2025年中考数学自主专题集训 专题十二　正方形中的构图

中考数学自主专题集训专题十二正方形中的构图一、选择题1．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，连结CE，则∠E的度数是()A．25°B．45°C．67.5°D．75°第1题图2．如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠CAB交DC的延长线于点E，交BC于点F，则eq\f(CF,BF)的值为()A．eq\r(2)B．eq\f(\r(2),2)C．2D．eq\f(1,2)第2题图3．四张正方形纸片如图放置，知道下列哪两个点之间的距离，可求最大正方形与最小正方形的面积之和()A．点K，FB．点K，EC．点C，FD．点C，E第3题图4．如图，四边形ABCD是正方形，点E在AD上，连结BE，过点A作BE的垂线交CD于点F，点G为垂足，下列选项中的结论，不正确的是()A．AE＝DFB．∠DFA＝∠AEBC．AG＝GFD．S△ABG＝S四边形EGFD第4题图5．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M在AD边上，连结OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N.若四边形MOND的面积是4，则AB的长为()A．eq\r(2)B．2C．4D．86．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB和BC边的中点，连结DE，AF交于点P，连结CP和DF，若∠BCP＝α，则∠CPF的度数为(A)A．45°－eq\f(α,2)B．45°＋eq\f(α,2)C．90°－αD．90°－2α二、填空题7．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点H.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为3∶4，则△BCH的周长为_______________．8．在直线l上依次摆放着7个正方形，已知斜放置的3个正方形的面积分别是a，b，c，正放置的4个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4的值为____________．9．如图，在正方形ABCD中，点E为边BA延长线上一点，点F在边BC上，且AE＝CF，连结DF，EF，若∠DFC＝α，则∠AEF＝___________．10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作射线OM，ON分别交边BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，连结EF.给出下面四个结论：①△BOE≌△COF；②CF＝BE；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的eq\f(1,4)；④BE2＋CE2＝OE2.其中，所有正确结论的序号是____________．三、解答题11．如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连结ED，DF，BE，BF.求证：四边形BEDF为菱形．12．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为6，大正方形的面积为23，直角三角形中短直角边长为a，较长直角边长为b，求(a＋b)2的值．13．2024·长沙模拟如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连结BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD.(1)求证：BE＝MN.(2)若AB＝8，AE＝6，求BM的长．【参考答案】一、选择题1．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，连结CE，则∠E的度数是(C)A．25°B．45°C．67.5°D．75°第1题图2．如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠CAB交DC的延长线于点E，交BC于点F，则eq\f(CF,BF)的值为(A)A．eq\r(2)B．eq\f(\r(2),2)C．2D．eq\f(1,2)第2题图3．四张正方形纸片如图放置，知道下列哪两个点之间的距离，可求最大正方形与最小正方形的面积之和(C)A．点K，FB．点K，EC．点C，FD．点C，E第3题图4．如图，四边形ABCD是正方形，点E在AD上，连结BE，过点A作BE的垂线交CD于点F，点G为垂足，下列选项中的结论，不正确的是(C)A．AE＝DFB．∠DFA＝∠AEBC．AG＝GFD．S△ABG＝S四边形EGFD第4题图5．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M在AD边上，连结OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N.若四边形MOND的面积是4，则AB的长为(C)A．eq\r(2)B．2C．4D．8【解析】过点O作OE⊥AD于点E，OF⊥CD于点F，如图，则∠OEM＝∠OFN＝∠OFD＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴OA＝OD＝OC，∠ADC＝90°，∴AE＝DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)CD＝DF，∴四边形OEDF为正方形，∴OE＝OF，∠EOF＝90°.∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∴△OEM≌△OFN(ASA)，∴正方形OFDE的面积等于四边形MOND的面积，∴DE2＝4，∴DE＝2(负值已舍去)，∴AB＝AD＝2DE＝4.6．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB和BC边的中点，连结DE，AF交于点P，连结CP和DF，若∠BCP＝α，则∠CPF的度数为(A)A．45°－eq\f(α,2)B．45°＋eq\f(α,2)C．90°－αD．90°－2α【解析】延长AF，DC交于点G，如图．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠DAE＝∠B＝90°.∵E，F分别是AB，BC的中点，∴AE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)BC＝BF，∴△DAE≌△ABF(SAS)，∴∠ADE＝∠BAF.∵∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠BAF＋∠AED＝90°，∴∠APE＝90°＝∠DPG.