高一数学必修第一册同步学与练（人教A版）第01讲 任意角和弧度制（解析版）

第01讲5.1任意角和弧度制

课程标准学习目标

①理解并掌握正角、负角、零角的概念。

②掌握象限角的范围，掌握终边相同的角的

1.通过本节课的学习，要求掌握任意角的概念，并能用

表示方法及判定方法。

集合的形式表示任意角；

③了解弧度制，能进行弧度与角度的互

2掌握弧度制与角度制的互化，；

化。

3.记住特殊角的弧度制；

④由圆周角找出弧度制与角度制的联系，记

4.掌握与弧度制相关的弧长公式和面积公式的运用；

住常见特殊角对应的弧度数。

⑤掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公

式，能用公式进行简单的弧长及面积运算。

知识点01：任意角

1、角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形

2、角的分类

①正角:按逆时针方向旋转所形成的角.

②负角:按顺时针方向旋转所形成的角.

③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.

3、角的运算

设，是任意两个角，为角的相反角．

(1)：把角的终边旋转角.（0时,旋转量为,按逆时针方向旋转;0时,旋转量为||,按顺

时针方向旋转）

(2)：()

【即学即练1】（2023秋·高一课时练习）若角α＝30°，把角α逆时针旋转20°得到角β，则β＝.

【答案】50°

【详解】因为由逆时针旋转得到，所以302050.

故答案为：50

知识点02：象限角

1、定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象

限,就说这个角是第几象限角.

如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.

2、象限角的常用表示：

第一象限角{|360k360k90,kZ}

第二象限角{|360k90360k180,kZ}

第三象限角{|360k180360k270,kZ}或

{|360k180360k90,kZ}

第四象限角{|360k270360k360,kZ}或

{|360k90360k,kZ}

知识点03：轴线角

1、定义：轴线角是指以原点为顶点，x轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角.

2、轴线角的表示：

①终边落在x轴非负半轴{|360k,kZ}

②终边落在y轴非负半轴{|360k90,kZ}

③终边落在x轴非正半轴{|360k180,kZ}或{|360k180,kZ}

④终边落在y轴非正半轴{|360k270,kZ}或{|360k90,kZ}

⑤终边落在x轴{|180k,kZ}

⑥终边落在y轴{|180k90,kZ}或{|180k90,kZ}

⑦终边落在坐标轴{|90k,kZ}

知识点04：终边相同的角的集合

所有与角终边相同的角为|k360，kZ

【即学即练2】（2023秋·甘肃定西·高一统考期末）下列各角中，与43角终边重合的是（）

A．137B．143C．317D．343

【答案】C

【详解】与43角终边重合的角为：43k360kZ，则当k1时，317，故C正确.

经检验，其他选项都不正确.

故选：C.

知识点05：角度制与弧度制的概念

1、弧度制

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写).

2、角度与弧度的换算

弧度与角度互换公式：180rad

0

180

1rad57.305718，1rad

180

3、常用的角度与弧度对应表

角度制030456090120135150180

弧制度0235

6432346

【即学即练3】（2023·全国·高一课堂例题）利用单位圆，写出360，180，90，1的圆心角的弧度数．

ππ

【答案】2πrad；πrad；rad；rad

2180

【详解】在单位圆中，

360的圆心角的弧长是2π，那么它对应的弧度数是2πrad；

180的圆心角的弧长是π，那么它对应的弧度数是πrad；

π

90的圆心角对应的弧度数是rad；

2

π

1的圆心角对应的弧度数是rad．

180

知识点06：扇形中的弧长公式和面积公式

弧长公式：l||r(是圆心角的弧度数)，

11

扇形面积公式：Slr||r2.

