、棱锥与棱台学习的基础上，进一步掌握圆柱、

圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。圆锥、圆台、球的结构特征；

②了解简单组合体的概念及结构特征。3.了解简单组合体的概念及结构特征．灵活运用各种知

③了解简单组合体的概念及结构特征识解决组合体问题；

知识点01：圆柱

（1）圆柱的定义

以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体

圆柱的轴：旋转轴

圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面

圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面

圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边

（2）圆柱的图形

（3）圆柱的表示

圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱OO

【即学即练1】1（2024上·上海·高二上海师大附中校考期末）用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状

不可能是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【详解】解：

对于选项A：当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆；

对于选项B：当截面与轴截面平行时，得到的截面形状是长方形；

对于选项C：当截面与轴截面斜交时，得到的截面形状是椭圆；

对于选项D：截面的形状不可能是等腰梯形；

故选：D

知识点02：圆锥

（1）圆锥的定义

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体

轴：旋转轴叫做圆锥的轴

底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面

侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面

母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边

锥体：棱锥和圆锥统称为锥体

（2）圆锥的图形

（3）圆锥的表示

用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥SO

【即学即练2】（2024·全国·高三专题练习）给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.

其中正确命题的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】A

【详解】①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；

②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，

它是由两个同底圆锥组成的几何体；

③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相

等.

故选：A.

知识点03：圆台

（1）圆台的定义

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台

轴：圆锥的轴

底面：圆锥的底面和截面

侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分

母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分

台体：棱台和圆台统称为台体

（2）圆台的图形

（3）圆台的表示

用表示它的轴的字母表示，如图，圆台OO

【即学即练3】（2024上·上海青浦·高二上海市朱家角中学校考期末）已知某圆台上底面和下底面的半径分

别为1和2，母线长为3，则该圆台的高为

【答案】22

【详解】根据题意，作出圆台的图形，如图所示：

圆台上下底面的半径分别为1和2，母线长为3，

则圆台的高h9122．

故答案为：22．

知识点04球的结构特征

（1）定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做

球体，简称球

（2）相关概念：

球心：半圆的圆心

半径：连接球心和球面上任意一点的线段

直径：连接球面上两点并经过球心的线段

【即学即练4】（2024·全国·高一假期作业）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝

时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（）

A．一个球

B．一个球挖去一个圆柱

C．一个圆柱

D．一个球挖去一个正方体

【答案】B

【详解】圆及其内部旋转一周后所得几何体为球，

而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱，

故题设中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱，

故选：B.

题型01圆柱的结构特征

【典例1】（2023上·上海普陀·高二上海市宜川中学校考期中）我国古代数学名著《数书九章》中的一个问

题，其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为一丈，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部

与圆木平齐，问葛藤最少长几丈几尺．”（古制1丈=10尺）葛藤最少长是．

【答案】461尺

【详解】将圆柱形圆木沿一条母线剪开,两个侧面展开图沿母线拼接，得如下长方形AB20尺，AD24尺，

所以葛藤最少长为ACAB2AD2461尺.

故答案为：461尺

【典例2】（2023·上海·高三专题练习）在圆柱中，底面圆半径为1，高为2，上底面圆的直径为AB,C是底

面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则ABC的面积的范围．

【答案】2,5

【详解】解：如图1，设上底面圆心记为O，下底面圆心记为O，

连接OC，过点C作CMAB，垂足为点M，

1

则S△ABCM，

ABC2

根据题意，AB为定值2，所以SABC的大小随着CM的长短变化而变化，

如图2所示，当点M与点O重合时，CMOC12225，

1

此时S取得最大值为255；

ABC2

如图3所示，当点M与点B重合，CM取最小值2，

1

此时S取得最小值为222，

ABC2

综上所述，SABC的取值范围为[2,5].

故答案为：[2,5].

【变式1】（2023·高一课时练习）已知圆柱的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A,B是下底面

πl

圆周上两个不同的点，BC是母线.若直线OA与BC所成角的大小为，则.

3r

31

【答案】/3

33

【详解】如图，过点A作与母线BC平行的母线AD,

π

则DAO即为直线OA与BC所成角，故DAO，

3

OD

在Rt△ODA中，tanDAO3,

AD

lAD3

则,

rOD3

故答案为：3

3

【变式2】（2023下·全国·高一专题练习）轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱，已知某等边圆柱的轴截面

面积为16cm2，求该等边圆柱的底面周长和高.

