知识解读：抛物线

1/3抛物线知识解读一、知识梳理1.抛物线的定义平面内与一定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。抛物线定义可以从以下几个方面理解、掌握。（1）抛物线定义还可叙述为“平面内与一定点和一条定直线的距离的比等于1的轨迹叫做抛物线。”（2）定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为；一个定点，叫做抛物线的焦点；一条定直线，叫做抛物线的准线；一个定值，即点与点的距离和它到直线的距离之比等于1.（3）定点不在定直线上，否则动点的轨迹不是抛物线，而是过点垂直于直线的一条直线，如：到点和到直线的距离相等的点的轨迹方程为，轨迹是一条直线。2.抛物线的四种标准方程和几何性质标准方程图形焦点坐标准线方程范围对称性轴轴轴轴顶点离心率对于抛物线的标准方程和性质理解时注意以下几点：（1）的几何意义：焦参数是焦点到准线的距离，所以恒为正数；（2）准线与坐标轴的交点与抛物线焦点关于原点对称。（3）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径。（4）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线。二、知识深度分析1.解读抛物线标准方程的结构特征由于抛物线的焦点与其准线存在着四种不同的位置关系，故其标准方程有四种形式：、。相同点：①抛物线都过原点；②准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上，且关于原点对称。它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即。不同点：①图形关于轴对称时，为一次项，为二次项；图形关于轴对称时，为一次项，为二次项。②开口方向在轴（或轴）正向时，焦点在轴（或轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在轴（或轴）负向时，焦点在轴（或轴）负半轴时，方程右端取负号。2.关于抛物线的几个结论设是过抛物线焦点的弦，过点的直线的倾斜角为，是抛物线上任意一点，则（1）以为直径的圆必与准线相切；（2）两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值。即；（3）焦半径（抛物线上一点与抛物线焦点的线段）为；（4）焦点弦；（5）焦点三角形面积为；（6）若点在抛物线或的内部（含焦点区域），则或；（7）当增大时，也增大，故抛物线只位于半个平面内，且无限延伸，但它不是双曲线的一支，不存在渐近线。三、方法总结1.抛物线的标准方程有四种情况，求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法，为避免开口不确定而讨论带来的麻烦，可设抛物线标准方程为或，若，则开口向右；若，则开口向左；若，则开口向上；若，则开口向下。2.抛物线定义的一个重要用途是用定义作转化，即将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，它是转化思想的具体体现，合理的转化往往会带来解题的简捷，避免解繁琐的方程组，起到事半功倍的作用。3.在研究抛物线问题时，应根据定形条件与定位条件，先画出抛物线的大致草图，然后结合方程具体研究，以避免因图形模糊而出现的差错。4.破解直线与抛物线位置关系思路是，联立直线与抛物线方程，消去一个变量得到关于另一个变量的一元二次方程，为避免繁杂运算，常用“设而不求”的方法，即先设出交点坐标，然后借助韦达定理去简化运算，但要保证交点的存在性（即）。5.在解决抛物线与其相交弦的中点、斜率、轨迹等相关问题时，可先设出弦的端点坐标（用参数表示），代入抛物线方程，所得两式相减后，再运用中点坐