22

【即学即练4】（2023秋·湖南·高三湖南省祁东县第一中学校联考阶段练习）已知一扇形的圆心角为40，

半径为9，则该扇形的面积为（）

A．9πB．12πC．18πD．36π

【答案】A

π

【详解】因为4040rad，

180

1π2

所以该扇形的面积为S4099π．

2180

故选：A

题型01任意角的概念

【典例1】（多选）（2023春·高一课时练习）钟表在我们的生活中随处可见，高一某班的同学们在学习了“任

意角和弧度制”后，对钟表的运行产生了浓厚的兴趣，并展开了激烈的讨论，若将时针与分针视为两条线段，

则下列说法正确的是（）

5π

A．小赵同学说：“经过了5h，时针转了．”

6

7π

B．小钱同学说：“经过了40min，分针转了．”

6

67π

C．小孙同学说：“当时钟显示的时刻为12:35时，时针与分针所夹的钝角为．”

72

D．小李同学说：“时钟的时针与分针一天之内会重合22次．”

【答案】ACD

2π5π

【详解】解：经过了5h，时针转过的角度对应的弧度数为5，故A正确．

126

2π4π

经过了40min，分针转过的角度对应的弧度数为8，故B错误．

123

2π72π67π

时钟显示的时刻为12:35，该时刻的时针与分针所夹的钝角为5，故C正确．

12121272

2π2π

分针比时针多走一圈便会重合一次，设分针走了tmin，第n次和时针重合，则tt2πn，得

601260

1111

nt0t1440，故n144022，故D正确．

720max720

故选：ACD

【典例2】（2023·全国·高一专题练习）亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2小时，则从考试开始到

结束，钟表的分针转过的弧度数为.

【答案】4

【详解】因为钟表的分针转了两圈，且是按顺时针方向旋转，所以钟表的分针转过的弧度数为4.

故答案为：4.

【变式1】（2023秋·高一课时练习）经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是（）.

A．60°，720°B．－60°，－720°

C．－30°，－360°D．－60°，720°

【答案】B

【详解】钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，

2

而×360°＝60°，2×360°＝720°，

12

故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.

故选：B

【变式2】（2023秋·高一课时练习）时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为，分针转

过的角的度数为．

【答案】1001200

【详解】因为时针每小时转30，分针每小时转360，

又因为时针、分针都按顺时针方向旋转，

1

故时针转过的角度数为330100，

3

1

分针转过的角度数为33601200．

3

故答案为：100；1200

题型02终边相同的角

【典例1】（2023春·广西北海·高一统考期末）下列各角中，与2183角终边相同的是（）

A．23B．23C．47D．47

【答案】B

【详解】对于B，因为2183236360，所以角2183与角23的终边相同，B正确；

对于A，因为2183232206不是360的整数倍，所以它们的终边不同，A错误；

对于C，因为2183472230不是360的整数倍，所以它们的终边不同，C错误；

对于D，因为2183472136不是360的整数倍，所以它们的终边不同，D错误.

故选：B.

【典例2】（多选）（2023·全国·高一课堂例题）与457角终边相同的角的集合是（）

A．k360457,kZB．k36097,kZ

C．k360263,kZD．k360263,kZ

【答案】AC

【详解】与457终边相同的角可写为：k360457kZ，

97k360457kZ，2632360457，263k360457kZ，

与457角终边相同的角的集合为：k360457,kZ，A正确；k360263,kZ，C

正确.

故选：AC.

【变式1】（2023春·山东威海·高一统考期末）下列角的终边与60角的终边关于x轴对称的是（）

A．660B．660C．690D．690

【答案】A

【详解】由题意知，与60角的终边关于x轴对称的角为60360k,kZ.

当k2时，60720660，A正确.

经验证，其他三项均不符合要求.

故选：A.