∵∠B＝∠GCF＝90°，BF＝CF，∠AFB＝∠GFC，∴△ABF≌△GCF(ASA)，∴AB＝CG，∴CG＝CD，∴CP为Rt△DPG斜边上的中线，∴CP＝eq\f(1,2)DG＝CG，∴∠CPF＝∠G.∵∠CPF＋∠G＋∠PCG＝180°，∴∠CPF＋∠CPF＋(α＋90°)＝180°，∴∠CPF＝45°－eq\f(α,2).二、填空题7．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点H.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为3∶4，则△BCH的周长为__2eq\r(6)＋4__．【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝AB＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，∴S正方形ABCD＝16.∵S阴影∶S正方形ABCD＝3∶4，∴S阴影＝eq\f(3,4)×16＝12，∴S空白＝16－12＝4.在△BCE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\a\vs4\al\co1(BC＝CD，,∠BCE＝∠D，,CE＝DF，))))∴△BCE≌△CDF(SAS)，∴S△BCH＝S四边形EDFH＝2，∠HBC＝∠DCF.∵∠DCF＋∠HCB＝90°，∴∠HBC＋∠HCB＝90°，∴∠BHC＝90°，∴BH2＋CH2＝BC2＝16，BH·CH＝4，∴(BH＋CH)2＝BH2＋CH2＋2BH·CH＝16＋2×4＝24，∴BH＋CH＝2eq\r(6)，∴△BCH的周长为BH＋CH＋BC＝2eq\r(6)＋4.8．在直线l上依次摆放着7个正方形，已知斜放置的3个正方形的面积分别是a，b，c，正放置的4个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4的值为__a＋c__．9．如图，在正方形ABCD中，点E为边BA延长线上一点，点F在边BC上，且AE＝CF，连结DF，EF，若∠DFC＝α，则∠AEF＝__α－45°__．【解析】如图，连结ED，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠DAB＝∠DCF＝∠ADC＝90°，∴∠DAE＝∠DCF＝90°.在△AED和△CFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝CF，,∠DAE＝∠DCF，,AD＝CD，))∴△AED≌△CFD(SAS)，∴∠DEA＝∠DFC＝α，∠ADE＝∠CDF，DE＝DF.∵∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠ADE＋∠ADF＝90°，即∠EDF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF＝45°，∴∠AEF＝∠DEA－∠DEF＝α－45°.10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作射线OM，ON分别交边BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，连结EF.给出下面四个结论：①△BOE≌△COF；②CF＝BE；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的eq\f(1,4)；④BE2＋CE2＝OE2.其中，所有正确结论的序号是__①②③__．【解析】①∵四边形ABCD为正方形，对角线AC，BD相交于点O，∴OB＝OC＝OD，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BCD＝90°，∠BOC＝90°，∴∠BOE＋∠COE＝90°.∵∠EOF＝90°，∴∠COE＋∠COF＝90°，∴∠BOE＝∠COF.在△BOE和△COF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠OBE＝∠OCF，,OB＝OC，,∠BOE＝∠COF，))∴△BOE≌△COF(ASA)，故结论①正确；②由①知△BOE≌△COF，∴CF＝BE，故结论②正确；③由①知△BOE≌△COF，∴S△BOE＝S△COF，∴S四边形CEOF＝S△COF＋S△OCE＝S△BOE＋S△OCE＝S△OBC.∵四边形ABCD为正方形，∴S△BCD＝eq\f(1,2)S正方形ABCD.∵OB＝OD，∴S△OBC＝eq\f(1,2)S△BCD＝eq\f(1,4)S正方形ABCD，∴S四边形CEOF＝eq\f(1,4)S正方形ABCD，故结论③正确；④由②知CF＝BE，在Rt△CEF中，由勾股定理得，CF2＋CE2＝EF2，∴BE2＋CE2＝EF2，在Rt△OEF中，EF为斜边，∴EF＞OE，∴EF2＞OE2，∴BE2＋CE2＞OE2，故结论④不正确，综上所述，正确的结论是①②③.三、解答题11．如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连结ED，DF，BE，BF.求证：四边形BEDF为菱形．证明：如图，连结BD交AC于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OD，OA＝OC.∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴平行四边形BEDF是菱形．12．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为6，大正方形的面积为23，直角三角形中短直角边长为a，较长直角边长为b，求(a＋b)2的值．解：由题意得a2＋b2＝23，(b－a)2＝6，∴b2－2ab＋a2＝6，∴2ab＝a2＋b2－6＝23－6＝17，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝23＋17＝40.13．2024·长沙模拟如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连结BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD.(1)求证：BE＝MN.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，AB∥CD，∠A＝∠D＝90°.又∵MF∥AD，∴四边形AMFD为矩形，∴∠MFD＝∠MFN＝90°，∴AD＝MF，∴AB＝MF.∵BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，∴∠FMN＋∠BMO＝∠BMO＋∠MBO＝90°，∴∠FMN＝∠MBO.在△ABE和△FMN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠MFN，,A