新人教版九年级数学上册全册教案1

《人教版九年级上册全书教案》

第二十一章二次根式

教材内容

1.本单元教学的主要内容：

二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式.

2.本单元在教材中的地位和作用：

二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及

其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础.

教学目标

1.知识与技能

(1)理解二次根式的概念.

(2)理解(a20)是一个非负数，(J^)2=a(a20),=a(a20).

(3)掌握&,4b—>Jab(a20,b20),\fab=\Ja,>/b；

da]a,_、da,、、

4b\bNba

(4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减.

2.过程与方法

(1)先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念.再对概念的

内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.

(2)用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定，并运

用规定进行计算.

(3)利用逆向思维，得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.

(4)通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的

概念.利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计

算和化简的目的.

3.情感、态度与价值观

通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索

二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力.

教学重点

1.二次根式&(a>0)的内涵.4a(a20)是一个非负数；(4a)2=a(a>0)；

(a?0)及其运用.

2.二次根式乘除法的规定及其运用.

3.最简二次根式的概念.

4.二次根式的加减运算.

教学难点

1.对Ji(a20)是一个非负数的理解；对等式(、份)2=a(a20)及(a

20)的理解及应用.

2.二次根式的乘法、除法的条件限制.

3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.

教学关键

1.潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点.

2.培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不

苟的科学精神.

单元课时划分

本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：

21.1二次根式3课时

21.2二次根式的乘法3课时

21.3二次根式的加减3课时

教学活动、习题课、小结2课时

21.1二次根式

第一课时

教学内容

二次根式的概念及其运用

教学目标

理解二次根式的概念，并利用五（a>0）的意义解答具体题目.

提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.

教学重难点关键

1.重点：形如&（a>0）的式子叫做二次根式的概念；

2.难点与关键：利用（a，0）”解决具体问题.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成卜列三个问题：

3

问题1：已知反比例函数产一，那么它的图象在第•象限横、纵坐标相等的点的坐

x

问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,ZC=90°,那么AB边的长是

问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7,9、9、7、8,那么甲这次射击的

方差是S?,那么S=.

老师点评：

问题1：横、纵坐标相等，即x=y,所以X2=3.因为点在第一象限，所以x=JJ，所

以所求点的坐标（6，V3）.

问题2：由勾股定理得AB=J1U

问题3：由方差的概念得S=

二、探索新知

，，都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方

很明显G、

根的式子，我们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如&（a》0）的式子叫做

二次根式，“J”称为二次根号.

（学生活动）议一议：

1.-1有算术平方根吗？

2.0的算术平方根是多少？

3.当a<0,JZ有意义吗？

老师点评：（略）

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、历、出、4(x>0)、

X

Vo>V2>-V2>—-—、Jx+y(x20,y20).

x+y

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“«”；第二，被开方数是正数

或0.

解：二次根式有：血、y[x(x>0)>V0>-V2.Jx+y(x20,y20)；不是二

次根式的有：为、->蚯、」一.

x尤+y

例2.当X是多少时，J3X-1在实数范围内有意义?

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3x-l20,J3x-1

才能有意义.

解：由3x-l20,得：x>-

3

当xN1时，J3x-1在实数范围内有意义.

3

三、巩固练习

教材P练习1、2、3.

四、应用拓展

例3.当x是多少时，J2X+3+」-在实数范围内有意义?

X+1

分析：要使岳工5+—1—在实数范围内有意义，必须同时满足j2x+3中的20和

X+1

」一中的x+l#0.

x+1

f2x+3>0

解：依题意，得《

x+1w0

3

由①得：x2・一

2

由②得：xW-1

31

当X》--且xW-l时，j2x+3+——在实数范围内有意义.

2x+1

例4（1）已知y=j2-x+Jx-2+5,求上的值.（答案:2）

y

（2）若疝1+后斤=0,求azom+bz期的值.（答案：：）

五、归纳小结（学生活动，老师点评）

本节课要掌握：

1.形如&（a20）的式子叫做二次根式，“J-”称为二次根号.