【变式2】（2023春·高一课时练习）已知﹣990°＜α＜﹣630°，且α与120°角终边相同，则α=．

【答案】﹣960°．

【详解】试题分析：α与120°角终边相同，可表示为α=k•360°+120°，k∈Z，结合角的范围，可得结论．

解：α与120°角终边相同，∴α=k•360°+120°，k∈Z．

∵﹣990°＜k•360°+120°＜﹣630°，

∴﹣1110°＜k•360°＜﹣750°．又k∈Z，

∴k=﹣3，此时α=（﹣3）×360°+120°=﹣960°．

故答案为﹣960°．

题型03终边在某条直线上的角的集合

【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若角的终边在函数yx的图象上，试写出角的集合为．

【答案】{|k180135,kZ}

【详解】解：函数yx的图象是第二、四象限的平分线，在0～360范围内，以第二象限射线为终边的

角为135，以第四象限射线为终边的角为315，

∴的集合为{|k360135或k360315,kZ}{|k180135,kZ}．

故答案为：{|k180135,kZ}．

【典例2】（2023·全国·高一假期作业）写出终边在如图所示的直线上的角的集合．

【答案】答案见解析

【详解】（1）在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，

==，

又所有与0°角终边相同的角的集合为S1{β|β0k·360kZ}，

=+，

所有与180°角终边相同的角的集合为S2{β|β180k360kZ}，

===，

于是，终边在直线y＝0上的角的集合为SS1S2{β|βk·180kZ}．

（2）由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，

因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为

S={β|β=135+k·360，kZ}{β|β=315+k·360，kZ}={β|β=135+k·180，}．

（3）结合（2）知所求角的集合为S={β|β45+k·180，kZ}{β|β=135+k·180，kZ}={β|β=45+2k·90，

同理可得终边在直线y＝x、y=-x上的角的集合为{β|β=45+k·180，kZ}，

kZ}{β|β=45+2k1·90,kZ}={β|β=45+k·90,kZ}．

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线

y3x上，则角α的取值集合是

π

【答案】{|kπ,kZ}

3

2

【详解】直线y3x的倾斜角是，所以终边落在直线y3x上的角的取值集合为

3

π

{|kπ,kZ}

3

π

故答案为：{|kπ,kZ}

3

【变式2】（2023春·高一课时练习）在直角坐标系中写出下列角的集合：

(1)终边在x轴的非负半轴上；

(2)终边在yxx0上．

【答案】(1)k360,kZ；

(2)k36045,kZ.

【详解】（1）在0°～360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个，它是0°，

所以终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为k360,kZ.

（2）在0°～360°范围内，终边在y=x(x≥0)上的角有一个，它是45°，

所以终边在y=x(x≥0)上的角的集合为k36045,kZ.

题型04区域角

【典例1】（2023·全国·高一课堂例题）用弧度分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包

括边界）的角的集合．（如无特别说明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）

3ππππ

【答案】图12kπ2kπ,kZ；图2kπkπ,kZ

4362

3ππ

【详解】（1）225角的终边可以看作是135角的终边，化为弧度，即，60角的终边即的终边，

43

3ππ

所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为2kπ2kπ,kZ．

43

（2）与（1）类似可写出终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为

ππππ

2kπ2kπ,kZ2kππ2kππk,Z

6262

ππ

kπkπ,kZ．

62

【典例2】（2023秋·高一课时练习）写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．

(1)

(2)

【答案】(1)k360135k360300,kZ

(2)k18060k18045,kZ

【详解】（1）在0~360范围内，图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为135，终边在第四象限

的区域边界线所对应的角为300，

因此，阴影部分区域所表示的集合为k360135k360300,kZ；

（2）图中从第四象限到第一象限阴影部分区域表示的角的集合为

60k36045k360,kZ2k180602k18045,kZ，

图中从第二象限到第三象限阴影部分区域所表示的角的集合为

120k360225k360,kZ2k1180602k118045,kZ，

因此，阴影部分区域所表示角的集合为

2k180602k18045,kZ2k1180602k118045,kZ

k18060k18045,kZ.

ππ

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）集合kπkπ,kZ中的角所表示的范围(阴影部分)

42

是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

ππππ

【详解】当k2n(nZ)时，2nπ2nπ,nZ，此时表示的范围与表示的范围一样；

4242

ππππ

当k2n1(nZ)时，2nππ2nππ,nZ，此时表示的范围与ππ表示的范围

4242

一样，

故选：C．

【变式2】（2023秋·高一课时练习）已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围

2

是．

【答案】15k9052.5k90,kZ

22

【详解】终边在30角的终边所在直线上的角的集合为S130k180,kZ，

终边在18075105角的终边所在直线上的角的集合为S2105k180,kZ，

因此终边在题图中的阴影区域内的角的取值范围是30k180105k180,kZ，

所以角的取值范围是15k9052.5k90,kZ，

222

故答案为：15k9052.5k90,kZ

22

【变式3】（2023春·河南驻马店·高一校考阶段练习）用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括

边界）的角的集合.

3πππ

【答案】（1）2kπ2kπ,kZ；（2）nπnπ,nZ

4362

3ππ

【详解】（1）2kπ2kπ,kZ；

43

ππππ

（2）2kπ2kπ,kZ2kππ2kππ,kZ

6262

π

nπnπ,nZ.

