高三数学复习第十三章计数原理第二讲排列与组合理

目录Contents考情精解读考点1考点2A.知识全通关B.题型全突破C.能力大提升考法1考法2考法3易错1易错2易错31/35考情精解读2/35考纲解读命题趋势命题规律考情精解读1考试纲领1.了解排列、组合概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能处理简单实际问题.数学第二讲排列与组合3/35考纲解读命题规律考情精解读2命题趋势数学第二讲排列与组合考点全国全国全国自主命题区域排列与组合【60%】四川,4,5分

北京,13,5分

浙江,14,4分4/35考纲解读命题规律考情精解读3返回目录1.热点预测

利用排列、组合处理计数问题是高考考查本讲内容热点,以选择题、填空题为主,分值为5分.2.趋势分析

预测年,仍以利用排列、组合知识处理计数问题为主,也可能与概率相结合进行考查.命题趋势数学第二讲排列与组合5/35知识全通关6/35知识全通关1考点1 排列与排列数继续学习数学第二讲排列与组合1.排列与排列数:普通地,从n个不一样元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定次序排成一列,叫作从n个不一样元素中取出m个元素一个排列,全部不一样排列个数,叫作从n个不一样元素中取出m个元素排列数,用符号表示.2.排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=

n,m∈N*,且m≤n).n个不一样元素全部取出一个排列,叫作n个元素一个全排列.这时公式中m=n,即有=n!=n(n-1)(n-2)·…·2·1.要求:0!=1.

7/35知识全通关2高考帮数学第二讲排列与组合继续学习

【名师提醒】8/35知识全通关3数学第二讲排列与组合继续学习1.组合与组合数:普通地,从n个不一样元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫作从n个不一样元素中取出m个元素一个组合,全部不一样组合个数,叫作从n个不一样元素中取出m个元素组合数,用符号

表示.

【辨析比较】考点2组合与组合数排列与组合异同点共同点:都是“从n个不一样元素中取出m个元素”.不一样点:前者与元素次序相关,为“将取出元素按照一定次序排成一列”,后者与元素次序无关,为“将取出元素合成一组”.所以我们能够得到:区分某一问题是排列问题还是组合问题,关键是看选出元素是否与次序相关.9/35知识全通关4数学第二讲排列与组合继续学习(1)对于组合数第一个公式

,它表达了组合数与对应排列数关系,当n确定而m改变时,组合数与m是一个函数关系,普通在计算详细组合数时,惯用此公式.(2)第二个公式

主要作用有:①当m,n较大时,利用此公式计算组合数较为简便;②对含有字母组合数式子进行变形和证实时,惯用此公式.3.组合数性质:【注意】10/35知识全通关6返回目录高考帮数学第二讲排列与组合【名师提醒】组合数性质应用:性质(1)主要有两个方面应用,一是简化运算,当m>时,通常将计算

转化为计算;二是列等式,由

可得x=y或x+y=n.性质(2)主要应用于恒等变形,简化运算.11/35题型全突破12/35考法1

排列问题求解继续学习数学第二讲排列与组合题型全突破1考法透析

求解排列问题惯用方法:

直接法把符合条件排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法相邻问题捆绑处理,即能够把相邻元素看作一个整体与其它元素进行排列,同时注意捆绑元素内部排列插空法不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制元素排列,再将不相邻元素插在前面元素排列空中先整体,后局部“小集团”排列问题中,先整体后局部除法对于定序问题,可先不考虑次序限制,排列后,再除以定序元素全排列间接法正难则反,等价转化方法13/35数学第二讲排列与组合继续学习题型全突破2考法示例1

6名同学排成1排摄影,要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边,共有多少种不一样站法?【思想分析】因为最左边和最右边是特殊位置,可采取位置分析法;因为甲是特殊元素,也可采取元素分析法;还能够直接从反面考虑.14/35数学第二讲排列与组合继续学习题型全突破3【解析】

解法一

(位置分析法)先从其它5人中安排2人站在最左边和最右边,再安排余下4人位置,分为两步:第1步,从除甲外5人中选2人站在最左边和最右边,有

种站法;第2步,余下4人(含甲)站在剩下4个位置上,有

种站法.由分步乘法计数原理可知,共有=480(种)不一样站法.15/35高考帮数学第二讲排列与组合继续学习题型全突破4【解析】

解法二

(元素分析法)先安排甲位置(既不站在最左边又不站在最右边),再安排其它5人位置,分为两步:第1步,将甲排在除最左边、最右边外任意位置上,有

种站法;第2步,余下5人站在剩下5个位置上,有

种站法.由分步乘法计数原理可知,共有=480(种)不一样站法.16/35数学第二讲排列与组合继续学习题型全突破4解法三(间接法)6人无限制条件排队有

种站法,甲站在最左边或最右边时6人排队有

种站法,所以符合条件不一样站法共有=480(种).

【点评】解法一和解法二进行排列时总体都进行了分步,表达了特殊元素优先处理标准;解法三中用总数减去不符合要求站法,表达了正难则反数学思想,这是我们处理这类问题时惯用一个思想.17/35考法2

组合问题求解

继续学习数学第二讲排列与组合题型全突破5考法指导

组合问题常见题型:(1)“含”与“不含”问题:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下元素中选取.(2)“最少”与“最多”问题:解这类题必须十分重视“最少”与“最多”这两个关键词含义,谨防重复与漏解.用直接法或间接法都能够求解,通惯用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.18/35数学第二讲排列与组合继续学习题型全突破6考法示例2

某学校为了迎接市春季运动会,从5名男生和4名女生组成田径运动队中选出4人参加比赛,要求男、女生都有,则男生甲与女生乙最少有1人入选方法种数为

A.85 B.86 C.91 D.90【思绪分析】可直接求解,也可用间接法求解,注意题目中“最少”含义.19/35数学第二讲排列与组合继续学习题型全突破7【解析】

解法一(直接法)由题意,可分三类考虑:第1类,男生甲入选,女生乙不入选,则方法种数为第2类,男生甲不入选,女生乙入选,则方法种数为第3类,男生甲入选,女生乙入选,则方法种数为所以男生甲与女生乙最少有1人入选方法种数为31+34+21=86.20/35数学第二讲排列与组合继续学习题型全突破8【解析】

解法二(间接法)从5名男生和4名女生中任意选出4人,男、女生都有选法有

男、女生都有,且男生甲与女生乙都没有入选方法有

所以男生甲与女生乙最少有1人入选方法种数为120-34=86.【点评】考法示例2是一个“最少”型问题,解法一在分类时,总体上分了三类,而在每一类中又分别分了三类;解法二中用了三次间接法.21/35考法3

排列与组合综合应用继续学习高考帮数学第二讲排列与组合题型全突破9考法指导

先选后排法是解答排列、组合应用问题根本方法,利用先选后排法解答问题只需三步即可完成.第一步:选元素,即选出符合条件元素;第二步:进行排列,即把选出元素按要求进行排列;第三步:计算总数,即依据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算总数.

22/35数学第二讲排列与组合继续学习题型全突破10考法示例3从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字四位数个数为A.300 B.216 C.180 D.162(2)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字四位数,其中个位、十位和百位上数字之和为偶数四位数共有

个.(用数字作答)【思绪分析】(1)依据特殊数字0进行分类→在每一类中利用分步乘法计数原理→求得四位数个数(2)依据题意分三个偶数和两个奇数、一个偶数两类→再在每一类中依据是否含有0进行分类和分步→综合利用两个基本计数原理求解23/35数学第二讲排列与组合继续学习题型全突破11

(1)分两类:第1类,不取0,即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字四位数,依据分步乘法计数原理可知,共有

不一样四位数;第2类,取0,此时2和4只能取一个,再取两个奇数,组成没有重复数字四位数,依据分步乘法计数原理可知,共有

不一样四位数.依据分类加法计数原理可知,满足题意四位数共有72+108=180(个).故选C.【解析】24/35数学第二讲排列与组合继续学习题型全突破12(2)当个位、十位和百位上数字为三个偶数时,若选出三个偶数含有0,则千位上把剩下数字中任意一个放上即可,方法数是=72;若选出三个偶数不含0,此时千位上只能从剩下非0数字中选一个放上,方法数是.故这种情况下符合要求四位数共72+18=90(个).当个位、十位和百位上数字为一个偶数、两个奇数时,若选出偶数是0,则再选出两个奇数,千位上只要在剩下数字中选一个放上即可,方法数为;若选出偶数不是0,则再选出两个奇数后,千位上只能从剩下非0数字中选一个放上,方法数是.故这种情况下符合要求四位数共有72+162=234(个).依据分类加法计数原理,符合要求四位数共有90+234=324(个)..25/35返回目录数学第二讲排列与组合题型全突破13.【技巧点拨】(1)仔细审题,判断是组合问题还是排列问题.要按元素性质分类,按事件发生过程进行分步.

(2)以元素为主时,先满足特殊元素要求,再考虑其它元素;以位置为主时,先满足特殊位置要求,再考虑其它位置.

(3)对于有附加条件比较复杂排列、组合题,要周密分析,设计出合理方案,普通先把复杂问题分解成若干个简单基本问题,然后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来处理,普通遵照先选后排标准.26/35能力大提升27/35均匀分组与不均匀分组相混同致误继续学习数学第二讲排列与组合能力大提升1分组分配问题是排列、组合问题综合利用,处理这类问题一个基本指导思想就是先分组后分配.关于分组问题,有整体均分、部分均分和不等分组三种,不论分成几组,都应注意只要有一些组中元素个数相等,就存在均分现象.28/35继续学习数学第二讲排列与组合能力大提升21.整体均分问题【示例4】家教育部为了发展贫困地域教育,在全国重点师范大学无偿培养教育专业师范生,毕业后要分到对应地域任教.现有6个无偿培养教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教,有

种不一样分配方法.【思绪分析】确定平均分组方法数→将3组毕业生分到3所学校→由分步乘法计数原理求方法总数29/35继续学习数学第二讲排列与组合能力大提升3【解析】【点评】本题属于整体均分,解题时要注意分组后,不论它们次序怎样,都是一个情况,所以分组后一定要除以(n为均分组数),防止重复计数.先把6个毕业生平均分成3组,有

种方法,再将3组毕业生分到3所学校,有

种方法,故6个毕业生平均分到3所学校,共有

分配方法.30/35继续学习数学第二讲排列与组合能力大提升42.部分均分问题【示例5】将6本不一样书分给甲、乙、丙、丁4个人,每人最少1本不一样分法共有

种.(用数字作答)

【思绪分析】把6本不一样书分成4组,相当于4个不一样元素→把4个元素分给4个人→

由分步乘法计数原理求分法总数31/35继续学习数学第二讲排列与组合能力大提升5【解析】【点评】本题属于部分均分,解题时注意重复次数是均匀分组阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!,一个分组过程中有几个这么均匀分组就要除以几个这么全排列数.把6本不一样书分成4组,每组最少1本分法有2种.①有1组3本,其余3组每组1本,不一样分法共有(种);②有2组每组2本,其余2组每组1本,不一样分法共有(种).所以不一样分组方法20+45=6