2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.

六、布置作业

1.教材P8复习巩固1、综合应用5.

2.选用课时作业设计.

3.课后作业：《同步训练》

第一课时作业设计

一、选择题

1.下列式子中，是二次根式的是（）

A.-V7B.V?C.4xD.X

2.下列式子中，不是二次根式的是（）

A.V?B.V16C.而D.-

X

3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（）

A.5B.V5C.-D.以上皆不对

5

二、填空题

1.形如的式子叫做二次根式.

2.面积为a的正方形的边长为.

3.负数平方根.

三、综合提高题

1.某工厂要制作一批体积为In?的产品包装盒，其高为0.2m,按设计需要，底面应

做成正方形，试问底面边长应是多少？

2.当x是多少时，+3+*2在实数范围内有意义?

X

3.若JT7+J。有意义，则）正=.

4.使式子J—（x—5）2有意义的未知数x有（）个.

A.0B.1C.2D.无数

5.已知a、b为实数，且Ja—5+2J10-2a=b+4,求a、b的值.

第一课时作业设计答案:

一、1.A2.D3.B

二、1.4a(a20)2.4a3.没有

三、1.设底面边长为X,则02x2=1,解答：x=也.

2x+3>07

2.依题意得：《2

xw0

x00

...当x>-2且x#0时・，^2-x4+-33+x2在实数范围内没有意义.

2x

4.B

5.a=5,b=-4

21.1二次根式(2)

第二课时

教学内容

1.4a(a30)是一个非负数；

2.(y[a)2=a(a20).

教学目标

理解G(a>0)是一个非负数和(&)2=a(a20),并利用它们进行计算和化简.

通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出(a20)是一个非负数，用具

体数据结合算术平方根的意义导出(&)2=a(a)0)；最后运用结论严谨解题.

教学重难点关键

1.重点：4a(aNO)是一个非负数；(&)2=a(a20)及其运用.

2.难点、关键：用分类思想的方法导出〃'(a20)是一个非负数；用探究的方法

导出()2=a(a20).

教学过程

一、复习引入

(学生活动)口答

1.什么叫二次根式？

2.当a20时，夜叫什么？当a<0时，&有意义吗？

老师点评(略).

二、探究新知

议•议：(学生分组讨论，提问解答)

4a(a20)是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

&(a，0)是一个非负数.

做一做：根据算术平方根的意义填空：

(V?)2=；(72)2=；(V9)2=；(也)2=；

([)2=.(g)2=.(Vo)2=.

老师点评："是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，、”是一个平方等于4

的非负数，因此有(〃)2=4.

同理可得：(V2)2=2,(M)2=9,(V3)2=3,(J-)2=-,(J-)2=2,(VO)

V33V22

2=0,所以

(\[a)2=a(a》0)

例1计算

1.(4)22.(375)23.(/)24.(-y-)2

分析：我们可以直接利用(、万)2=a(a20)的结论解题.

解：(.—)2=—,(3亚)2=32,(A/5)2=32,5=45,

V22

/5)2=5)(V7)2=(V7)i_7

V66222"4,

三、巩固练习

计算下列各式的值：

(、昌2心

)2(Vo)2)2

V34

(3府-(5用

四、应用拓展

例2计算

1.(Jx+1)2(x20)2.(Va")23.(JQ~+2Q+1)2

4.(—12x+9)2

分析：(1)因为x20,所以x+l>0；(2)a2^0；(3)a2+2a+l=(a+1)20；

3+3?=(2X-3)

所以上面的4题都可以运用(Ja)2=a(a20)的重要结论解题.

