湖南省衡阳市衡阳县2024-2025学年高一下学期期中考试数学检测试题（附答案）

湖南省衡阳市衡阳县2024-2025学年高一下学期期中考试数学检测试题单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知向量＝(－1，2)，＝(1，1)，则3＋＝()A.(-2，7)B.(2，7)C.(－2，－5)D.(2，－5)2．已知复数，以下说法不正确的是（

）A．的实部是5B．在复平面内对应的点在第一象限C．D．3．下列各组向量中，可以作为基底的是（

）．A．， B．，C．， D．，4．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是()A.(1，＋∞)B.[1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1]5.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线A1C1与BC所成的角是()A.30°B.45°C.60°D.90°6．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则的解析式为（

）A． B．C． D．7．若球O被一个平面所截,所得截面的面积为,且球心O到该截面的距离为2,则球O的表面积是()A. B. C. D.8．如图，已知正方体的棱长为3，点分别在棱上，满足，点在正方体的面内，且平面，则线段长度的最小值为（

）A． B．3C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列说法正确的有()A.“，使得”的否定是“，都有”B.已知x>0，则x＋16xC.若，则“”的充要条件是“”D.若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是10．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径OA长为6m．下面说法正确的是（

）A．圆锥SO的高为8mB．圆锥SO的侧面积为C．圆锥SO的体积为 D．圆锥SO外接球的表面积为11．如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（

）A．若是的重心，则有B．若成立，则是的内心C．若，则D．若是的外心，，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，4)，则f(2)＝______.13.在中，P为线段AB上一点，则，若，，，且与的夹角为，则的值为.14．已知函数，则.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．已知向量，的夹角为，且．(1)求；(2)若，求的值。16．已知角终边上的一点.（1）求的值；（2）求的值.17.在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，的面积为S，且.(1)求角C的大小；(2)若，且当时，取得最大值b，试求S的值.18.如图，在三棱锥中，底面ABC，点D，E，F，N分别为棱PA，PC，AB，BC的中点，M是线段AD的中点，，.（1）求证：平面MNF；（2）求三棱锥的体积.19.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前年的维护成本为万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元(1)写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利；(2)使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理问哪种方案更合理？并说明理由。高一数学答案1.答案：A2.【正确答案】B3．【正确答案】B【分析】不共线的非零向量可以作为向量的基底.【详解】因为与不共线，其余选项中、均共线，所以B选项中的两向量可以作为基底．答案：A5.答案：B6．【正确答案】C【分析】结合三角函数的图象，依次利用最值、周期、点在图象上求得，从而得解.【详解】依题意，由图象中最值可知，周期满足，又，则，故，所以，又点在的图象上，所以，即，所以，即，而，所以，所以.7．答案：C解析：因为球的一截面的面积为,所以截面圆的半径为,又因为球心到该截面的距离为2,所以球的半径为,所以球的表面积为.8．【正确答案】D【分析】在上取点，使得，证得平面平面，得到点的轨迹为线段，在等腰三角形中，求得底边上的高，即可求解.【详解】在上取点，使得，分别连结，因为，可得，且，所以四边形为平行四边形，所以，由且，可得，又由且，所以，在正方体中，可得，所以因为平面，且平面，所以平面，同理可证平面，又因为，且平面，所以平面平面，因此点的轨迹为线段，在等腰三角形中，，可得底边上的高为，此即为长度的最小值.故选：D.9．答案：ABD解析：对于A，“，使得”的否定是“，都有”，故A正确；对于B，，当且仅当，即时等号成立，故B正确.对于C，若，则由不能推出，故“”不是“”的充要条件，故C错误；对于D，若命题“”为假命题，则无实根，则，得，则实数m的取值范围是，故D正确；10．【正确答案】ABD【详解】对A,母线的长为10m，底面半径OA长为6m，圆锥SO的高为，A选项正确；对B,圆锥SO的侧面积，B选项正确；对CD,设圆锥SO的外接球半径为，则，解得，所以圆锥SO外接球的表面积为，D选项正确，11．【正确答案】AB【分析】对于A：利用重心的性质，代入即可；对于B：利用三角形的面积公式结合与可知点到的距离相等.对于C：利用将表示出来，代入，化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值.对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案.【详解】对于A：如图所示：因为分别为的中点，所以，，同理可得、，所以，又因为，所以.正确；对于B：记点到的距离分别为，，因为，则，即，又因为，所以，所以点是的内心，正确；对于C：因为，所以，所以，所以，所以，化简得：，又因为不共线，所以，所以，所以，错误；对于D：因为是的外心，，所以,，所以，因为，则，化简得：，由题意知同时为负，记，，则，因为，所以，所以，所以，错误.故AB.12.答案：2解析：幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，4)，则2α＝4，解得α＝2，所以f(x)＝x2，所以f(2)＝(2)2＝2.13.【正确答案】-3【分析】利用向量线性运算及平面向量基本定理，用表示与，然后利用数量积的运算律求解即可【详解】因为，所以，所以，即，14．【正确答案】42【分析】计算为定值即可发现规律并求解.【详解】，15．【正确答案】(1)；(2)或3.【详解】（1）由向量，的夹角为，且，得.（2）由（1）知，，由，得，即，整理得，解得或，所以的值是或3.16．【正确答案】（1）（2）（1）先求，把所求式子化简，转化为含有的式子求解；（2）构造齐次分式，同除，转化为含有的式子求解.【详解】（1）原式.法一：原式法二：原式=本题主要考查同角基本关系及诱导公式，已知正切值求解时，注意齐次式的处理方法，侧重考查数学运算的核心素养.17.答案：(1)(2)解析：(1)由已知得，即，又因为，所以.(2).当（），即（）时，.又因为，所以，，故，，，所以.18.解析：（1）D，E分别是PA，PC中点，，同理，，又平面MNF，平面MNF，平面MNF；（2）底面ABC，平面ABC，，，，PA，平面PAB，平面PAB，由（1）知FN//AC，平面PAB，点N到平面PAB的距离为，，三棱锥的体积为.19.答案：(1)该企业从第2年开始盈利；理由见解析(2)方案二更合理；理