高一数学必修第一册同步学与练（人教A版）第06讲 正弦及余弦函数的性质（解析版）

第06讲5.4.2正弦函数、余弦函数的性质

课程标准学习目标

①结合正弦函数、余弦函数的图象掌握

正、余弦函数的性质。

②会求正、余弦函数的周期，单调区间、对会求正、余弦函数的最小正周期，单调区间，对称点，

称点、对称轴及最值，及结合函数的图象会对称区间，会求两类函数的最值.

求函数的解析式，并能求出相关的基本量。

知识点01：函数的周期性

1.周期函数的定义

一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个xD,都有xTD,且

f(xT)f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.

2.最小正周期的定义

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

π

【即学即练1】（2023春·天津红桥·高一统考期末）函数fx3sinx0的最小正周期为π，则

6

.

【答案】2

2π

【详解】fx的最小正周期Tπ，2.

故答案为：2.

知识点02：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

函数奇偶性

f(x)sinx奇函数

f(x)cosx偶函数

f(x)Asin(x)当xk时，f(x)Asin(x)为奇函数；

当xk时，f(x)Asin(x)为偶函数；

2

f(x)Acos(x)

当xk时，f(x)Acos(x)为奇函数；

2

当xk时，f(x)Acos(x)为偶函数；

ππ

【即学即练2】（2023秋·高一课时练习）已知函数fxcosx0的最小正周期为，则

66

.

【答案】12

2π2ππ

【详解】由于0，依题意可知T12.

6

故答案为：12

知识点03：正弦、余弦型函数的常用周期

函数最小正周期

f(x)Asin(x)b或g(x)Acos(x)b（bR）2

T

||

f(x)|Asin(x)|或g(x)|Acos(x)|

T

||

f(x)|Asin(x)b|或g(x)|Acos(x)b|2

T

（b0）||

f(x)sin|x|无周期

g(x)cos|x|T2

【即学即练3】（2023秋·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）函数f(x)|sinx||cosx|的最小正周期

为.

1

【答案】/

22

πππ

【详解】由诱导公式可知，f(x)|sin(x)||cos(x)||cosx||sinx|f(x)，

222

ππ

当0时，f(x)|sin(x)||cos(x)|与f(x)不恒相等，故f(x)的最小正周期为，

22

π

故答案为：

2

知识点04：正弦函数、余弦函数的图象和性质

函数f(x)sinxg(x)cosx

图象

定义域

定义域RR

值域[1,1][1,1]

周期性T2T2

奇偶性奇函数偶函数

单调性在每一个闭区间[2k,2k]

在每一个闭区间[2k,2k](kZ)上都

22(kZ)上都单调递增;在每一个闭区

单调递增;在每一个闭区间

间[2k,2k](kZ)上都单调递

3

[2k,2k](kZ上都单调递减减

22

最值当x2k(kZ)时，y1;

当x2k(kZ)时，y1;max

2max

当x2k(kZ)时，

当x2k(kZ)时，ymin1;y1;

2min

图象的对称对称中心为(k,0)(kZ),

对称中心为(k,0)(kZ),

性2

对称轴为直线xk(kZ)

2对称轴为直线xk(kZ)

π

【即学即练4】（2023·全国·高三专题练习）y＝cos2x的单调递减区间为.

3

π2π

【答案】kπ，kπkZ

63

ππ

【详解】因为ycos2xcos2x，

33

ππ2π

所以由2kπ2xπ2kπ得，kπxkπ，kZ，

363

π2π

即所求单调递减区间为kπ,kπkZ.

63

π2π

故答案为：kπ,kπkZ.

63

题型01三角函数的周期问题及简单应用

【典例1】（2023秋·高一课时练习）下列函数，最小正周期为2π的是（）

x

A．ysinB．ysin2x

2

x

C．ysinD．ysin2x

2

【答案】C

2π

xT4π

【详解】函数ysin的最小正周期为1，故A不符合；

2

2

2π

函数ysin2x，其最小正周期为Tπ，故B不符合；

2

xx

因为函数ysin的最小正周期为T4π，所以函数ysin的最小正周期为2π，故C符合；

22

2ππ

因为函数ysin2x的最小正周期为Tπ，所以函数ysin2x的最小正周期为，故D不符合.

22

故选：C.