解：(1)因为x20,所以x+l>0

(Jx+1)2=x+l

(2)Va^O,(行)2=a2

(3)Va2+2a+l=(a+1)2

2

又•:(a+1)2川,.-.a+2a+l>0,Aa~+2a+1=a?+2a+l

(4)V4X2-12X+9=(2X)2-2•2x•3+32==(2x-3)2

又；(2x-3)2》0

2

；.4X2-12X+920,(A/4X-12X+9)2=4X2-12X+9

例3在实数范围内分解下列因式:

(1)X2-3(2)X4-4(3)2X2-3

分析：(略)

五、归纳小结

本节课应掌握：

1.8(a20)是一个非负数；

2.(y/a)—(a>0);反之:a=(y/a)2(a20).

六、布置作业

1.教材Pg复习巩固2.(1)、(2)P97.

2.选用课时作'也设计.

3.课后作业：《同步训练》

第二课时作业设计

一、选择题

1.下列各式中厢、质、J/—1、yla2+b2>J〃/+20、J-144,二次根式

的个数是().

A.4B.3C.2D.1

2.数a没有算术平方根，则a的取值范围是().

A.a>0B.a20C.a<0D.a=0

二、填空题

1.(-5/3)2=.

2.已知JTXT有意义，那么是一个数.

三、综合提高题

1.计算

(1)(V9)2(2)-(百)2(3)(-V6)2(4)(-3J-)2

2V3

⑸(273+372)(273-372)

2.把下列非负数写成一个数的平方的形式：

(1)5(2)3.4(3)-(4)x(x20)

6

3.已知Jx-y+1+-\/x—3=0,求xy的值.

4.在实数范围内分解下列因式：

(1)X2-2(2)X4-93X2-5

第二课时作业设计答案：

一、1.B2.C

二、1.32.非负数

11O

三、1.(1)(囱)2=9(2)-(V3)2=-3(3)(->/6)2=-X6=-

242

52

(4)(-3.-)2=9X-=6(5)-6

V33

2.(1)5=(右/(2)3.4=(757)2

(3)(4)x=(Vx)2(x20)

6

x-y+l=0Jx=3

xy=34=81

x-3=0y=4

4.(1)X2-2=(X+A/2)(x--\/2)

(2)X4-9=(X2+3)(X2-3)=(X2+3)(x+G)(x-)

⑶略

21.1二次根式(3)

第三课时

教学内容

\[a^=a(a20)

教学目标

理解J/=a(a20)并利用它进行计算和化简.

通过具体数据的解答，探究J/=a(a20),并利用这个结论解决具体问题.

教学重难点关键

1.重点：J^=a(a20).

2.难点：探究结论.

3.关键：讲清a20时，必=2才成立.

教学过程

一、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容；

1.形如、5(a20)的式子叫做二次根式；

2.&(a20)是一个非负数；

3.(Va)2=a(aNO).

那么，我们猜想当aNO时，行=2是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题.

二、探究新知

(学生活动)填空:

V?=；A/O_OI2=

(老师点评)：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

7？=2；A/O.012=0.01；j.)?=「；=g；Vo^=O；

因此，一般地：芯=a(a-0)

例1化简

(1)V9(2)-J(—4)~(3)-25(4)J(-3)-

分析:因为(1)9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,

(4)(-3)2=32,所以都可运用必=a(a20)去化简.

解：(1)V9==3(2)J(-4)2=4

(3)V25=A/5^=5(4)J(-3>=A/?=3

三、巩固练习

教材P7练习2.

四、应用拓展

例2填空：当a20时，J/=_____；当a<011寸，并根据这•性

质回答下列问题.

(1)若J/=a,则a可以是什么数？

(2)若法=-a,则a可以是什么数？

(3)必〉a,则a可以是什么数？

分析：•.•病=a(a20),.•.要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，

应变形，使“()2”中的数是正数，因为，当aWO时，0=J(F)2,那么-a20.

(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)、(2)

可知|a|,而|a|要大于a,只有什么时候才能保证呢？a<0.