【答案】该等边圆柱的底面周长为4cm，高为4cm

【详解】如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形

设图柱的底面半径为r，则ABAD2r.

轴截面ABCD的面积SABAD2r2r4r216cm2，解得r2cm.

所以该等边圆柱的底面周长为2r4cm，高为2r4cm

.

题型02圆柱截面有关计算

【典例1】（2023上·辽宁·高二校联考阶段练习）如图，某圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，P，

Q分别为线段BC，AC上的两个动点，E为AB上一点，且BE1，则PQPE的最小值为（）

33323

A．3B．C．D．

222

【答案】C

【详解】如图，连接EC，将BCE沿直线BC旋转到BCE的位置，

且E在AB的延长线上．则PEPE，

π

由于圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，故BACBCA，AEABBE213，

4

则PQPEPQPEEQ，当Q,P,E三点共线时取等号，

π32

当EQAC时，EQ最小，最小值为AEsin，

42

即PQPE的最小值为32，

2

故选：C

【典例2】（2023下·全国·高一专题练习）一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为x的内接

圆柱．

(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；

(2)当x为何值时，S最大？

2

【答案】(1)S＝－x2＋4x(0<x<6)．

3

(2)当x＝3时，S最大，最大值为6.

详解：画出圆柱和圆锥的轴截面，

如图所示，

设圆柱的底面半径为r，则由三角形相似可得

x2rx

＝，解得r＝2－.

623

(1)圆柱的轴截面面积

x2

S＝2r·x＝2·(2－)·x＝－x2＋4x(0<x<6)．

33

22

(2)∵S＝－x2＋4x＝－(x2－6x)

33

2

＝－(x－3)2＋6，

3

∴当x＝3时，S最大，最大值为6.

【变式1】（2022·全国·模拟预测）如图，圆柱的底面半径为2，四边形ABCD是圆柱的轴截面，点E在圆

柱的下底面圆上，若圆柱的侧面积为12π，且DE4，则CE（）

A．32B．4C．42D．23

【答案】A

【详解】如下图所示：

设圆柱的母线长为l，由圆柱的侧面积为12π可得4πl12π，得l3，

连接AE，则AEDE2AD27，

连接BE，则AEBE，故BEAB2AE23，

故CEBE2BC232.

故选：A.

【变式2】（2023上·上海浦东新·高二校考期末）从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图

2

1阴影部分），并卷成一个深度为h米的圆锥筒（如图2）.若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为rad.

3

（1）求圆锥筒的容积；

（2）在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为x的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积最大时x的值.

22π1

【答案】（1）；（2）.

32

【详解】（1）设圆锥筒的半径为r，容积为V，

∵所裁剪的扇形铁皮的圆心角为2，

3

2

∴2r3，解得r1，

3

∴h9r222，

1122

∴VSh22.

333

22π

∴圆锥筒的容积为.

3

（2）设内接圆柱高为h则有，由圆锥内接圆柱的轴截面图，

x22h

得h221x，

122

所以内接圆柱侧面积

1

S2xh42x2x=42(x)22,0x1，

2

1

所以当x时内接圆柱侧面积最大.

2

题型03圆柱展开图及最短距离问题

【典例1】（2024·全国·高三专题练习）如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为4的边旋转二周后所得

如图的一开口容器（下表面密封），P是BC中点，现有一只妈蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，若这

只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点P处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（）

A．π236B．π216C．4π236D．4π21

【答案】A

【详解】解：依题意可得圆柱的底面半径r1，高h4

将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形ABCD，其中ABπ，AD4，

问题转化为在CD上找一点Q，使AQPQ最短，

作P关于CD的对称点E，连接AE，令AE与CD交于点Q，

2

则得AQPQ的最小值就是为AEπ242π236．

故选：A

【典例2】（2023下·辽宁·高一校联考期末）如图，在圆柱OO中，AB，CD分别为圆O，O的直径，AB//CD，

ABBC2，E为BC的中点，则一只蚂蚁在圆柱表面从A爬到E的最短路径的长度为（）

A．π21B．4π21C．3D．5

【答案】A

【详解】如图所示，把半圆柱侧面展开，得到侧面展开图为矩形ABCD，

在圆柱OO中，因为ABBC2，可得ABπ，

即矩形ABCD中，ABπ，BE1，则最短路径的长度为AEAB2BE2π21．

故选：A.

