江苏省无锡市锡山高级中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页江苏省无锡市锡山高级中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设函数f(x)在x=x0处存在导数为2，则limΔx→0A.1 B.2 C.12 D.2.一批产品共有7件，其中4件正品，3件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则P(X=1)=(

)A.1235 B.1835 C.3143.(1x−x)A.−225 B.−252 C.252 D.2254.稀土被誉为工业的维生素，具有无法取代的优异磁、光、电性能，对改善产品性能，增加产品品种，提高生产效率起到了巨大的作用.右表是2024年前5个月某国稀土出口均价y(单位：万元/吨)与月份x的统计数据.若y与x的线性回归方程为y=−0.12x+2.2，则t的值为(

)x12345y1.72.42.01.6tA.1.4 B.1.5 C.1.6 D.1.75.函数f(x)=ax3+bx2A.a<0，b<0，c<0，d>0

B.a<0，b<0，c>0，d>0

C.a<0，b>0，c<0，d>0

D.a>0，b>0，c>0，d>06.已知(2−x)2025=a0A.22025 B.24050 C.1 7.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f(x)+xf′(x)<0，则不等式xf(x2)>f(x)的解集是A.(−∞,0] B.(−1,0] C.(−∞,1) D.[0,1)8.依次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正六面体骰子两次，设事件A=“第一次出现的点数是奇数”，B=“第一次出现的点数是1”，M=“两次的点数之和为奇数”，N=“两次的点数之和为7”，则下列结论错误的是(

)A.A与N相互独立 B.B与M相互独立 C.B与N相互独立 D.M与N相互独立二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.从50个个体中随机抽取一个容量为30的样本，则每个个体被抽到的概率为0.6

B.两个变量相关性越强，则相关系数r越接近1

C.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，模型的拟合效果越好

D.已知随机变量ξ～N(2,σ2)，且10.一只口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中有红球1个，白球2个，黑球3个，分别从中用两种不同方式摸出3个球，方式一：依次有放回；方式二：依次无放回，则(

)A.按方式一，摸出是同一种颜色球的概率为18

B.按方式一，设摸出黑色球的个数为X，则方差D(X)=34

C.按方式二，在摸出两种不同颜色的球的条件下，摸出2黑1白的概率为613

D.若按方式一、二等可能，抽签决定，则最终摸出211.已知直线y=kx与曲线y=lnx相交于不同两点M(x1,y1)，N(x2,y2)A.0<k<1e B.x1x2x0为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x+2y)7的展开式中x513.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=23，P(B)=12，P(A−14.已知a>0，若不等式ex−a+1−2xa≥b对任意实数x四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

在二项式(14x−1)n的展开式中，已知第3项与第8项的二项式系数相等．

16.(本小题12分)

甲、乙两家公司到某大学进行招聘，通过对毕业生进行笔试、面试、模拟演练这三项程序后直接签约一批毕业生.已知三项程序分别由三个部门独立依次考核，且互不影响，当三项程序全部通过即可签约.假设该大学100名毕业生参加甲公司招聘的具体情况如下表(不存在通过三项程序考核后放弃签约的现象)．性别参加考核但未能签约的人数参加考核并能签约的人数合计男生20女生50合计30100该校的小张准备参加两家公司的招聘，小张通过甲公司的每项程序的概率均为12，通过乙公司的每项程序的概率依次为12，a，23，其中0<a<1．

(1)完成2×2列联表，根据小概率值α=0.001的独立性检验，判断这100名毕业生参加甲公司的招聘能否签约与性别是否有关；

(2)若小张通过甲、乙两公司程序的项数分别记为X，Y.当E(X)=E(Y)时，求小张参加乙公司招聘并能成功签约的概率．

附：χ2α0.1000.0500.0250.001χ2.7063.8415.02410.82817.(本小题12分)

已知函数f(x)=ex−x2．

(1)证明：f(x)在定义域上不存在极值；

(2)若f(x)≥mx+1在18.(本小题12分)

已知某商店出售商品A，据统计分析，发现顾客对商品A的需求量相对稳定，每周内对商品A的不同需求量(单位：个)与概率的数据如下：对A的需求量0123概率P1111若以商品A的库存作为供给量，为了改善经营，该商店决定每周末对商品A进行盘点存货：如果商品A都售出了，则在周末及时采购2个新的商品，只要商品A还有1个存货，就不采购新的商品.记Xn为该商店第n周开始时商品A的供给量，假设X1=2．

(1)求X3的分布列；

(2)记φn=(P(Xn=1),P(Xn=2))为第n周开始时供给量Xn的概率向量，随着n的增大，若φn+1=φn，则19.(本小题12分)