解：(1)因为J/=a,所以a20：

(2)因为J7=-a,所以aWO：

(3)因为当a》0时行=a，要使">a,即使a>a所以a不存在;当a〈0时，J^=-a,

要使户>a,即使-a>a,a<0综上，a<0

例3当x>2,化简J(x-2)2_J(1_2X)2.

分析：(略)

五、归纳小结

本节课应掌握：J/=a(a20)及其运用，同时理解当a<0时，J»=-a的应用拓

展.

六、布置作业

1.教材Pg习题21.13、4、6、8.

2.选作课时作业设计.

3.课后作业：《同步训练》

第三课时作业设计

一、选择题

1-屉^+'(—的值是().

2?

A.0B.-C.4-D.以上都不对

33

2.a20时，J/、J(-“A、-J/,比较它们的结果，下面四个选项中正确的是

().

A.--J(-a)2\[a^B.yJa^>-7(-a)2>-\[cP

C.<-J(-tz)2<-y[a^D.->y[a^--J(-a)2

二、填空题

1.-Jo.0004=.

2.若J痂是一个正整数，则正整数m的最小值是.

三、综合提高题

1.先化简再求值：当a=9时，求a+Jl—Za+Y的值,甲乙两人的解答如下：

甲的解答为：原式=a+J(l_q)2=a+(1-a)=1；

乙的解答为：原式=a+J(l-a>=a+(a-1)=2a-l=17.

两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是.

2.若|1995-a|+Ja-2000=a,求aT9952的值.

(提示：先由a-200020,判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值)

3.若-3WxW2时，试化简|x-2|+J(x+3)2+&一10%+25。

答案：

一、1.C2.A

二、1.-0.022.5

三、1.甲甲没有先判定1-a是正数还是负数

2.由已知得a-200020,aN2000

所以a-1995+“二WO=a,J"2000=1995,a-2000=19952,

所以aT9952=2000.

3.10-x

21.2二次根式的乘除

第一课时

教学内容

y/a,4b=y[ab(a20,b20),反之&,4b(a20,bNO)及其运用.

教学目标

理解五,4b—\[ab(a20,b20),y[ab=4a,JF(aNO,b20),并利用它

们进行计算和化简

由具体数据，发现规律，导出五•斯=>/茄(a20,b20)并运用它进行计算；

利用逆向思维，得出，石=&•、历(a》0,b20)并运用它进行解题和化简.

教学重难点关键

重点：\[a•y/b=4ab(a)0,b20),\[ab=\[a♦4b(a20,b>0)及它们的

运用.

难点：发现规律，导出G,s/b=>[ab(a>0,b20).

关键：要讲清疝(a<0,b<0)=而、历，如V(-2)x(-3)=7-(-2)x-(-3)或

7(-2)x(-3)=V2^3=V2X也.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们完成下列各题.

1.填空

(1)V?XV9=,-4x9=；

(2)V16X＞/25=,V16X25=.

(3)y/100X^36=,J100x36=.

参考上面的结果，用“＞、＜或=”填空.

V4XV974^9,V16XV25716x25,V100X

V367100x36

2.利用计算器计算填空

(1)V2xV3a,(2)V2x75M,

(3)V5XV65,(4)V4XV5V20,

(5)V7X710V70.

老师点评(纠正学生练习中的错误)

二、探索新知

(学生活动)让3、4个同学上台总结规律.

老师点评：(1)被开方数都是正数；

(2)两个二次根式的乘除等于•个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，

作为等号另一边二次根式中的被开方数.

一般地，对二次根式的乘法规定为

4a,y/b=4ab.(a^O,b20)

反过来|=8•&(a20,bNO)

例L计算

(1)V5Xy^j(2)Xy/9(3)y/9XJ27(4)Xs/6

分析：直接利用&­y[b=4ab(a》O,b》O)计算即可.