【典例3】（2024·全国·高一假期作业）如图，已知圆柱的高为h，底面半径为R，轴截面为矩形A1ABB1，

在母线AA1上有一点P，且PAa，在母线BB1上取一点Q，使B1Qb，则圆柱侧面上P、Q两点的最短距

离为．

【答案】(πR)2(hab)2

【详解】如图，把圆柱的半个侧面展开，是一个下长为πR，宽为h的矩形，

B1Qb，PAa，过P作PEBB1，E为垂足，所以QEhab，

即可把PQ放在一个直角边为πR和hab的直角三角形PQE中，

根据勾股定理可得：PQPE2QE2(πR)2(hab)2.

故答案为：(πR)2(hab)2.

【变式1】（2024·广东·高三学业考试）如图在一根长11cm，外圆周长6cm的圆柱形柱体外表面，用一根

细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为（）

A．61cmB．157cmC．2021cmD．1037cm

【答案】A

【详解】圆柱形柱体的高为11，外圆周长6，

又铁丝在柱体上缠绕10圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，

则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示：

其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长6，高为圆柱的高11，

则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值．

此时铁丝的长度最小值为：11260261．

故选：A．

【变式2】（2023·全国·高一专题练习）边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的

侧面到相对顶点G的最短距离是（）

A．10cmB．52cm

5

C．521cmD．24cm

2

【答案】D

【详解】圆柱的侧面展开图如图所示，

155

展开后EF2(cm)，

222

55

∴EG52()224(cm)，即为所求最短距离．

22

故选:D.

【变式3】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，圆柱高为2，底面半径为1，则在圆柱侧面上从A出发

经过母线BB1到达A1的最短距离为.

【答案】221

【详解】把圆柱侧面沿母线AA1剪开摊平为一个矩形AA1NM，如图，

，所求最短距离为22222．

AM2π12πA1MAMAA1(2π)22π1

故答案为：2π21．

题型04圆锥的结构特征

【典例1】（2024上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校联考期末）已知圆锥的底面半径为4，其

侧面展开图为一个四分之一圆，则该圆锥的母线长为（）

A．12B．14C．16D．18

【答案】C

【详解】设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，

π

则2πrl，解得l16.

2

故选：C.

【典例2】（2023·全国·高一专题练习）圆锥的轴截面有多少个？母线有多少条？圆锥顶点和底面圆周上任

意一点的连线都是母线吗？

【答案】答案见解析

【详解】如图，

因为所有过直线PO与圆锥所截的面，都是圆锥的轴截面，例如图中面PAB与面PCD，

所以圆锥的轴截面有无穷多个，

因为圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线称为圆锥的母线，

所以圆锥的母线有无穷多条，例如图中PA,PB,PC,PD等，

故此，圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线.

【变式1】（2023上·四川乐山·高二统考期末）如图，直角三角形ABC绕直角边AC旋转360，所得的旋转

体为（）

A．圆锥B．圆柱C．圆台D．球

【答案】A

【详解】由圆锥的定义可得直角三角形ABC绕直角边AC旋转360，所得的旋转体为圆锥

故选：A

【变式2】（2023上·上海·高二专题练习）已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是3，则圆锥的高

为；母线的长为.

【答案】32

3

【详解】设正三角形的边长为a，因为轴截面的面积为3，可得a2＝3，解得a2，

4

3

由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为a3，

2

圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为2.

故答案为：3；2；

题型05圆锥截面有关计算

【典例1】（2024·河南·模拟预测）已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2的扇形，则此圆锥内切

球的半径为（）

13131515

A．B．C．D．

29910

【答案】D

π

【详解】侧面展开图扇形的弧长为2π，

2

1

圆锥底边的半径r满足2πrπ，解得r，

2

所以该圆锥轴截面是一个两腰长为2，

15

底边长为1的等腰三角形，底边上的高为，

2

15

设内切球半径为R，则R1221，

2

15

R.

10

故选：D.

4

【典例2】（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，

3

过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（）

A．8B．47C．37D．36

【答案】A

44

【详解】设圆锥底面半径为r，母线为l，轴截面顶角为(0π)，则πrlπr2，得lr，

33

r32π

所以sinsin，

2l424

πππ

因为为锐角，所以，即π，则θ为钝角，

24222

11

所以当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，最大值为l2428.

22

故选：A.

【典例3】（2023上·重庆·高二校联考开学考试）已知圆锥的底面面积为96π，高h5，则该圆锥的母线长

为

【答案】11

【详解】

如图，作出圆锥的轴截面，点O为底面圆心.