【典例2】（多选）（2023秋·河北秦皇岛·高二校考开学考试）下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的

函数是（）

A．ysin2xB．ysinx

3ππ

C．ycos2xD．ysin2x

22

【答案】AC

【详解】对于A，函数yfx=sin2x满足yfx=sin2xsin2xfx，

且yfx2sinx的定义域为R关于原点对称，即yfx2sinx是奇函数，

2π2π

且注意到其周期为Tπ，故A正确；

2

对于B：函数yfxsinx满足yfxsinxsinxfx，

且yfxsinx的定义域为R关于原点对称，

所以yfxsinx是偶函数，不是奇函数，故B错误；

3ππ

对于C：ycos2xcos2xsin2x，

22

由A选项分析易知yfx=sin2x是奇函数，

同时也是最小正周期是π的周期函数，故C正确；

π

对于D：函数yfx=sin2xcos2x满足fx=cos2xcos2xfx，

2

且yfx=cos2x的定义域为R关于原点对称，

所以yfx=cos2x是偶函数，不是奇函数，故D错误．

故选：AC．

【典例3】（2023秋·高一课时练习）求下列函数的最小正周期．

π

(1)ysin3x；

3

π

(2)ycos2x.

6

2π

【答案】(1)

3

π

(2).

2

2ππππ

【详解】（1）因为sin3xsin3x2πsin3x，

3333

2ππ

所以自变量x至少要增加到x，函数ysin3x，xR的值才能重复出现，

33

π2π

所以函数ysin3x的最小正周期是.

33

πππ

（2）因为ycos2x的最小正周期为π，且函数ycos2x的图象是将函数ycos2x的图象

666

在x轴下方的部分对折到x轴上方，

并且保留在x轴上方图象而得到的．

π

由此可知所求函数的最小正周期为T.

2

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，最小正周期为π的函数是（）

A．ysinxB．ycosx

C．ycosxD．ysinx

【答案】B

【详解】对于A，函数ysinx的最小正周期为2π，故A不符合题意；

对于B，作出函数ycosx的图象，

由图可知，函数ycosx的最小正周期为π，故B符合题意；

对于C，函数ycosx的最小正周期为2π，故C不符合题意；

sinx,x0

对于D，函数ysinx，其图象如图，

sinx,x0

由图可知，函数ysinx不是周期函数，故D不符合题意.

故选：B.

【变式2】（多选）（2023·全国·高一假期作业）下列函数中，是周期函数的是（）

A．ycosxB．ycosx

C．ysinxD．ysinx

【答案】ABC

【详解】对于A，cosxπcosxcosx，y＝cosx的最小正周期为π；

对于B，cosxcosxcosx，ycosx的最小正周期为2π；

对于C，sinxπsinxsinx，ysinx的最小正周期为π；

sinx,x0

对于D，∵ysinx，∴函数图象关于y轴对称，不具有奇偶性，故错误.

sinx,x0

故选：ABC

【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）求下列函数的最小正周期．

1π

(1)fxcos2x；

23

(2)f(x)|sinx|．

【答案】(1)最小正周期为π．

(2)最小正周期为π．

1π

【详解】（1）∵fxcos2x，∴2．

23

2π2π

又最小正周期Tπ，

2

1π

∴函数fxcos2x的最小正周期为π．

23

（2）画出函数y|sinx|的图象，如图所示，

由图象可知，函数f(x)|sinx|的最小正周期为π．

题型02三角函数的奇偶性及其应用

【典例1】（2023春·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）已知函数fxcosx，则

是fx为奇函数的（）

2

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

π

【详解】时，可得fxcosxsinx，定义域为R，

22

此时fxsinxsinxfx，

故fx为奇函数，故充分性成立，

π

而当fx为奇函数时，得kπ,kZ，故不一定为，故必要性不成立，

22

是fx为奇函数的充分不必要条件.

2

故选：B

【典例2】（多选）（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知函数fxsinx0

为偶函数，则的取值可以为（）

π3π2023π

A．B．πC．D．

222

【答案】ACD

π

【详解】fxsinx0为偶函数，因此f(x)cosx或f(x)cosx．所以kπ,kZ，

2

故A,C,D正确，

故选：ACD.

2π

【典例3】（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知函数fxxcos2x，0,π是奇函数，

3

则的值为．

55

【答案】/

66

π

【详解】∵y=x2为偶函数，所以gxcos2x，0,π为奇函数，

3

ππ5π

∴kπ,kπ，kZ，

326

5π

∵0,π，∴．

6

5π

故答案为：

6

πxx

【典例4】（2023·贵州·校联考模拟预测）若函数fxsinxmee为偶函数，则m的最小正值

6

为.

