《空间向量与距离》名师课件2-

空间向量与距离用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形问题）1复习引入空间两点之间的距离

2新知探究点到直线的距离2新知探究

点到平面的距离2新知探究例1、如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD­A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．

3例题讲解

[解]

方法归纳(1)建立空间直角坐标系；

(2)求直线的方向向量；(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的射影长；(4)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．用向量法求点到直线的距离的一般步骤巩固训练1、已知正方体ABCD­-A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到EF的距离．3例题讲解例2、四棱锥P­-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．(1)求证：DE∥平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离．

证明：

3例题讲解例2、四棱锥P­-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．(1)求证：DE∥平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离．(2)因为DE∥平面PFB，所以点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离．设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)，

3例题讲解例2、四棱锥P­-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．(1)求证：DE∥平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离．方法归纳(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．(3)求向量：求出相关向量的坐标．(4)利用公式即可求得点到平面的距离.用向量法求点面距的方法与步骤巩固训练2、如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．解：

巩固训练2、如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．巩固训练2、如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．巩固训练2、如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．巩固训练2、如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．素养提炼(1)空间中的距离有：点与点的距离、点到线的距离、点到面的距离、线与线的距离、线与面的距离、面与面的距离．(2)空间中各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，其中点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求解．1．空间距离的种类素养提炼线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．点面距的求解步骤：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．2．点面距、线面距、面面距的求解方法素养提炼素养提炼二、利用向量求距离1.点到平面的距离：连接该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值）.2.