冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（新高考专用）培优专题05 圆锥曲线（8大题型）（原卷版）

培优专题05圆锥曲线题型1中点弦、弦长、面积问题一、中点弦问题设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得；；将两式相减，可得；；最后整理得：同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得；；将两式相减，可得；整理得：二、弦长公式（最常用公式，使用频率最高）三、三角形面积问题直线方程：四、平行四边形的面积直线为，直线为注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.一、解答题1．（24-25高三上·广西·期末）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为.(1)求的方程；(2)直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程.2．（24-25高三上·陕西渭南·期末）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中均为常数，动点P的轨迹称为曲线．(1)判断曲线为何种圆锥曲线？(2)若曲线为双曲线，试问应满足什么条件？(3)设曲线C为曲线，斜率为1的直线l过曲线C的右焦点，且与曲线C交于A，B两个不同的点，求．3．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程；4．（24-25高三下·福建福州·开学考试）已知为坐标原点，双曲线经过点，左、右焦点分别为.(1)求的离心率；(2)一组平行于的直线与相交，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上.5．（24-25高三下·辽宁朝阳·开学考试）已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且的周长为(1)求椭圆的方程；(2)直线与交于两点，求面积的最大值．6．（24-25高三下·江苏·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且，直线的斜率为，过点的直线与交于两点，当轴时，四边形的面积为．(1)求的方程；(2)若以为直径的圆与直线相切，求直线的方程．7．（24-25高三上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点．(1)若l的倾斜角为，求弦长的值；(2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值，8．（23-24高三上·广西桂林·阶段练习）已知椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，过点作直线的垂线为垂足.求：①已知直线过定点，求定点的坐标；②点为坐标原点，求面积的最大值.9．（2025·福建莆田·二模）已知椭圆的离心率为，点在上．(1)求的方程；(2)设椭圆．若过的直线交于另一点交于两点，且在轴上方．（ⅰ）证明：；（ⅱ）为坐标原点．为右顶点．设在第一象限内，，是否存在实数使得的面积与的面积相等？若存在，求的值；若不存在，说明理由．题型2定点及其探索性问题一、定点问题定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．【一般策略】①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等.②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程.③探究直线过定点.一般化成点斜式或者直线系方程一、解答题1．（24-25高三下·河北·开学考试）已知椭圆C：的离心率为，且经过，直线l交C于E，F两点，直线，斜率之和为(1)求椭圆C的方程；(2)证明：直线l过定点.2．（2025·湖南岳阳·一模）已知抛物线的焦点为，点在直线上，是抛物线上两个不同的点.(1)求抛物线的方程；(2)设直线的斜率为，若，证明：直线过定点，并求定点坐标.3．（24-25高三上·安徽·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且过点(1)求C的标准方程；(2)若点是轴上关于原点对称的两点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.4．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的实轴长为4，离心率为．(1)求双曲线的标准方程．(2)设双曲线的左、右顶点分别为，若点为直线上一点，直线与直线分别与交于另一点（不与重合），则直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．5．（2025·河北保定·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直，分别为的左、右顶点，且到的两条渐近线的距离之和为.(1)求双曲线的标准方程；(2)设为上异于的不同的两点，且直线的斜率与直线的斜率满足，证明：直线恒过定点.6．（24-25高三上·宁夏吴忠·期末）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)求椭圆C上点到直线距离的最大值；(3)过椭圆C右焦点F的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点，使得？（为坐标原点）若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．题型3斜率定值(含非对称韦达)一、圆锥曲线的定值问题（1）解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题方法有两种：法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。（2）直接法解题步骤第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标；第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。一、解答题1．（24-25高三下·全国·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点．当轴时，（为坐标原点）的面积为2．(1)求抛物线的方程；(2)直线与抛物线交于，两点，点，设直线，的斜率分别为，，求的值．2．（24-25高三上·河北沧州·期末）已知，分别是双曲线的左，右顶点，，点是上一点．过点的直线与双曲线的右支交于，两点．(1)求的方程；(2)若的斜率为1，求；(3)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值．3．