22

【答案】/

33

πxx

【详解】函数fx的定义域为R，fxsinxmee为偶函数，

6

πxxπxx

则fxfx，即sinxmeesinxmee，

66

πππ

则sinxmsinxm，即ysinxm是偶函数，

666

ππ2π2π

可知mkπ，kZ，即mkπ，kZ，故m取最小正值为.

6233

2π

故答案为：.

3

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）使函数fx3sin2xcos2x为奇函数，则的一个值

可以是（）

ππππ

A．B．C．D．

3636

【答案】D

π

【详解】由函数fx3sin2xcos2x2sin(2x)，

6

ππ

因为fx为奇函数，可得kπ,kZ，所以kπ,kZ，

66

π

令k0，可得－.

6

故选：D.

【变式2】（多选）（2023秋·江西抚州·高二江西省乐安县第二中学校考开学考试）若函数

π

fx3sin2x是偶函数，则的值不可能为（）

6

ππ2π5π

A．B．C．D．

6236

【答案】ABD

π

【详解】由函数fx3sin2x是偶函数，可得f03，即sin1，

66

ππ2π

则k,kZ，解得kπ,kZ，

623

2πππ5π

当k0时，可得，无论k取何值，都不可能等于或或．

3626

故选：ABD．

2

x1sinx

【变式3】（2023秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）设函数fx的最大值为a，最小值为b，

x21

则ab.

【答案】2

x212xsinx2xsinx

【详解】fx1，

x21x21

2xsinx2xsinx

令gx1fx，易知xR，gxgxgx0，即gx为奇函数，

x21x21

所以

gxmax1fxmin1b,gxmin1fxmax1a,

结合奇函数性质有

gxmaxgxmin01a1bab2.

故答案为：2

π

【变式4】（2023·河北沧州·校考模拟预测）若函数fxcos2x0为奇函数，则的最小值

6

为.

π

【答案】

3

π

【详解】因为函数fxcos2x0为R上的奇函数，

6

ππππ

所以f0cos0，所以kπ,kZ，所以kπ,kZ，

6623

π

又0，所以的最小值为.

3

π

故答案为：

3

题型03函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题

【典例1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知fxsinxN*,0π是R

ππ

上的奇函数，且fx在区间,上是单调函数，则的最大值为（）

2211

A．3B．4C．5D．6

【答案】C

【详解】函数fxsinxN*,0π是R上的奇函数，

则sin0，所以kπ，kZ，又0π，所以π，

ππππ

则fxsinxπsinx，当x,，则x,，

22112211

ππ

ππ22211

又fx在区间,上是单调函数，所以，解得，又N*，

2211ππ

2

112

所以则的最大值为5.

故选：C.

π

【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知fxcosx0,，且yfx的最小正周期

2

为2.若存在m0，使得对于任意xR，都有fxmmfx，则为（）

ππππ

A．B．C．D．

4433

【答案】A

2ππ

【详解】由已知条件可得fx的最小正周期为4，所以.

42

由fxmmfx,得cosxmmcosx，

因为存在m0，使得对于任意xR，都有fxmmfx，所以m1，

1

所以fx1fx，得到函数fx关于直线x对称，

2

ππ

故kπkπkZ，

44

ππ

又，所以.

24

故选:A.

【典例3】（2023秋·山西·高三统考期末）写出一个同时满足下列三个条件的函数fx的解析式.

33

①f1xf1x；②fxfx；③fx在0,1上单调递增.

22

【答案】fxcosπx（答案不唯一，满足条件即可）

【详解】解：由①f1xf1x可知，函数fx图像关于直线x1对称；

333

由②fxfx可知函数fx图像关于点,0对称；

222

所以，f2xf1xf1x，即f1xfx，

所以f2xfx1fx，即函数fx的周期为2，

故考虑余弦型函数，不妨令fxAcosx，

2π

所以，π，即fxAcosπx，满足性质①②，

T

由③fx在0,1上单调递增可得A0，

故不妨取A1，即fxcosπx，此时满足已知三个条件.

故答案为：fxcosπx

【变式1】（2023·高一课时练习）已知fxsinx0,0是R上的奇函数，若fx的图象

关于直线x对称，且fx在区间,内是单调函数，则f（）

422116

3113

A．B．C．D．

2222

【答案】A

【详解】因为fxsinx0,0是R上的奇函数，则，

所以，fxsinxsinx，

因为fx的图象关于直线x对称，则kkZ，可得4k2，

442

当x,时，x，

22112211

11211

因为函数fx在区间,内是单调函数，则，解得0，

2211

2

222

3

所以，k0，2，故fxsin2x，因此，fsin.

