河北省承德市高新区2024-2025学年高三下学期期初考试数学检测试卷（含答案）

河北省承德市高新区2024-2025学年高三下学期期初考试数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知复数，则（）A. B. C. D.2.已知命题；命题，则（）A.和都是真命题 B.和都是真命题

C.和都是真命题 D.和都是真命题3.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6，3a4，－a5成等差数列，则＝（）A.3 B.9 C.10 D.134.已知随机变量服从正态分布，若，则（）A.0.1 B. C. D.5.已知f(x)＝2x－，a＝f()，b＝f()，c＝f()，则()A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞a＞b D.c＞b＞a6.已知直线与圆相交于两点，若，则（）A. B.1 C. D.27.在三棱锥P－ABC中，线段PC上的点M满足PM＝PC，线段PB上的点N满足PN＝PB，则三棱锥P－AMN和三棱锥P－ABC的体积之比为()A. B. C. D.8.定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（）A.-1 B.0 C.1 D.2二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）9.若函数则（）A.的最小正周期为10 B.的图象关于点对称

C.在上有最小值 D.的图象关于直线对称10.设F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若△ABF1为正三角形，则()A.b＝2B.C的焦距为2C.C的离心率为 D.△ABF1的面积为411.已知函数是的导函数，则（）A.“”是“为奇函数”的充要条件B.“”是“为增函数”的充要条件C.若不等式的解集为且，则的极小值为D.若是方程的两个不同的根，且，则或三、填空题（本大题共3小题，共15分12.若平面向量两两夹角相等且，写出的一个可能值为__________.13.已知0°≤α<90°，且sin36°1+sin2α=2cos14.对于数列，令，给出下列四个结论：①若，则；②若，则；③存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立；④若对任意的，都有，则有.其中所有正确结论的序号是______.四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）在中，内角所对的边分别是，且．（1）求角；（2）若是的角平分线，，的面积为，求的值．16.（本小题15分）如图，在四棱锥中，，，，三棱锥的体积为.（1）求点到平面的距离；（2）若，平面平面，点在线段上，，求平面与平面夹角的余弦值.17.（本小题15分）11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束：当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．（1）若每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率.（2）已知第一局目前比分为10∶10，求（ⅰ）再打两个球甲新增的得分的分布列和均值；（ⅱ）第一局比赛甲获胜的概率；18.（本小题17分）已知双曲线C1：－＝1与C2：－＝1有相同的渐近线，点F为C1的右焦点，A，B为C1的左、右顶点．(1)求双曲线C1的标准方程；(2)若直线l过点F交双曲线C1的右支于M，N两点，设直线AM，BN斜率分别为k1，k2，是否存在实数λ使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．19.（本小题17分）已知直线l：与函数．（1）记，求函数的单调区间；（2）若直线l与函数的图象相切，求实数k的值；（3）若时，直线l始终在函数图象的上方，求实数k的取值范围．答案：1.【正确答案】B由可得，所以，2.【正确答案】C对于命题，因为，所以，即所以命题为真命题，为假命题；对于命题，当x>1时，，，不可能成立，所以命题为假命题，为真命题.3.【正确答案】C设等比数列{an}的公比为q，因为a6，3a4，－a5成等差数列，所以6a4＝a6－a5，所以6a4＝a4(q2－q).由题意得a4>0，q>0.所以q2－q－6＝0，解得q＝3，所以＝＝1＋q2＝10.4.【正确答案】A因为随机变量服从正态分布，所以随机变量的均值,所以随机变量的密度曲线关于对称，所以，又，所以，因为，所以，5.