解：⑴V5XV7=V35

(3)V9XV27=V9X27=V92X3=973

(4)Xy/6=^-^-x6=5/3

例2化简

(1)J9xl6(2)716x81(3)781x100

(4)yj9x2y2(5)V54

分析：利用疝=G-4b(a20,b20)直接化简即可.

解：(1)V9x16=V9XVf6=3X4=12

(2)J16x81=V16XV8T=4X9=36

(3)781x100=781XV100=9X10=90

(4)^9x2y2=V?Xylx2y2XV?X-Jy^=3xy

(5)V54=>/9x6="s/3^-XV6=3V6

三、巩固练习

（1）计算（学生练习，老师点评）

①而X&②3瓜X2屈

(2)化简：V20；V18;V24;V54;&2a2b2

教材Pu练习全部

四、应用拓展

例3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

(1)V(-4)x(-9)x7^9

(2)J4—XV25=4xj—x725=4J—X725=4712=873

V25V25\25

解：(1)不正确.

改正：J(-4)x(-9)=J4x9=\I~AXy/9=2X3=6

(2)不正确.

改正：J4—XV25=J—XV25=J—x25=VH2=V16^7=477

V25V25V25

五、归纳小结

本节课应掌握：（1）4a•>Jb—4ab=（a》0,b》0）,\fab=\[a,JF（a》0,b

，0）及其运用.

六、布置作业

1.课本P151，4,5,6.（1）（2）.

2.选用课时作业设计.

3.课后作业：《同步训练》

第一课时作业设计

一、选择题

1.若直角三角形两条直角边的边长分别为a?cm和J区cm,那么此直角三角形斜

边长是（）.

A.3y/2cmB.3cmC.9cmD.27cm

2.化简a旧的结果是（）.

A.>/-aB.4aC.D.-\[a

3.等式JTTTJT万=Jf—1成立的条件是（）

A.x》lB.x2-lC.-1-D.x2l或xW-1

4.下列各等式成立的是（）.

A.4#>X2#>=8J5B.5A/3X472=2075

C.4百义30=7后D.5Gx40=20指

二、填空题

1.71014=.

2.自由落体的公式为S=1gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2）,若物体下落的

高度为720m,则下落的时间是.

三、综合提高题

1.•个底面为30cmX30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一-部分水例入•个底面

为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm,铁桶的底面

边长是多少厘米?

2.探究过程：观察下列各式及其验证过程.

陌瓦酹KI

通过上述探究你能猜测出:（a>0），并验证你的结论.

答案:

,1.B2.C3.A4.D

二、1.13762.12s

三、1.设：底面正方形铁桶的底面边长为X,

贝lJx?X10=30X30X20,x2=30X30X2,

x=430x30XV2=30V2.

a

2.a

21.2二次根式的乘除

第二课时

教学内容

yjaI80,皿反过来护亨8。,b>。)及利用它们进行计算和化

不

简.

教学目标

理解余=V(aNO,b>0)及利用它们进行运算.

—(a20,b>0)和

b

利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出

逆向等式及利用它们进行计算和化简.

教学重难点关键

1.重点：理解军=、口(a》0,b>0),(a20,b>0)及利用它们进行计

算利化筒.

2.难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们完成下列各题：

1.写出二次根式的乘法规定及逆向等式.

2.填空

(1)

(2)

(3)

(4)

361V1616

3.利用计算器计算填空:

V2V2V7

⑴*,(2)耳'⑶7T,(4)Vs

规律:若a

每组推荐一名学生上台阐述运算结果.

（老师点评）

二、探索新知

刚才同学们都练习都很好，上分的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答,

我们可以得到:

一般地，对二次根式的除法规定:

反过来,（a，0,b>0）

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.

例1.计算:⑴坐⑵&g⑶％日⑷空

分析：上面4小题利用（a>0,b>0）便可直接得出答窠.