（24-25高三上·陕西榆林·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是的上顶点，，的面积为．(1)求椭圆的方程；(2)已知，若直线与椭圆相交于两点（异于点），求证：直线的斜率之和为0．4．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线，过点的直线与抛物线相切.(1)求抛物线的方程；(2)若过点的直线与相交于，两点，为上任意一点且直线，与直线分别交于，两点.求证：直线，的斜率之积是定值.5．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知双曲线C：．的离心率为，点在双曲线C上，过C的左焦点F的直线l与C的左支相交于A，B两点，且l分别交C的两条渐近线于M，N两点．(1)求双曲线C的方程；(2)若O是坐标原点，，求的面积；(3)已知点，直线AP交直线于点Q，设直线QA，QB的斜率分别，，求证：为定值．6．（24-25高三上·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴的椭圆过点和点，，，，是椭圆上异于顶点的四个点，直线与相交于点，直线的斜率存在且过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若，求直线的方程；(3)记，分别为直线与直线的斜率，求的值.题型4长度、角度、面积定值角度关系的证明往往转化为斜率问题或坐标问题，其中角相等问题优先考虑转为斜率之和为零处理，或考虑用向量进行计算。一、解答题1．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1.(1)求动点的轨迹的方程.(2)过点的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且.①求证：直线过定点；②试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．2．（2025·江西赣州·一模）已知椭圆E：，其左顶点为P，上顶点为Q，直线PQ交直线于R，且（其中O为坐标原点）.(1)求椭圆C的标准方程；(2)点N在x轴上，过点N作直线l与E交于A，B两点，问：是否存在定点N，使得为定值，若存在，求出所有点N的坐标并且求出定值；若不存在，请说明理由.3．（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知圆A：，圆B：，圆C与圆A、圆B都外切，记圆心C的轨迹为E．(1)求E的方程；(2)过点的直线交E于M，N两点，与直线交于点T，过点T作x轴的平行线l，直线OM，ON与直线l分别交于S，Q两点，证明：与的面积相等．4．（24-25高三上·上海·期末）已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.

(1)求双曲线的标准方程；(2)若双曲线上的点到其两条渐近线的距离分别为，求的值；(3)已知点，求证：.5．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）椭圆的长轴在轴上，长轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与交于，直线与交于.①证明：；②设直线与直线轴分别交于点，求的值.6．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知椭圆：，点在上，且的焦距为2，左焦点为，．(1)求的方程；(2)设为原点，为上（除左、右端点外）一点，的中点为，直线与直线：（直线不过和）交于点，过点作，交直线于点，证明：无论为何值，均有．7．（2024·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆是其左､右焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点.(1)若，求点的坐标；(2)若的面积为，求直线的方程；(3)设直线与椭圆交于两点，为线段的中点.当时，的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.8．（24-25高三下·河南新乡·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，右顶点为，直线与轴交于点，且．(1)求椭圆的方程．(2)设点为直线上的动点，过作的两条切线，分别交轴于点．①证明：直线的斜率成等差数列．②设经过三点，是否存在点，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由．题型5圆锥曲线与向量交汇一、三点共线问题的解题策略（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等来证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第三点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线；（6）面积法：通过计算求出以三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”。一、解答题1．（24-25高三上·湖北武汉·期末）已知直线与双曲线的右支交于不同的两点，.(1)求实数的取值范围；(2)直线与轴交于点，是否存在实数使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.2．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，圆与抛物线在第一象限的交点为，若轴．(1)求抛物线的方程；(2)过点的直线交圆和抛物线分别于（异于点），两点，若，求的方程．3．（24-25高三下·广东·开学考试）已知动点在椭圆上，且的左、右焦点分别为.设直线为上不重合的两点.(1)求的离心率；(2)已知；（i）证明：点在轴的异侧；（ii）证明：当的面积取最小值时，存在常数使得，并求的值.4．（2025·广东肇庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右、上、下顶点分别为.设为上并且位于第一象限的两点，满足.(1)若交轴于，且，求椭圆的离心率.(2)在（1）的条件下，为的中点，直线交于点（其中在轴上方）.证明：.5．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，.(1)求的方程；(2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围.6．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线经过点，直线与抛物线有两个不同的交点，直线交轴于，直线交轴于．(1)若直线过点，求直线的斜率的取值范围；(2)若直线过抛物线的焦点，交轴于点，求的值；(3)若直线过点，设，求的值．