【正确答案】D易知f(x)＝2x－在(1，＋∞)上单调递增，又＞＞，故f()＞f()＞f()，即c＞b＞a.6.【正确答案】B如图所示：设坐标原点到直线的距离为，则.设线段的中点为，则，根据勾股定理，有.由，得，故，解得，故.7.【正确答案】B如图，分别过点M，C作MM′⊥PA，CC′⊥PA，垂足分别为M′，C′，过点B作BB′⊥平面PAC，垂足为B′，连接PB′，过点N作NN′⊥PB′，垂足为N′.因为BB′⊥平面PAC，BB′⊂平面PBB′，所以平面PBB′⊥平面PAC.又因为平面PBB′∩平面PAC＝PB′，NN′⊥PB′，NN′⊂平面PBB′，所以NN′⊥平面PAC，且BB′∥NN′.在△PCC′中，因为MM′⊥PA，CC′⊥PA，所以MM′∥CC′，所以＝＝，在△PBB′中，因为BB′∥NN′，所以＝＝，所以＝＝＝＝.8.【正确答案】A因为函数为奇函数，且为偶函数，所以，所以的周期为4，所以.9.【正确答案】AD，A正确.因为，所以的图象不关于点对称，B错误.因为，所以的图象关于直线对称，D正确.若，则，由的图象可知，在上有最大值，没有最小值，C错误.10.【正确答案】ACD设AF2＝t，则AF1＝2t，F1F2＝t，离心率e＝＝，选项C正确．因此＝，b＝2，选项A正确．F1F2＝2＝2，选项B错误．△ABF1的面积为F1F2·＝4，选项D正确．11.【正确答案】ACD对于A中，当时，函数，则满足，所以为奇函数，所以充分性成立；若为奇函数，则，则恒成立，所以，所以必要性成立，所以A正确；对于B中，当时，，可得，所以为增函数；由，当为增函数时，，所以“”是“为增函数”的充分不必要条件，所以B错误；对于C中，由，若不等式的解集为且，则在上先增后减再增，则，解得，故，可得，令，解得或，当内，，单调递增；当内，，单调递减；当内，，单调递增，所以的极小值为，所以C正确．对于D中，由，因为是方程的两个不同的根，所以，即，且，由，可得，所以，即，联立方程组，可得，解得或，所以D正确．12.【正确答案】9（或，答案不唯一）当夹角均为时，；当两两夹角均为时，，此时.13.【正确答案】27°因为sin36°1+sin2α所以2cos整理得cos18°cos2α=sin18°sin2α+sin18°，cos18°cos2α−sin18°sin2α=sin18°，cos2α+18°=sin18°，因为所以18°≤2α+18°<198°，所以2α+18°=90°−18°，解得α=27°.14.【正确答案】①②④对于①：因为，且因为，所以，所以，故选项①正确；对于②：若，则所以，所以两式相减得，所以，所以，所以，故选项②正确；对于③：，，所以若对任意的都成立，则有，所以，因为各项为整数，则不等式串中绝对值只能从越来越小，之后甚至会出现大于某数绝对值的情况，例如：，后续还会有绝对值，但是会有矛盾，故选项③错误；对于④：若对任意的，都有，则有.故选项④正确；四、解答题15.【正确答案】解：（1）因为所以，即，由正弦定理得，所以，又，所以.（2）因为，所以，又因为所以，由余弦定理得所以.16.【正确答案】解：（1）设点到平面的距离为，则，由题可知，所以，所以点到平面的距离为.（2）取的中点，连接，因为，又平面平面且交线为，平面，，所以平面，由（1）知.由题意可得，所以，所以.以点为坐标原点，为轴，为轴，过点作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，依题意，所以.设平面的法向量为n1→=则，故可设，平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.【正确答案】解：（1）因为甲每局获胜的概率均为，根据五局三胜制的规则，设甲获胜时的比赛总局数为，因为每局的比赛结果相互独立，所以的所有可能取值为，可得；故该场比赛甲获胜的概率.（2）（ⅰ）依题意，的所有可能取值为设打成后甲先发球为事件，则乙先发球为事件，且，所以，.所以的分布列为故的均值为；（ⅱ）设第一局比赛甲获胜为事件，则.由（ⅰ）知，，由全概率公式，得解得，即第一局比赛甲获胜的概率.18.【正确答案】解(1)因为C2的渐近线为y＝±x，所以＝，因为c＝＝2，所以a＝1，b＝，所以双曲线C1的标准方程x2－＝1.(2)存在．由已知，A，B，M，N，l过点F与右支交于M，N两点，则l的斜率不为零，设l：x＝my＋2，由消元得y2＋12my＋9＝0，因为l与双曲线右支交于两点，所以，解得m∈，Δ＝2－4×9＝36>0，所以y1＋y2＝－，y1y2＝，因为k1＝，k2＝≠0，所以＝＝＝，因为＝－＝－，所以my1y2＝－，所以＝＝＝－，所以存在λ＝－使得k1＝λk2.19.【正确答案】解：（1）由题意得，，，则，令，解得，所以在上为增函数，令，解得，所以在上为减函数，故函数的单调增区间为，单调减区间为．（2）设直线l：