2024-2025学年江苏省常州市金坛一中高二（下）调研数学试卷（4月份）

第1页（共1页）2024-2025学年江苏省常州市金坛一中高二（下）调研数学试卷（4月份）一、单选题1．（5分）在空闻直角坐标系中，点关于轴的对称点为A． B． C． D．2．（5分）的图象如图所示，是函数的导函数，则下列排序正确的是A．（5）（3）（3）（5） B．（3）（5）（5）（3） C．（3）（5）（3）（5） D．（5）（3）（5）（3）3．（5分）已知函数，则曲线在处的切线斜率为A．1 B． C．3 D．4．（5分）给出下列四个命题，其中正确的有（1）若空间向量，满足，则；（2）空间任意两个单位向量必相等；（3）对于非零向量，由，则；（4）在向量的数量积运算中．A．0个 B．1个 C．2个 D．4个5．（5分）某学校有、两家餐厅，王同学第一天去、两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，则王同学第二天去餐厅的概率为A． B． C． D．6．（5分）如果随机变量，且，则A．0.3 B．0.2 C．0.8 D．0.77．（5分）如图，直三棱柱中，，点为侧面上的任意一点，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，8．（5分）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．二、多选题（多选）9．（6分）已知随机变量的分布列如下，则1234A． B． C． D．（多选）10．（6分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，点是棱上一点，则下列说法正确的是A．存在点，使平面 B．存在点，使平面 C．若点为中点，则点到平面的距离为 D．二面角夹角最大时，（多选）11．（6分）已知函数，则下列说法中正确的是A．函数的最大值是 B．在上单调递减 C．对任意两个正实数，，且，若，则 D．若关于的方程有3个不等实数根，则的取值范围是三、填空题12．（5分）5个零件中有3个次品，从中每次抽检1个，检验后放回，连续抽检3次，则抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率为．13．（5分）已知，空间向量，1，，，．若，，共面，则．14．（5分）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是．四、解答题15．（15分）某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．（1）求的值；（2）从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率；（3）将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望．16．（15分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，讨论的零点个数．17．（15分）如图，已知平行六面体．（1）若，，，，，，求的长度；（2）若，，求与所成角的余弦值．18．（15分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，．，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）平面与平面夹角的余弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角为．若存在，确定点的位置，若不存在，说明理由．19．（17分）有一水平直角通道，其宽度分别为1米和米．现要将一批钢管从通道水平抬至通道．为了计算能抬过去的钢管最大长度，建立模型如图所示，设一根长度为的钢管经过点且两端与通道壁恰好接触于，两点时，钢管与通道壁的夹角为（不计钢管直径）．（1）求长度与的函数关系式；（2）问能否将一长度为9米的钢管水平抬过去，请说明理由．

2024-2025学年江苏省常州市金坛一中高二（下）调研数学试卷（4月份）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DCDACBCC二．多选题（共3小题）题号91011答案BDABCACD一、单选题1．（5分）在空闻直角坐标系中，点关于轴的对称点为A． B． C． D．【答案】【分析】根据空间直角坐标系中，点关于坐标轴对称的特征求解．【解答】解：在空闻直角坐标系中，点，故点关于轴的对称点为．故选：．【点评】本题考查的知识点：点关于线的对称，主要考查学生的运算能力，属于基础题．2．（5分）的图象如图所示，是函数的导函数，则下列排序正确的是A．（5）（3）（3）（5） B．（3）（5）（5）（3） C．（3）（5）（3）（5） D．（5）（3）（5）（3）【答案】【分析】由图象的变化趋势，结合导函数的定义有，即可得答案．【解答】解：由图知：，即（3）（5）（3）（5）．故选：．【点评】本题主要考查导数的概念，利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）已知函数，则曲线在处的切线斜率为A．1 B． C．3 D．【答案】【分析】求，再计算．【解答】解：因为，所以，由导数的几何意义可知，曲线在处的切线斜率为．故选：．【点评】本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题．4．