云南省昭通2024-2025学年高三下学期4月教学质量检测数学检测试题（附答案）

云南省昭通2024-2025学年高三下学期4月教学质量检测数学检测试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={(x,y)|y=cosx}，B=((x,y)|y=x}，则A∩B中元素的个数为A.0 B.1 C.2 D.32.已知z=(1+i)2025÷2A.22+22i B.3.已知f′(x0)=4，limA.4 B.2 C.8 D.164.某同学参加跳远测试，共有3次机会.用事件Ji(i=1,2,3)表示随机事件“第i(i=1,2,3)次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为A.J1∩J2 B.J2∪5.若tanθ=−3，则cos(πA.−65 B.3 C.356.规定Axm=x(x−1)…(x−m+1)，其中x∈R，m∈N∗，且Ax0=1，这是排列数AA.22 B.1 C.27.已知某圆台的体积为1423π，其轴截面为梯形ABCD，AB=4，CD=2，则在该圆台的侧距上，从点A到A.32 B.33 C.8.已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，O为坐标原点，倾斜角为θ的直线l过点F且与C交于M，N两点，若△OMN的面积为3A.sinθ=12 B.|MN|=24

C.以MF为直径的圆与y轴仅有1个交点 D.|MF|二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.函数f(x)=Asin(ωx+φ,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所录，则A.φ=−π6

B.f(x)在[0,π2]的值域为[−1,1]

C.将f(x)的图像向左平移π12个单位后为奇函数

10.素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想.19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数k，存在无穷多个素数对(p,p+2k).其中当k=1时，称(p,p+2)为“孪生素数”，k=2时，称(p,p+4)为“表兄弟素数”.在不超过10n(n∈N∗)的素数中，任选两个不同的素数p，q(p<q)，令事件An={(p,q)为孪生素数}，Bn={(p,q)为表兄弟素数}，Cn={(p,q)|q−p≤4}，记事件An，BnA.P(A3)=P(B3)=P(C3)11.已知函数fx=xA.当m≤3时，函数fx有两个极值

B.过点0, 1且与曲线y=fx相切的直线有且仅有一条

C.当m=1时，若b是a与c的等差中项，直线ax−by−c=0与曲线y=fx有三个交点Px1, y1, Q三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若对任意的实数k，直线kx−y+1=0与椭圆x26+y213.已知无穷等比数列{an}中，首项a1=3，公比q=14.幻方是一种数学游戏，具有悠久的历史，其要求每行每列以及两条对角线的数字之和均相等，且每格的数字均不相同.现将1∼16填入4×4幻方，部分数据如图所示，则m的取值集合是

．1312111m169四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1,(a>b>0)的左右两个焦点分别为F1，F2，B1B2是该椭圆的短轴，且|B1B2|=216.(本小题15分)

在△ABC中，2asinB=2b．

(1)求A；

(2)若b=26，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积.条件①：cosC=−1010；条件②：a=2；条件③：sinB=17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB//DC，PA⊥底面ABCD，点E为棱PC的中点，AD=DC=AP=2AB=2．

(1)证明：BE//平面PAD；

(2)在棱PC上是否存在点F，使得二面角F−AD−C的余弦值为1010，若存在，求出PFPC18.(本小题17分)记Sn为数列{an}的前n项和，且{2(1)求a2的值，并求{a(2)探究{an(3)证明：Sn<8(本小题17分)

对于一个函数f(x)和一个点M(a,b)，令函数s(x)=f(x)−bx−a，若x0是s(x)的极值点，则称点P(x0,f(x0）是M在f(x)的“边界点”．

(1)对于函数f(x)=ex，证明：对于点M(1,0)，存在点P，使得点P是M在f(x)的“边界点”．

(2)对于函数f(x)=13x4+ax2，M(0,0)，若不存在点P，使得点P是M在f(x)的“边界点”，求a的取值范围．答案1.【正确答案】B

两个函数的大致图象如图所示：

可知函数y=cosx与函数y=x的图象有1个交点，

所以A∩B中有1个元素．

故选：B．2.【正确答案】A

∵(1+i2)2=1+2i+i223.【正确答案】C

因为f′(x0)=4，

则limΔx→0f(x0+2△Δx)−f(xJ1∩J2表示前两次测试成绩均及格，故A错误;