已知函数f(x)=2mlnx−x+1x(m>0)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明：(1+122)(1+132)(1+答案和解析1.【答案】C

【解析】解：因为函数f(x)在x=x0处存在导数为2，

所以f′(x0)=2，

所以limΔx→0f(x02.【答案】B

【解析】解：一批产品共有7件，其中4件正品，3件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，

恰好取出一件不合格产品的基本事件数为：C31C42=18，

从7件产品中取出3件产品的基本事件数为：C73=35，

∴P(X=1)=1835．

3.【答案】B

【解析】解：二项式(1x−x)10的展开式通项为：Tr+1=C10r1x10−r(−x)r=(−1)rC10rx2r−10，4.【答案】B

【解析】解：x−=1+2+3+4+55=3，

y与x的线性回归方程为y=−0.12x+2.2，线性回归方程过样本中心点(x−,y−)，

故y−=−0.12x−+2.2=−0.12×3+2.2=1.84，5.【答案】A

【解析】解：根据题意，由函数图象，f(x)存在两个极值点，设两个极值点分别为m、n，且m<n<0，

f′(x)=3ax2+2bx+c，

在区间(−∞,m)上，f(x)为减函数，此时f′(x)<0，

在区间(m,n)上，f(x)为增函数，此时f′(x)>0，

在区间(n,+∞)上，f(x)为减函数，此时f′(x)<0，

则f′(x)=3ax2+2bx+c是开口向下的二次函数，3a<0，f′(x)=0有两个根，即x=m和x=n，

则有m+n=−2b3a<0mn=c3a>0，则有b<0，c<0，

函数f(x)与y轴交点在x轴上方，则有f(0)=d>0．

故选：A．

根据题意，设函数f(x)的两个极值点分别为m、n，且m<n<0，求出f′(x)，结合二次函数的性质分析a、b、6.【答案】B

【解析】解：令t=x+1得x=t−1，则(2−x)2025=(3−t)2025=a0+a1t+a2t2+⋯+a2025t2025，

因为|a07.【答案】C

【解析】解：因为f(x)+xf′(x)<0，所以f(0)<0，

令g(x)=xf(x)，则g′(x)=f(x)+xf′(x)<0，所以g(x)在R上单调递减，

不等式xf(x2)>f(x)，

当x=0时，0>f(0)，即xf(x2)>f(x)成立；

当x>0时，等价于x2f(x2)>xf(x)，即g(x2)>g(x)，

所以x>0x2<x，解得0<x<1；

当x<0时，等价于x2f(x2)<xf(x)，即g(x2)<g(x)，

所以x<08.【答案】D

【解析】解：由题意P(A)=12,P(B)=16,P(M)=C21×12×12=12，

当两次分别为3，4或1，6或2，5时，两次的点数之和为7，

∴P(N)=3×C21×16×16=16，

对A，P(AN)=16×16+16×16+16×16=112，∴P(A)P(N)=12×9.【答案】ACD

【解析】解：对于A：从50个个体中随机抽取一个容量为30的样本，每个个体被抽到的概率P=3050=0.6，故A正确；

对于B：两个变量相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近1，故B错误；

对于C：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，

说明预测值与实际值越接近，模型的拟合效果越好，故C正确；

对于D：正态分布密度曲线关于x=2对称，P(ξ>4)=P(ξ<0)=1−0.8=0.2，

所以P(0<ξ<4)=P(ξ<4)−P(ξ<0)=0.8−0.2=0.6，故D正确．

故选：ACD．

根据简单随机抽样的定义判断A，根据相关系数的性质判断B，根据回归分析判断C，根据正态分布的性质判断D10.【答案】BC

【解析】解：对于A，按方式一，摸球一次，摸到红球的概率为16，摸到白球的概率为13，摸到黑球的概率为12，

则三次全摸红球的概率为16×16×16=1216，

三次全摸白球的概率为13×13×13=127，

三次全摸黑球的概率为12×12×12=18，

所以摸出是同一种颜色球的概率为18+127+1216=16，故A错误；

对于B，由题，按方式一摸出黑球的个数X～B(3,12)，

所以D(X)=np(1−p)=3×12×(1−12)=34，故B正确；

对于C，按方式二，已知共有两种不同颜色的球的概率为1−(C33C63+C11C11.【答案】ACD

【解析】解：对于A，令f(x)=lnxx，则f′(x)=1−lnxx2，

x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，0<x<e时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以f(x)≤f(e)=1e，且x>e时，f(x)>0，