（5分）给出下列四个命题，其中正确的有（1）若空间向量，满足，则；（2）空间任意两个单位向量必相等；（3）对于非零向量，由，则；（4）在向量的数量积运算中．A．0个 B．1个 C．2个 D．4个【答案】【分析】根据向量相等的定义，单位向量的定义，以及向量的模的定义，逐个选项进行判断即可．【解答】解：对于（1），取，0，，，0，，此时，但是，故（1）为假命题；对于（2），取单位向量，0，和，0，，此时，故（2）为假命题；对于（3），若空间向量，，，取，0，，，0，，取为零向量，此时，满足，但是，故（3）为假命题；对于（4），取，0，，，2，，，1，，则，，，，0，，所以，故（4）为假命题．故选：．【点评】本题主要考查向量的概念，向量的数量积运算，属于基础题．5．（5分）某学校有、两家餐厅，王同学第一天去、两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，则王同学第二天去餐厅的概率为A． B． C． D．【答案】【分析】根据全概率公式求解即可．【解答】解：设王同学第一天去餐厅为事件，第二天去餐厅为事件，王同学第一天去餐厅为事件，第二天去餐厅为事件，由已知可得，，则根据全概率公式，．故选：．【点评】本题考查全概率公式，属于基础题．6．（5分）如果随机变量，且，则A．0.3 B．0.2 C．0.8 D．0.7【答案】【分析】利用正态分布的对称性求解即可．【解答】解：因为随机变量，且，根据正态分布密度曲线的对称性可得：，所以．故选：．【点评】本题主要考查正态分布密度曲线的性质应用，属于基础题．7．（5分）如图，直三棱柱中，，点为侧面上的任意一点，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】取中点为原点，建立空间直角坐标系，设，0，，由数量积的坐标表示得到，进而可求解；【解答】解：直三棱柱中，，点为侧面上的任意一点，如图取中点为原点，建立空间直角坐标系，设，0，，其中，，，，，，，当，且或时，取最大值4，当，且时，取最小值2，所以的取值范围为，．故选：．【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．8．（5分）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．【答案】【分析】的部分利用导数转换成不等式恒成立问题；的部分利用二次函数的性质即可判定；分段点处也要满足递减的性质，然后取交集即可得出答案．【解答】解：因为函数在上单调递减，又因为当时，，所以恒成立，则；当时，由在上单调递减，若，，合题意，若，则，解得，所以；又因为，解得．综上所述，，．故选：．【点评】本题考查了二次函数的性质、导数的综合运用，考查了分类讨论思想，属于中档题．二、多选题（多选）9．（6分）已知随机变量的分布列如下，则1234A． B． C． D．【答案】【分析】由分布列的性质、期望、方差的计算公式逐项判断即可；【解答】解：由分布列的性质可知，，解得，故错误；，故正确；，故错误；，故正确．故选：．【点评】本题主要考查了分布列的性质，考查了离散型随机变量的期望和方差，属于基础题．（多选）10．（6分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，点是棱上一点，则下列说法正确的是A．存在点，使平面 B．存在点，使平面 C．若点为中点，则点到平面的距离为 D．二面角夹角最大时，【答案】【分析】根据特殊位置即可根据线线平行求解；建立空间直角坐标系，求解向量垂直的坐标关系即可求解；求解平面法向量，即可根据空间距离求解；根据法向量的夹角即可求解．【解答】解：，当位于时，此时，平面，平面，故平面，故选项正确，，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，由于，故，设，则，则，要使平面，则，解得，故存在点，当时，，结合，，，平面，故平面，故正确，，点为中点，此时，设平面的法向量为，故，，，令，则，则点到平面的距离为，故选项正确，，设平面的法向量为，设平面的法向量为，故，，，令，则，设平面的法向量为，故，，，令，则，，显然时，此时并不是最值，此时二面角夹角不是最大，故选项错误．故选：．【点评】本题考查了空间中点到直线的距离，属于中档题．（多选）11．（6分）已知函数，则下列说法中正确的是A．函数的最大值是 B．在上单调递减 C．对任意两个正实数，，且，若，则 D．若关于的方程有3个不等实数根，则的取值范围是【答案】【分析】对于，，直接求导得出函数单调性，继而可得函数最值情况即可判断；对于，通过分析得出要证，只需证，从而构造函数即可判断；对于，画出函数图象，通过数形结合分析得出，此时，进一步将的范围转换成复合型二次函数的值域来求即可．【解答】解：对于，令，得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以（e），故正确；对于：由选项可知函数在上单调递增，在上单调递减，故错误；对于，由题意，，所以，所以要证，只需证，令，要使，只需，令，，要使，只需，而，，注意到，即，所以单调递增，所以（e），所以，所以，故原命题，即成立，故正确；对于，令，若关于的方程有3个不等实数根，则关于的方程有两个不相等的实数根，，△或，由韦达定理可得，，若是方程的根，则，这与△矛盾，所以或，当时，，解得，但事实上此时，矛盾；所以只能，此时，又，，所以，即，所以的取值范围是，从而的取值范围是，故正确．故选：．【点评】本题考查了导数的综合运用、转化思想及数形结合思想，属于难题．三、填空题12．（5分）5个零件中有3个次品，从中每次抽检1个，检验后放回，连续抽检3次，则抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率为．