J2∪J3∪J35.【正确答案】C

cos(π2+θ)(1+sin2θ)sin(π+θ)+sin(3π2+θ)=−sinθ(sinθ+cosθ)2由题意可得32+1A=(2+1)(2)(由AB=4，CD=2，得圆台的下底面的半径为2，上底面的半径为1，

设圆台的高为ℎ，由圆台的体积为1423π，得13(12+22+1×2)πℎ=1423π，所以ℎ=22，

在梯形ABCD中，则BC=12+(22)2=3，如图，延长AD，BC，OO1交于点P，

由△PDC∽△PAB，得PCPC+3=12，所以PC=3，

设该圆台的侧面展开图的圆心角为α，则3α=2π，所以α=2π3，

连接AC，PC，则从点A到C的最短路径为线段AC，

又PC=3，PA=6，∠CPA=π3，所以AC=62+32−2×6×3×8.【正确答案】C

依题意F(32,0)，设直线l：x=my+32,M(x1,y1),N(x2,y2)，

由x=my+32y2=6x，整理得y2−6my−9=0，则Δ=36(m2+1)>0，

所以y1+y2=6m，y1y2=−9，所以S△OMN=12×|y1−y2|×32=34(y1+y2)2−4y1y2=34×6m2+1=339.【正确答案】ACD

对于A，由f(x)的部分图象知，A=2，T=2×[π3−(−π6)]=π，

所以ω=2πT=2，f(x)=2sin(2x+φ)，

由2×π3+φ=π2，得φ=−π6，选项A正确；

对于B，所以f(x)=2sin(2x−π6)，x∈[0,π2]时，2x−π6∈[−π6,5π6]，

所以f(x)的值域为[−12,1]，选项B错误；

对于C，将f(x)的图像向左平移π12个单位后，得f(x+π12)=2sin[2(x+π12)−不妨取n=3，

不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，

从中任意取两个不同的素数p，q(p<q)，共有C102=45(个)样本点，

由题意可知，A3={(3,5)，(5,7)，(11,13)，(17,19)}，共4个样本点，

B3={(3,7)，(7,11)，(13,17)，(19,23)}，共4个样本点，

C3={(2,3)，(2,5)，(3,5)，(3,7)，(5,7)，(7,11)，(11,13)，(13,17)，(17,19)，(19,23)}，共10个样本点，

所以P(A3)=P(B3)=445，P(C3)=29，

显然P(A3)=P(B由fx=x对于A，当m≤3时，则有Δ=36−12m≥0，所以当m=3时，f′x=3x此时函数fx对于B，设过点0,1且与曲线y=fx相切于点t,则斜率为f′t=3t代入0,1得1−t3+3令gx=2x3+3x2+4，则令g′x<0得−1<x<0，所以gx在−∞,−1在−1,0上单调递减，又g−3=−23<0，g−1所以函数gx只有一个零点，即方程2所以过点0,1且与曲线y=fx对于C，当m=1时，fx=x3+3x2所以直线ax−by−c=0即为直线ax−by+a−2b=0，即ax+1该直线过定点−1,−2，且此点在曲线fx又f′x=3x2+6x+1，令f′令f′x<0得所以fx在−∞,−3−63由题意作出函数fx设函数fx的对称中心为a,b，则f2a−x+f整理得6a+1所以6a+1=0所以函数fx图象关于点−1,−2中心对称，设x则有x1+x对于D，当m=0时，fx=x令f′x>0得x>0或x<−2，令f′x所以fx在−∞,−2和0,+∞上单调递增，在−2,0又f−2=1>0，f0所以fx在−1,−12上单调递减，所以f令t=32x−14，当x∈−1,−1所以ft∈−1,5364故选：BCD．12.[1,6)∪(6,+∞)