632

故选：A.

【变式2】2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知函数f(x)2cos(x)b(0)满足

πππ

fxfx，且f(0)7,f5，则b（）

888

A．3B．3或7C．5D．7

【答案】D

πππ

【详解】由题意，函数fx满足fxfx，可得x是函数fx的一条对称轴，

888

ππ

所以2cos()2，即cos()1，

88

ππππ

即kπ,kZ，所以kπ,kZ

822811

π

又由f5，可得2b5或2b5，即b3或b7，

8

因为f(0)7，可得f(0)2cosb7，所以2cos7b，

当b3时，可得2cos4，即cos21，（不符合题意，舍去）；

π

当b7时，可得2cos0，即cos0，解得kπ,kZ，

222

πππ

如：k0,k1时，可得，解得8，符合题意，

12282

所以b7.

故选：D.

【变式3】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数fx满足f1xf1x0，

函数gxfxsinx0，若函数ygx1为奇函数，则的值可以为（）

3

A．B．C．D．

422

【答案】BD

【详解】解：因为f1xf1x0，所以fx关于点1,0对称，

要使gx1fx1sinx1为奇函数，因为fx1关于点0,0对称，为奇函数，

所以只需使ysinx1sinx为偶函数即可，所以k,kZ，

2

故符合题意的有B、D；

故选：BD

【变式4】（2023·全国·高三专题练习）某函数f(x)满足以下三个条件：

①g(x)f(x)1是偶函数；②g(2x)g(x)0；③f(x)的最大值为4．

请写出一个满足上述条件的函数f(x)的解析式．

π

【答案】fx3cosx1（答案不唯一）

2

【详解】因为g(x)f(x)1是偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，

因为g(2x)g(x)0，所以f(2x)1f(x)10，即f(2x)f(x)2

所以f(x)的图象关于点(1,1)对称，所以4为f(x)的一个周期，

π

又f(x)的最大值为4，所以fx3cosx1满足条件.

2

π

故答案为：fx3cosx1（答案不唯一）

2

题型04求三角函数的单调区间

πππ

【典例1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数fx2cos3x，x,，则fx的单调递

422

增区间是（）

πππ

A．,0B．,

2412

πππ5πππ5ππ

C．,，,D．,，,

241212412122

【答案】D

ππ

【详解】fx2cos3x可化为fx2cos3x，故单调增区间：

44

π

2kππ3x2kπ，kZ，

4

2π2π

解得kπxkπ，kZ.

34312

ππ53

令k0，x，令k1，πxπ.

412124

ππ

x,，

22

ππ5ππ

所以fx的单调递增区间是,,,.

412122

故选：D

【典例2】（2023·高一单元测试）函数y2sin2x,x[,0]单调减区间为

6

5

【答案】,

63

3

【详解】正弦函数ysinu的单调递减区间为2k,2kkZ，

22

32

由2k2x2kkZ，得kxkkZ，

26263

25

记Ak,kkZ，则AI,0,，

6363

5

故答案为：,.

63

π

【典例3】（2023·全国·高一课堂例题）用“五点法”作出函数y2sinx3的图象，并指出它的最小正

3

周期、最值及单调区间.

511

【答案】图象见解析，最小正周期为2π，最大值为5，最小值为1，减区间为2kππ,2kππ，kZ，

66

π5

增区间为2kπ,2kππ，kZ

66

【详解】①列表如下：

π54117

xππππ

36363

π3

x0ππ2π

322

y35313

②描点.

π

③连线成图，将这个函数在一个周期内的图象向左、右两边扩展即得y2sinx3的图象.如图所示.

3

函数的最小正周期T2π，最大值为5，最小值为1，

511π5

函数的减区间为2kππ,2kππ，kZ，增区间为2kπ,2kππ，kZ.

6666

π

【变式1】（2023秋·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）已知函数fxsin2x，

3

π

则fx在0,上的单调递增区间为（）

2

π5π

A．0,B．0,

212

5ππππ

C．,D．,

12232

【答案】B

πππ2π

【详解】当x0,时，2x,，

2333

πππ5π

所以当2x,，即x0,时，函数fx单调递增．

33212

故选：B.

π

【变式2】（2023·全国·高三专题练习）y＝cos2x的单调递减区间为.

3

π2π

【答案】kπ，kπkZ

63

ππ

【详解】因为ycos2xcos2x，

33

ππ2π

所以由2kπ2xπ2kπ得，