设圆锥的底面半径为r，母线为l

由已知可得，πr296π，解得r46，所以OA46.

又VOh5，

所以，VA2VO2OA22596121，

解得VA11，即l11.

故答案为：11.

【变式1】（2024·全国·高三专题练习）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为3π，则过圆锥

顶点的截面面积最大值为（）

A．1B．3C．2D．23

【答案】C

【详解】设底面圆的半径为r，2r23，解得r3，由圆锥母线长为2，可得圆锥轴截面的顶角为

2π

，

3

π1

当截面顶角为时，过圆锥顶点的截面面积最大，此时S222.

22

故选：C.

2

【变式2】（2024·广东惠州·统考一模）某圆锥的侧面展开图是面积为3，圆心角为的扇形，则该圆锥

3

的轴截面的面积是.

【答案】22

【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，

2

因为圆锥的侧面展开图是面积为3，圆心角为的扇形，

3

12

所以l23，解得l3，

23

2

因为2rl，

3

2

所以2r3，得r1，

3

所以圆锥的高为hl2r29122，

11

所以圆锥的轴截面的面积是2rh22222，

22

故答案为：22

【变式3】（2023上·全国·高三专题练习）在半径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地

面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120．若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为m（精确到

0.1m）．

【答案】17.3

【详解】如下图所示：

在圆锥SO中，AB为圆O的一条直径，由题意可知SASB，AO30m，ASB120，

SO3

所以，SAO30，由tanSAO，故SOAOtan303010317.3m.

AO3

故答案为：17.3.

题型06圆锥展开图及最短距离问题

【典例1】（2023下·山东泰安·高一泰安一中校考期中）某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶

的小屋（如图1）．现测量其中一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB长为12m，母线SA长为18m（如图

2）．若C是母线SA的一个三等分点（靠近点S），从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带

的最小长度为（）

A．67mB．16mC．613mD．12m

【答案】C

【详解】将圆锥侧面沿母线SA展开，其侧面展开图为如图所示的扇形SAA，则AC的长度即为灯光带的最

小长度，

12π2π

AA2πr12π，ASA，

183

1

在△ASC中，SCSA6，SA18，

3

222221

ACASSC2ASSCcosASA1862186468，

2

解得：AC613，即灯光带的最小长度为613m.

故选：C.

【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等

于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路

程为（）

A．123B．16C．24D．243

【答案】A

【详解】如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为，

2

则由题可得2412，则，

3

在RtPOP中，OPOP12，

221

则小虫爬行的最短路程为PP121221212123.

2

故选：A.

【典例3】（2023·上海宝山·统考一模）如图，在圆锥SO中，AC为底面圆O的直径，SOOC1，点

B在底面圆周上，且ABBC.若E为线段AB上的动点，则SEC的周长最小值为

【答案】321

【详解】连接OB，依题意SO平面ABC，而OA,OB,OC平面ABC，

所以SOOA,SOOB,SOOC，ABBC，O是AC的中点，则OBAC，

由于SOOC1，所以SASCSBAB2，

则三角形SAB是等边三角形，三角形ABC是等腰直角三角形，

将三角形SAB和三角形ABC展开在同一个平面，如下图所示，

连接SC，交AB于E，在三角形SAC中，

由余弦定理得SC24222cos6045

642cos60cos45sin60sin45

2

4233131，

所以SEC的周长最小值为321.

故答案为：321

【变式1】（2024·全国·高一假期作业）如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点

A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为（）

A．25B．23C．42D．23

【答案】A

【详解】由题意，底面圆的直径AB＝2，故底面周长等于2π.

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，

4nπ

根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝，解得n＝90，

180

所以展开图中∠PSC＝90°，故PC＝25，

所以小虫爬行的最短距离为25.

故选：A

【变式2】（2023上·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母

线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的

最短路程为23，则圆锥底面圆的半径等于．

【答案】2

3

【详解】把圆锥侧面沿母线OA展开成如图所示的扇形，则AB为小虫爬行的最短路径.

依题意：小虫爬行的最短路程为AB23.

因为母线长OAOB2，

2π

所以在AOB中AOB．

3

2π4π

则由弧长公式得：AB2．

33

设圆锥底面圆的半径为r.

4π2

则2πr，解得r

33

故答案为：2

3

【变式3】（2023上·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆

锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，B母线SA一点，且AB10公里，为了发展旅游业，要建设

一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路，则这段铁路的长度为公里.

