《空间向量的数量积运算》名师课件

名师课件空间向量的数量积运算名师：陈菊仙知识回顾问题探究课堂小结随堂检测检测下预习效果：点击“随堂训练”选择“《空间向量的数量积运算》预习自测”空间向量线性运算法则和运算律；共线向量定理的两种表达形式；共面向量定理的两种表达形式．知识回顾问题探究课堂小结随堂检测探究一：由平面向量类比空间向量的数量积运算★

●活动①

类比提炼概念两个非零向量，一定是共面向量．那在平面向量中，我们是怎样定义两个向量的夹角的呢？已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则

叫做向量，的夹角，记作．如果，那么向量，互相垂直，记作．也就是说，两个空间向量夹角的定义与平面向量一致．知识回顾问题探究课堂小结随堂检测●活动②

巩固理解，深入探究数量积的定义:叫做已知两个非零向量，，则叫做，的的数量积（innerproduct），记作．零向量与任何向量数量积为0．特别地，．●活动③

深入探究，发现规律和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？①数乘结合律：，②交换律：，③分配率：．知识回顾问题探究课堂小结随堂检测探究二：探究空间向量数量积的性质★▲

●活动①

类比探究，研究性质和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？①若为单位向量，则；（解释：，转化为投影）②若，为非零向量，则；（解释：）③；（解释：）④若，为非零向量，则；（解释：定义的变形式）⑤（当且仅当，共线时等号成立）．（解释：）知识回顾问题探究课堂小结随堂检测●活动②

巩固理解，深入探究以上五个性质中，大家认为最重要的有哪些，它们有什么作用？第②条，，可用于证明空间向量垂直；第③条，，是空间向量的模长公式；第④条，，是空间向量的夹角公式．知识回顾问题探究课堂小结随堂检测探究三：探究空间向量数量积的具体应用★▲

●活动①

归纳梳理、理解提升通过前面的学习，由于两个向量必然共面，所以空间向量数量积的运算法则和运算律和平面向量基本一致．同时，我们理解了数量积的三个重要应用是？模长、垂直、夹角．它们都是向量，的二次运算，是非线性的．例1设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题中：①；②；③；④．正确的是（）A．①② B．②③ C．③④D．②④知识回顾问题探究课堂小结随堂检测●活动②

互动交流、初步实践【思路点拨】空间向量数量积运算不满足结合律．【解题过程】向量的数量积不满足结合律，所以①不正确；由向量的数量积的定义知，②正确；，不一定共线，向量不一定相等，所以③不正确；利用数量积的运算律，④正确．D例2已知空间四边形OABC中，OB=OC，且，则

的值为（）A． B．C．D．知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动③

巩固基础、检查反馈【思路点拨】求向量夹角的重点就是求数量积和模长．【解题过程】设，，，由已知得，且．所以

所以．A例3已知PO，PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，且，求证：．知识回顾问题探究课堂小结随堂检测●活动④

强化提升、灵活应用【思路点拨】将向量用，来表示，从而利用数量积解决垂直问题．这是三垂线定理的向量证法，同理也可用来证明：若，则．【解题过程】取直线l的方向向量，同时取向量，，∵，∴．

∵且，∴，∴．又∵，

∴．知识梳理知识回顾问题探究课堂小结随堂检测（1）已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则

叫做向量，的夹角，记作．如果，那么向量，互相垂直，记作．（2）已知两个非零向量，，则叫做，的的数量积（innerproduct），记作．零向量与任何向量数量积为0．特别地，．空间向量的数量积满足的运算律有：①数乘结合律：，②交换律：，③分配率：知识梳理知识回顾问题探究课堂小结随堂检测（3）空间向量的数量积的性质有：①若为单位向量，则；②若，为非零向量，则；；④若，为非零向量，则；⑤（当且仅当，共线时等号成立）．重难点突破知识回顾问题探究课堂小结随堂检测（1）空间向量的数量积是向量的二维计算，是三个实数的乘积，不满足