【答案】．【分析】记抽到次品的概率为，抽到正品的概率为，则，，用表示3次抽检中抽到次品的次数，则是一个随机变量，每次抽检抽到次品的概率为，由题意知，利用的概率公式可求解．【解答】解：用表示3次抽检中抽到次品的次数，则是一个随机变量，每次抽检抽到次品的概率为，由题意知，故连续抽检3次，记抽到次品的概率为，抽到正品的概率为，则，，抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率为．故答案为：．【点评】本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题．13．（5分）已知，空间向量，1，，，．若，，共面，则3．【答案】3．【分析】设，列出方程，可求的值．【解答】解：因为，，共面，所以存在，，使得，又因为，1，，，，所以，，，1，，1，，，，即，解得，所以．故答案为：3．【点评】本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．14．（5分）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是．【答案】．【分析】构造函数，应用导函数得出单调性，再结合偶函数性质得出，最后计算求解．【解答】解：设，则．当时，，得，故在区间上单调递增．又，所以，即．因为为上的偶函数，所以，即，整理得，解得或．故答案为：．【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．四、解答题15．（15分）某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．（1）求的值；（2）从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率；（3）将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望．【答案】（1）0.04；（2）；（3）0.6．【分析】（1）根据频率之和等于1求解；（2）根据超几何分布求解概率；（3）利用二项分布求分布列和数学期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图可得，解得．（2）由频率分布图可知，电池续航时间不少于35小时的频率等于，所以电池续航时间不少于35小时的电池有组，电池续航时间少于35小时的电池有组，所以从抽取的50组电池中任取2组，恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率为．（3）由（2）知，每次抽到电池续航时间不少于35小时的概率等于，由题可知，，所以所有可能的取值有0，1，2，所以，，，所以的分布列如下，012所以的数学期望为．【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．16．（15分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，讨论的零点个数．【答案】（1）当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减；（2）当或时，函数有1个零点；当或时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点．【分析】（1）求，根据的范围分类讨论导数的正负，从而判断的单调性；（2）令并参变分离，将问题转化为三次函数与常数函数图象交点问题．【解答】解：（1）的定义域为，，若，令或，令，若，令或，令，综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减．（2）当时，令，，令，则，当和时，，在，上单调递减；当时，，在上单调递增．所以的极小值为，极大值为，画出函数的大致图象，如图，由图可知，当或时，函数有1个零点；当或时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，进而研究函数零点个数的问题，属于中档题．17．（15分）如图，已知平行六面体．（1）若，，，，，，求的长度；（2）若，，求与所成角的余弦值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据条件，利用空间向量线性运算、空间向量数量积的运算及模长的计算公式，即可求解；（2）根据条件，先求出，，，再利用线线角的向量法，即可求解．【解答】解：（1）由题意平行六面体，，，，，，，可知，又，所以，所以．（2）由题意，，可令，所以，因为，所以，因为，所以，设与所成的角为，则，即与所成角的余弦值为．【点评】本题考查了异面直线所成角的求法，是中档题．18．（15分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，．，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）平面与平面夹角的余弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角为．若存在，确定点的位置，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，点为中点．【分析】（1）取的中点，利用平行公理、线面平行的判定推理即得；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解平面与