【答案】50

【详解】

如图，将圆锥沿SA剪开，

则圆锥的母线即扇形的半径SA40，

圆锥底面圆的周长即扇形的弧长为2π1020π，

20ππ

所以圆心角，即ASB90.

4021

又SA1SA40，SBSAAB30，

所以，22

A1BSA1SB50.

所以，这段铁路的长度为50公里.

故答案为：50.

题型07圆台的结构特征

【典例1】（2023下·陕西榆林·高一校考期中）下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是

（）

A．B．C．D．

【答案】A

【详解】由图可知，A选项中的直角梯形绕给出的轴旋转一周，能形成圆台，

B选项中的半圆绕给出的轴旋转一周，能形成球体，

C选项中的矩形绕给出的轴旋转一周，能形成圆柱，

D选项中的直角三角形绕给出的轴旋转一周，能形成圆锥．

故选：A

【典例2】（2023·上海金山·统考一模）设圆台的上底面和下底面的半径分别为r1和r2，母线长为l3，

则该该圆台的高为.

【答案】22

【详解】作出圆台的轴截面，如图示为等腰梯形，

梯形的高即为圆台的高，即高为32(21)222，

故答案为：22

【变式1】（2023下·全国·高一随堂练习）如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得

圆台上、下底面的面积之比为1:16，截得圆台的圆锥的母线长为12cm，求圆台OO的母线长．

【答案】9cm．

【详解】设圆台OO的母线长为lcm，由截得圆台上、下底面的面积之比为1:16，可设截得圆台的上、下

底面的半径分别为r，4r．过轴SO作截面，如图所示．

则SOASOA，SA12cm，

SAOA12lr1

所以，所以，

SAOA124r4

解得l9，

即圆台的母线长为9cm．

【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）—个圆台的母线长为5，两底面直径分别为2和8，求圆台的高.

【答案】4.

【详解】圆台的轴截面如图所示，其中A1B12，A2B28，A1A25，

O1O2为高，过点A1作A1,HA2B2于点H，则A1HO1O2，

82

在RtA1A2H中，A1A25，AH3，

22

∴2222

A1HA1A2A2H534.

故圆台的高为4.

题型08圆台展开图

【典例1】（2023下·山东潍坊·高一统考期末）如图，圆台OO1的侧面展开图扇环的圆心角为180，其中

SA2,SB4，则该圆台的高为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【详解】因为圆台OO1的侧面展开图扇环的圆心角为180，

1

所以在圆锥SO中有：2πAO2πSA2π，

112

所以AO11，

1

又在圆锥SO中有：2πOB2πSB4π，

2

所以OB2，

所以该圆台的高为：

22

hABOBO1A

22

SBSAOBO1A

22

4221

3，

故选：C.

【典例2】（2023·江苏·高一专题练习）如图所示，圆台的上底面半径为2cm，下底面半径为4cm，母线

长为6cm.求轴截面相对顶点A、C在圆台侧面上的最短距离.

【答案】63cm.

【详解】如图所示：

沿母线AD剪开将圆台侧面展开，问题转化为求展开图中线段AC的长.

设圆台的上底面、下底面半径分别为r1、r2，因为侧面展开图圆心角，

rr422π

213602π，且B、C分别为所在弧的中点，

l63

π

所以在等腰三角形AOB中，AOB，

3

则AOB是等边三角形，

π

因为DCDC2π，

3

所以OC6，而BC6，C为OB的中点，

所以AC63，

即A、C两点在圆台侧面上的最短距离为63cm.

【变式1】（2023下·全国·高一专题练习）如图所示，圆台母线AB长为20cm，上、下底面半径分别为5cm

和10cm，从母线AB的中点M拉条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值．

【答案】50cm．

【详解】作出圆台的侧面展开图，如图所示，

OA5

由轴截面中RtOPA与RtOQB相似，得，可求得OA20cm．

OAAB10

设BOB，由于BB的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为210cm,扇形OBB的半径为

OAAB202040cm，

扇形OBB所在圆的周长为24080cm．

1

所以BB的长度20cm为所在圆周长的，所以OBOB．

4

所以在Rt△BOM中，BM2402302，

所以BM50cm，即所求绳长的最小值为50cm．

【变式2】（2023下·高一课时练习）如图，圆台上、下底面半径分别为5cm，10cm，母线长为20cm，从

母线AB的中点M拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的B点，求BM间细绳的最短长度.