因为kx−y+1=0恒过定点(0,1)，

又对任意的实数k，直线kx−y+1=0与椭圆x26+y2n=1恒有公共点，

则06+1n≤1，

即n≥1，

又n≠6，

则实数{an}是无穷等比数列，首项a1=3，公比q=13，

则i=1+∞ai=不妨记第i列(从左往右)，第j行(从下往上)的数字坐标为(i,j)，如12=(3,4)，

易知8=(2,4)，6=(3,3)，7=(3,2)，16−m=(1,2)，m−11=(1,3)．

设t=(4,1)，则9−t=(2,1)，6+t=(2,3)，

由对角线可得到13+6+t+7+t=34，解得t=4，

故4=(4,1)，5=(2,1)，10=(2,3)，29−m=(4,3)．

注意到m−11>0，故m>11，

而12，13，16均在幻方中出现过，故m=14或m=15．

当m=15时，1=(1,2)，但1=(4,4)，矛盾;

当m=14时，给出一种幻方成立的情况：

综上，m的取值集合是{14}．15.【正确答案】x24+y23=1(1)由题意可知S△F1B1B2=12×2b×c=bc=3，且|B1B2|=2b=23，

所以b=3，c=1，则a=b2+c2=2，故椭圆C的标准方程为x24+y23=1．

(2)设点P(x,y)，则−2≤x≤2，y2=3−3x24，易知点16.(1)在△ABC中，2asinB=2b⇒2sinAsinB=2sinB，

因为B∈(0,π)，sinB>0，

所以2sinA=2⇒sinA=22，

又A∈(0,π)，

所以A=π4或A=3π4．

(2)若选①，即cosC=−1010，则π2<C<π，

所以0<A<π2,0<B<π2,sinC=31010，则A=π4，

则sinB=sin(π−(A+C）=sin(A+C)=sin(π4+C)

=22×(−1010)+31010×22=55，

由正弦定理得：

asinA=bsinB=csinC，a=26517.【正确答案】(1)证明：在PD上找中点G，连接AG，EG，如图：

∵G和E分别为PD和PC的中点，

∴EG/​/CD，且EG=12CD，

又∵底面ABCD是直角梯形，CD=2AB，AB/​/CD，

∴AB//GE且AB=GE.即四边形ABEG为平行四边形，

∴AG//BE，

∵AG⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，

∴BE/​/平面PAD；

(2)解：因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，

所以PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，

以A为原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，PC=(2,2,−2)，

由F为棱PC上一点，设PF=λPC=(2λ,2λ,−2λ),0≤λ≤1，

AF=AP+PF=(2λ,2λ,2−2λ)，AD=(0,2,0)，

设平面FAD的法向量为n=(a,b,c)，

由n⋅AF=0n⋅AD=0，可得2λa+2λb+(2−2λ)c=02b=0，解得b=0，

令c=λ，则a=λ−1，则n=(λ−1,0,λ)，

取平面ADC的法向量为m=(0,0,1)，

则二面角18.(1)因为{2nann}为等差数列，取前3项知2，2a2，83a3成等差数列，即4a2=83a3+2，

因为{ann(n+1)}为等比数列，取前3项知12，a26，a312成等比数列，即2a22=3a3，

代入4a2=83a3+2得4a2=169a22+2，即8a22−18a2+9=0，

也即(2a2−3)(4a2−3)=0，所以a2=34或319.(1)证明：M(1,0),s(x)=exx−1,s′(x)=(x−2)ex(x−1)2．

当x∈(2,+∞)时，s′(x)>0．

当x∈(−∞,1)∪(1,2)时，s′(x)<0；

所以s(x)在(2,+∞)上单调递增，在(−∞,1)，(1,2)上单调递减，

则2是s(x)的极小值点，

故存在点P(2,e2)，使得点P是M在f(x)的“边界点”．

(2)M(0,0),s(x)=13x3+ax(x≠0),s′(x)=x