62

题型05确定角的终边所在的象限

【典例1】（2023·全国·高一假期作业）已知为第二象限角，则所在的象限是（）

2

A．第一或第二象限B．第二或第三象限

C．第二或第四象限D．第一或第三象限

【答案】D

【详解】因为为第二象限角，则90k360180k360kZ，

所以，45k18090k180kZ，

2

①当k为奇数时，设k2n1nZ，则452n1180902n1180kZ，

2

即225n360270n360nZ，此时为第三象限角；

22

②当k为偶数时，设k2nnZ，则45n36090n360kZ，

2

此时为第一象限角.

2

综上所述，为第一或第三象限角.

2

故选：D.

【典例2】（多选）（2023春·江西宜春·高一校考阶段练习）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪

3

个象限的角（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】ACD

3

【详解】是第三象限的角，则2k,2k，kZ，

2

22

所以k,k，kZ；

33332

当k=3n,nZ，2n,2n,nZ，在第一象限；

332

7

当k=3n1,nZ，2n,2n,nZ，在第三象限；

36

511

当k=3n2,nZ，2n,2n,nZ，在第四象限；

336

所以可以是第一、第三、或第四象限角．

3

故选：ACD

【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知角第二象限角，且coscos，则角是（）

222

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

【答案】C

【详解】因为角第二象限角，所以90k360180k360kZ，

所以45k18090k180kZ，

2

当k是偶数时，设k2nnZ，则45n36090n360nZ，

2

此时为第一象限角；

2

当k是奇数时，设k2n1nZ，则225n360270n360nZ，

2

此时为第三象限角.；

2

综上所述：为第一象限角或第三象限角，

2

因为coscos，所以cos0，所以为第三象限角．

2222

故选：C．

【变式1】（2023春·江西抚州·高一资溪县第一中学校考期中）已知是第一象限角，那么（）

A．是第一、二象限角B．是第一、三象限角

22

C．是第三、四象限角D．是第二、四象限角

22

【答案】B

【详解】因为是第一象限角，

所以k36090k360，kZ，

所以k18045k180，kZ，

2

当k为偶数时，是第一象限角，

2

当k为奇数时，是第三象限角，

2

综上所述，第一、三象限角.

2

故选：B.

【变式2】（2023·高一课时练习）若是第三象限角，则所在的象限是（）

2

A．第一或第二象限；B．第三或第四象限；

C．第一或第三象限；D．第二或第四象限．

【答案】D

3

【详解】因为为第三象限角,即2k2k(kZ),

2

3

所以,kk(kZ),

224

当k为奇数时,是第四象限的角;

2

当k为偶数时,是第二象限的角.

2

故选:D.

【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）若角是第二象限角，试确定角2，是第几象限角．

3

【答案】2可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角；可能是第一象限角、第二象

3

限角或第四象限角

【详解】因为是第二象限角，所以90k360180k360(kZ)，

可得1802k36023602k360,kZ，

所以2可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．

又由k12030k12060,kZ，

3

当k3n,kZ时，n36030n36060,kZ，此时是第一象限角；

33

当k3n1,kZ时，n360150n360180,kZ，此时是第二象限角；

33

当k3n2,kZ时，n360270n360300,kZ，此时是第四象限角．

33

综上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．

3

题型06弧度制的概念

【典例1】（2023春·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当

大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是（）

544522

A．B．C．D．

115225

【答案】B

888844

【详解】由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，小链轮转过的弧度是2.

20205

故选B.

【典例2】（2023春·高一课时练习）下列说法正确的是（）

A．弧度的圆心角所对的弧长等于半径

B．大圆中弧度的圆心角比小圆中弧度的圆心角大

C．所有圆心角为弧度的角所对的弧长都相等

D．用弧度表示的角都是正角

【答案】A

【详解】对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中

1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所

对的弧长是不等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误．

考点：弧度制的概念.

【变式1】（2023·全国·高一专题练习）下列与45终边相同角的集合中正确的是（）

π

A．|2kπ45,kZB．|k360,kZ

4

7π

C．|2kππ,kZD．|kπ,kZ

44

【答案】C

【详解】因为角度值和弧度制不能混用，故A、B错误；

ππ7π

因为452π，故C正确；

444

πππ

对于选项D：因为kπkπ2kπ,kZ，

444

π

则kπ,kZ与45终边不相同，故D错误；

4

故选：C.