【答案】50cm

【详解】如图所示：圆台的展开图，设SAx，S，MB为最短距离，

π

则x2π510π，x202π1020π，解得，x=20，

2

故MB30240250.

故BM间细绳的最短长度为50cm.

题型09球的结构特征

【典例1】（2023上·四川乐山·高二统考期末）一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（）

A．圆柱B．圆锥C．圆台D．球

【答案】D

【详解】对于A：圆柱的轴截面是矩形，故A不符合题意；

对于B：由于圆锥的轴截面是一个等腰三角形，故B不符合题意；

对于C，圆台轴截面是等腰梯形，故C不符合题意；

对于D：用任意的平面去截球，得到的截面均为圆，故D符合题意．

故选：D．

【典例2】（2023下·四川成都·高一树德中学校考阶段练习）半径为1的球放在教室的墙角，紧靠两墙面和

地面，墙角顶点到球面上的点的最远距离是（）

3

A．2B．21C．1D．31

2

【答案】D

【详解】设球心到墙角的距离为d，球心半径为R，则R1，

则距离d为棱长为1的正方体的对角线长，即d1212123，

则墙角顶点到球面上的点的最远距离等于dR31.

故选：D.

【变式1】（2023下·山东枣庄·高一校考阶段练习）下列几何体是旋转体的是（）

A．五棱柱B．六棱锥C．八棱台D．球

【答案】D

【详解】根据一个平面图形绕着它的一条边所在的直线旋转一周形成的几何体叫做旋转体，判断球是旋转

体；

一个几何体围成它的各个面都是多边形，这个几何体是多面体，由此判断五棱柱、六棱柱、八棱台都是多

面体．

故选：D

【变式2】（2024上·全国·高三专题练习）东方明珠广播电视塔是上海的标志性文化景观之一，塔高约468

米，上球体的直径为45米，且上球体的球心O到塔底的距离与塔高的比值为黄金分割比(约为0.618)．若P

为上球体球面上一点，且PO与地平面(塔顶与O的连线垂直地平面)所成的角为30，P在上球体的上半部

分，则P到地平面的距离约为()

A．297米B．300米C．303米D．306米

【答案】B

【详解】∵上球体的球心O到塔底的距离d4680.618289.22米，

45

∴P到地平面的距离为dsin30=289.2211.25300米．

2

题型10球的截面性质及计算

【典例1】（2024上·安徽合肥·高三合肥市第八中学校联考期末）已知某圆台的上底面圆心为O1，半径为r，

h

下底面圆心为O，半径为2r，高为h，若该圆台的外接球球心为O，且OO2OO，则（）

212r

A．3B．3C．2D．2

【答案】B

【详解】由圆台的上底面圆心为O1，半径为r，下底面圆心为O2，半径为2r，高为h，

2hh

如图所示，因为OO2OO，所以OO,OO，

121323

222

22h2h2hh

所以r(2r)，解得3r，所以3.

333r

故选：B.

【典例2】（2023下·上海杨浦·高二统考期末）如图，已知球O的半径为5，球心O到平面的距离为3，

则平面截球O所得的小圆O1的半径长是（）

A．2B．3C．32D．4

【答案】D

【详解】如图所示，C为球面上一点，则OC5，

球心O到平面的距离为3，即OO13，且OO1O1C，

则小圆O1的半径长即为O1C，

222

在OO1C中，由勾股定理可得OCOO1O1C，解得O1C4.

故选：D

【典例3】（2024·全国·高三专题练习）毛泽东在《七律二首•送瘟神》中有句诗为“坐地日行八万里，巡天

遥看一千河.”前半句的意思是：人坐在地面上不动，由于地球的自转，每昼夜会随着地面经过八万里路程.

诗中所提到的八万里，指的是人坐在赤道附近所得到的数据.设某地所在纬度为北纬090（即地

7

球球心O和该地的连线与赤道平面所成的角为），且sin.若将地球近似看作球体，则某人在该地每

4

昼夜随着地球自转而经过的路程约为万里.

【答案】6

8

【详解】由题意可知，赤道周长为8万里，则地球半径r万里.

2π

设某地随着地球自转，所形成圆的半径为r0，

8833

则rrcos1sin2万里，则该圆的周长l2πr6万里.

02π2π4π0

故答案为：6.

【变式1】（2023上·北京·高二清华附中校考期中）已知平面与平面间的距离为3，定点A，设集

合SBAB5，则S表示的曲线的长度为（）

A．6πB．8πC．10πD．12π

【答案】B