题型6圆锥曲线中的切线问题一、椭圆（双曲线）的切线（1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解；（2）椭圆（双曲线）在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆（双曲线）相切.双曲线的以为切点的切线方程为二、抛物线的切线（1）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：；（2）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：．一、解答题1．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，，点．(1)若，求C的离心率；(2)过点M作C的两条切线，，证明：；(3)在（2）的条件下，设或与C在第二象限的切点为P，求面积的最大值．2．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知圆，点，点是圆上任意一点.线段的垂直平分线与半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)证明：直线是曲线的切线.3．（2025·广东湛江·一模）已知抛物线的焦点为F，A，B分别为C上的点（点A在点B上方）．过点A，B分别作C的切线，，交于点P．点O为坐标原点，当为正三角形时，其面积为．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线经过点F，求动点P的轨迹以及点P到直线的距离的最小值．4．（24-25高三上·浙江宁波·期末）如图，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线与有相同的渐近线和焦距．过上一点作的两条切线，切点分别为A，B，A在轴上方，连接AB交于点M．（注：过曲线外一点作曲线的两条切线，则两切点所在直线方程为）

(1)求双曲线的方程；(2)证明：直线AB与切于点M，且；(3)当点在第三象限，且时，求的值．5．（24-25高三上·河南焦作·期末）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，直线与轴交于点，且．(1)求的方程；(2)若为上不同于点的动点，直线交轴于点，过点作的两条切线，，分别交轴于点，，交轴于点，．（i）证明：；（ii）证明：（表示面积）．6．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知抛物线的焦点为.抛物线上一点满足，为直线上的动点，过作曲线的两条切线，，其中为切点．(1)求抛物线的方程；(2)求证：直线恒过定点；(3)求面积的最小值．题型7定直线及其探索性问题一、定直线问题定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法.【一般策略】①联立方程消去参；②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；③将横纵坐标分别用参数表示，再消参；④设点，对方程变形解得定直线.解题技巧：动点在定直线上：题设为某动点在某定直线．目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三种情况：（1），即动点恒过直线．（2），即动点恒过直线．（3），即动点恒过直线．一、解答题1．（24-25高三上·云南丽江·阶段练习）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H．(1)直线AB是否过定点？请说明理由；(2)证明：点H在直线上．2．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为.记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的上支交于M，N两点.(1)求的方程；(2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值；(3)直线与交于点P，证明：点P在定直线上.3．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）椭圆的焦距为，且经过点.如图，椭圆的右顶点为，上顶点为，直线与直线平行且交椭圆于点两点，连接交于点.

(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率分别为，证明为定值；(3)证明：点在一条定直线上.4．（23-24高三上·河南南阳·期末）已知离心率为的双曲线的虚轴长为2．(1)求C的方程；(2)已知，过点的直线l（斜率不为0）与C交于M，N两点，直线与交于点P，若Q为圆上的动点，求的最小值.5．（2024·吉林长春·一模）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1.(1)求抛物线的方程；(2)试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上.6．（24-25高三下·广西桂林·开学考试）已知椭圆（）的离心率为，，分别是椭圆的左，右焦点.过点且斜率不为0的直线l与椭圆交于A，B两点.的周长为8.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l的斜率为1，求线段AB的长；(3)若点P在椭圆上，且，试问是否存在直线l，使得的重心在y轴上？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.题型8圆锥曲线中的新定义问题圆锥曲线背景下的新定义问题，关键在于理解新定义的本质，并将其与常规圆锥曲线知识相结合。方法总结如下：1、明确新定义：首先仔细阅读题目，明确新定义的内容、符号及其含义。2、联系常规知识：将新定义与圆锥曲线的第一、第二定义或标准方程等常规知识联系起来，找出它们的相似之处或转换关系。3、建立数学模型：根据新定义，建立相应的数学模型或方程，利用解析几何或代数方法进行求解。4、验证与推理：在求解过程中，注意验证每一步推理的正确性，确保最终答案符合题目要求。5、灵活应用：对于复杂问题，可能需要综合运用多种数学知识和方法，灵活应对。一、解答题1．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线以坐标原点为顶点，为焦点，的一个公共点为．若，则称为“－相伴”．(1)若为“－相伴”，求直线的斜率．(2)若为“－相伴”．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若，，的方程为，直线与交于点，判断是否存在定点，使得直线与的倾斜角互补，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．2．（2025·广东汕头·一模）若曲线C上的动点P沿着曲线无限远离原点时，点P与某一确定直线L的距离趋向于零，则称直线L为曲线C的渐近线．当渐近线L的斜率不存在时，称L为垂直渐近线．例如曲线具有垂