因为直线y=kx与曲线相交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，

所以f(x)=lnxx(x>0)与y=k图象有2个交点，所以0<k<1e，故A正确；

对于B，y′=1x，不妨设1<x1<e<x2，可得kx1=lnx1，kx2=lnx2，

y=lnx在点M，N处的切线程分别为y−lnx1=1x1(x−x1),y−lnx2=1x2(x−x2)，

y0−lnx1=1x1(x0−x1)y0−lnx2=1x2(x0−x2)得，lnx2−lnx1=x0x1−x0x2，

即x0=lnx2−lnx11x1−1x2=x1x2lnx2−lnx1x2−x1，

因为k=lnx2−lnx1x2−x1，所以x0=kx1x2，即k=12.【答案】84

【解析】解：(x+2y)7的展开式通项为Tr+1=C7rx7−r(2y)r=2rC713.【答案】58【解析】解：由题意可知，P(A−)=1−23=13，

又P(A−+B)=P(A−)+P(B)−P(BA−)=34，可得P(BA−)=114.【答案】2(1−ln2)

【解析】解：令函数f(x)=ex−a+1−2xa，根据ex−a+1−2xa≥b对任意实数x恒成立等价于b≤f(x)min，

因此导函数f′(x)=ex−a+1−2a，令f′(x)=0，

那么有ex−a+1−2a=0⇒x−a+1=ln2a⇒x=a−1+ln2a，令x0=a−1+ln2a=a−1+ln2−lna，

根据导函数f′(x)<0，有x<x0，导函数f′(x)>0，有x>x0，

因此函数f(x)在(−∞,x0)单调递减，在(x0,+∞)单调递增，

因此f(x)min=f(x0)=ex0−a+1−2x015.【答案】126x−54；

−9x−2【解析】解：已知二项式(14x−1)n的展开式中，第3项与第8项的二项式系数相等，

(1)由题意有Cn2=Cn7，所以n=9，

所以Tk+1=C9k(14x)9−k×(−1)k=C9k(−1)kxk−94，

所以系数最大项为T5=C9416.【答案】列联表见解析，能否签约与性别有关；

19．【解析】解：(1)根据题目：小张通过甲公司的每项程序的概率均为12，通过乙公司的每项程序的概率依次为12，a，23，其中0<a<1．

性别参加考核但未能签约的人数参加考核并能签约的人数合计男生202040女生501060合计7030100所以χ2=100(20×10−20×50)240×60×70×30=80063≈12.698>10.828，

所以根据小概率值α=0.001的独立性检验，这100名毕业生参加甲公司的招聘能否签约与性别有关；

(2)因为小张通过甲公司各程序的结果相互不影响，

所以X～B(3,12)，则E(X)=3×12=32，

依题意Y的可能取值为0，1，2，3Y0123P1−a3−2a2+aa所以E(Y)=0×1−a6+1×3−2a6+2×2+a6+3×a3=76+a，

因为E(X)=E(Y)，所以32=76+a，即a=13，

所以小张参加乙公司招聘并能成功签约的概率P=P(Y=3)=a3=19．

(1)完善列联表，计算出卡方，即可判断；

(2)17.【答案】证明见解析；

(−∞,e−2]．

【解析】解：(1)证明：f′(x)=ex−2x，

令m(x)=f′(x)=ex−2x，则m′(x)=ex−2，

所以当x∈(ln2,+∞)时，m′(x)>0，m(x)单调递增，

当x∈(−∞,ln2)时，m′(x)<0，m(x)单调递减，

所以m(x)min=m(ln2)=eln2−2ln2=2−2ln2=2(1−ln2)>0，

所以m(x)=f′(x)=ex−2x>0恒成立，

所以f(x)在R上单调递增，故不存在极值．

(2)因为f(x)≥mx+1在[0,+∞)上恒成立，

所以ex−x2−mx−1≥0在[0,+∞)上恒成立，

当x=0时，0≥0恒成立，

当x>0时，m≤exx−(x+1x)在(0,+∞)上恒成立，

令g(x)=exx−(x+1x)，x∈(0,+∞)，

则g′(x)=ex(x−1)x2−(x2−1x2)=(x−1)[ex−(x+1)]x2，

令ℎ(x)=ex−x−1，则ℎ′(x)=ex−1，

当x∈(−∞,0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；

当∈(0,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，

所以当x>0时，ℎ(x)>ℎ(0)=0，即18.【答案】解：(1)由题意Xn∈{1,2}，第2周开始时商品A不同供给量的概率为P(X2=1)=12，P(X2=2)=1−P(X2=1)=12，

第X12P511(2)(i)记Dn为商品A第n周内的需求量，由题意，Xn与Dn的状态有关，

当n≥1时，若Dn<Xn，则Xn+1=Xn−Dn，若Dn≥Xn，则Xn+1=2，

设φn=(x,1−x)，即P(Xn=1)=x.P(Xn=2)=1−x，