【变式2】（2023秋·高一课时练习）若5rad，则角的终边在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】A

3

【详解】由于25，

2

故角的终边在第一象限，

故选：A

题型07角度与弧度的互化

【典例1】（多选）（2023·全国·高一课堂例题）下列各角中，与角495终边相同的角为（）

3π5π9π13π

A．B．C．D．

4444

【答案】AB

3π

【详解】对于A，495360135，135，故A正确；

4

3π35π

对于B，与终边相同的角为2k，kZ，当k1时，，故B正确；

444

3π9π3

对于C，令2kπ，解得kZ，故C错误；

442

3π13π5

对于D，令2kπ，解得kZ，故D错误．

444

故选：AB.

【典例2】（2023·全国·高一课堂例题）把下列各角从度化为弧度：

(1)120；

(2)25．

2π

【答案】(1)rad

3

17π

(2)rad

120

π2π

【详解】（1）120120radrad；

1803

π17π

（2）253025.525.5radrad．

180120

1

【变式1】（2023秋·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）设r为圆的半径，弧长为r的圆弧所对的

2

圆心角为（）

A．90B．180C．270oD．360

【答案】A

【详解】由弧长、圆心角、半径的关系：lr，

1

1πr

弧长为πr的圆弧所对的圆心角：l21.

2π90

rr2

故选：A.

5π

【变式2】（2023秋·天津武清·高三校考阶段练习）化为角度是（）

12

A．60B．75C．115D．135

【答案】B

5π5

【详解】18075.

1212

故选：B

题型08用弧度表示角或范围

【典例1】（2023·全国·高一专题练习）写出一个与角1280终边相同的正角：（用弧度

数表示）.

8π8π

【答案】（答案不唯一，符合2kπ，kN即可）

99

【详解】与角1280终边相同的角：1280360k,kZ,

8π

又题目要求正角，k4,kZ,可取160o，化为弧度数为.答案不唯一

9

8π8π

故答案为：（答案不唯一，符合2kπ，kN即可）

99

【典例2】（2023春·江西赣州·高一校联考期中）已知1520.

(1)将写成2kπkZ,02π的形式，并指出它是第几象限角；

(2)求与终边相同的角，满足4π0．

14

【答案】(1)=π-10π，是第四象限角；

9

224π

(2)π或.

99

28014

【详解】（1）因280ππ，

1809

14

所以=π-10π.

9

3π14

因为π2π，所以是第四象限角.

29

1444

（2）=π-10π=-π+2π-10π=-π-8π，

999

4

所以与终边相同的角可表示为=-π+2kπ(kÎZ),

9

4162

令4ππ2kπ0，解得kkZ，

999

所以k1,0.

4π22

当k1时，2ππ；

99

4π

当k0时，.

9

224π

所以π或.

99

【变式1】（2023·全国·高一专题练习）将－1485°化成2k02,kZ的形式是（）

π77

A．8πB．8C．10D．10

4444

【答案】D

77

【详解】因3602rad，315rad，所以－1485°可化成10．

44

故选：D．

【变式2】（2023秋·江西宜春·高二校考开学考试）已知角1200.

(1)将改写成2kπkZ,02π的形式，并指出是第几象限的角；

(2)在区间2π,2π上找出与终边相同的角．

2π

【答案】(1)6π，第二象限角

3

2π4π

(2)和

33

12002π

【详解】（1）1200π6π，

1803

2π

因为为第二象限，所以是第二象限角；

3

2π

（2）与终边相同的角可以写出2kπ,kZ，

3

2π

由2kπ2π,2π，

3

2π

得当k0时，，

3

4π

当k1时，，

3

2π4π

所以在区间2π,2π上与终边相同的角为和．

33

题型09弧长公式

【典例1】（2023·全国·高一课堂例题）若扇形的面积是4cm2，它的周长是10cm，则扇形圆心角（正角）的

弧度数为（）

1π1π

A．B．C．D．

2244

【答案】A

1

r24

【详解】设扇形的半径为r，圆心角为(02π)，由题意，得2，

2rr10