(4)

例2.化简:

5x

(4)

1697

分析：直接利用机=器

(a》0,b>0)就可以达到化简之目的.

三、巩固练习

教材P14练习1.

四、应用拓展

——1L.9—xA/9-xri“‘mg_u-5xt

例3.已知4-----=It且x为偶数，求(1+x)J---------的值.

只有a20,b>0时才能成立.

分析:式子JI与

因此得到9-xNO且x-6>0,即6<xW9,又因为x为偶数，所以x=8.

(9-x>0x<9

解：由题意得<,即《

x-6>0x〉6

，6vxW9

：x为偶数

x=8

"4)(1)

二原式=(1+x)

V(x+l)(x-l)

=(1+x)

=(1+x)J4=J(]+x)(x_4)

J(x+1)

:.当x=8时,原式的值=J4x9=的

五、归纳小结

本节课要掌握堂=（（a20,b>0）和小|=穿（a20,b>0）及其运用.

六、布置作业

1.教材P15习题21.22、7、8、9.

2.选用课时作业设计.

3.课后作业：《同步训练》

第二课时作业设计

一、选择题

1.计算+旧+旧的结果是

).

2/72rrA/2

A.一J5B.-C.<2D,一

777

2.阅读下列运算过程：

1_V3_V32_275_275

V3-73x73-3'亚-亚x亚-5

2

数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”,那么，化简布的结果

是（）.

A.2B.6C.-46D.V6

3

二、填空题

1.分母有理化：(1)—7==；(2)/==;(3)'及

3V2V122V5

2.已知x=3,y=4,z=5,那么的最后结果是.

三、综合提高题

1.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为G：1,现用直径为

3V15cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？

2.计算

答案：

一、1.A2.C

(1)£(2)小V10V2xV5V2

1.;(3)

6T

3

三、1.设：矩形房梁的宽为X(cm),则长为Gxcm,依题意,

得：(仆x)2+x2=(3V15)2

3_

4x2=9X15,x=-V15(cm),

2

5/3x•x=V3x2=^^VJ(cm2).

2.(1)原式=-

nnn1—n21-

二---------x—7n=■—-7n

二Km~mm

3(m+n)(m-n)a2a

---二---------x--------x——

J2am+nm-

21.2二次根式的乘除（3）

第三课时

教学内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算.

教学目标

理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.

通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结

果是否满足最简二次根式的要求.

重难点关键

1.重点：最简二次根式的运用.

2.难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成卜列各题（请三位同学上台板书）

1”行,I、G/0、3V2瓜

V5V2742a

.「占、wV3V153V2V6782^

老帅点评：-7==----，—{==——，—j=-------

V557273y/2aa

2.现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是hikm,hzkm,那么

它们的传播半径的比是—

2M

它们的比是

2Rh2

二、探索新知

观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点:

1.被开方数不含分母；

2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式.

学生分组讨论，推荐3〜4个人到黑板上板书.

老师点评：不是.

例2.如图，在RtZXABC中，ZC=90°，AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的长.

BC

解：因为AB2=AC2+BC2

所以AB=J2.52+62=J(|)2+36==£=6.5(cm)

因此AB的长为6.5cm.

三、巩固练习

教材P“练习2、3

四、应用拓展

例3.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

1_lx(V2-l)=6-1_£],

V2+1(72+1)(72-1)-2-1'

1_1x(^3-V2)_V3-V2_R区

7177r(用物出身二^^"

同理可得：.尸1一尸=4一6,……

V4+V3

从计算结果中找出规律，并利用这•规律计算

(-/厂+」厂+……,1,)(V2002+1)的值.

V2+1V3+V2V4+V3V2002+V2001

分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可

以达到化简的H的.

解：原式=(V2-1+V3-V2+V4-V3+……+V2002-V2001)X(V2002+1)

=(V2002-1)(V2002+1)

=2002-1=2001

五、归纳小结

本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用.

六、布置作、业

1.教材人习题21.23、7、10.

2.选用课时作业设计.

3.课后作业：《同步训练》

第三课时作业设计

一、选择题

1.如果寺(y>0)是二次根式，那么，化为最简二次根式是().

A.--Z—：(y>0)B.\[xy(y>0)C."二，--(y>0)D.以上都不对

2.把(aT)J--1一中根号外的(a-1)移入根号内得().

Va-1

A.Ja—1B.Jl—aC.-Ja—1D.->/l—a

3.在下列各式中，化简正确的是()

4.化简一祥二的结果是()

V27

V22y/bnr

A.B.—产C.D.-J2

3V33

二、填空题

1.化简yjx，+%2y2=.(x20)

2.aJ-竽化简二次根式号后的结果是

三、综合提高题

1已知a为实数，化简:阅读下面的解答过程，请判断是否正确？

若不正确，请写出正确的解答过程:

—yf-a-(a-1)4-a

a

2.若x、y为实数，且y=+1,求Jx+yJx-y的值.

x+2

答案:

-、1.C2.D3.C4.C

二、1.xyjx~+2.-yj—ci—1

三、1.不正确，正确解答：

a•--a>J^a+4~a=(l-a)yf-a

V7

x2-4>01

2.•.，/.x-4=0,x=±2,但•.•x+2*0,x=2,y=—

4-x2>04

Jx+y1x-y=收-y2

21.3二次根式的加减(1)

第一课时

教学内容

二次根式的加减

教学目标

理解和掌握二次根式加减的方法.

先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再

总结经验，用它来指导根式的计算和化简.

重难点关键

1.重点：二次根式化简为最简根式.

2.难点关键：会判定是否是最简二次根式.

教学过程

一、复习引入

学生活动：计算下列各式.

(1)2x+3x；(2)2X2-3X2+5X2；(3)x+2x+3y；(4)3a2-2a2+a

教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并.同类项合并就是

字母不变，系数相加减.

二、探索新知

学生活动：计算下列各式.

(1)2y/2+3V2(2)2-3V8+5>/8

(3)y/l+2y/l+3J9x7(4)3-\/3-2s/3+V2

老师点评：

(1)如果我们把后当成x,不就转化为上面的问题吗？

2V2+3V2=(2+3)V2=572

(2)把当成y；

2瓜-3瓜+5&=(2-3+5)78=478=8V2

(3)把将当成z；

V7+2V7+V9不

=2J7+2J7+3J7=(1+2+3)V7=6A/7

(4)百看为x,血看为y.

3V3-2A/3+V2

=(3-2)y/3+5/2

=V3+V2

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2后与店表面上看是不相同的，

但它们可以合并吗？可以的.

(板书)372+78=372+272=5V2

3百+后=36+36=66

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同

的二次根式进行合并.

例1.计算

(1)瓜+V18(2)Jl6x+yj64x

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简

二次根式进行合并.

解：(1)78+718=272+372=(2+3)行=50

(2)J16x+，64x=44+84=(4+8)\[x=12Vx

例2.计算

(1)3>48_9+3A/12^

(2)(V48+V20)+(V12-V5)

解：(1)3>/48-9^1+3>/12=12>/3-373+673=(12-3+6)73=1573

(2)(V48+V20)+(V12-V5)=748+V20+V12-V5

=4y/3+2y/5+2A/3-V5=6y/3+A/5

三、巩固练习

教材P”练习1、2.

四、应用拓展

例3.Ci^n4x2+y2-4x-6y+10=0,求(xy/9x+y2)-(x2^--5x^^-)的值.

分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2xT)2+(y-3)2=0,

即x=！，y=3.其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并

2

同类二次根式，最后代入求值.

解：；4*2+/-4*-6丫+10=0

V4x2-4x+l+y2-6y+9=0

(2x-l)2+(y-3)2=0

・，.x=—,y=3

2

原式二2九