《拋物线的简单几何性质》基础训练

9/9《拋物线的简单几何性质》基础训练一、选择题1.以轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（）A.B.C.或D.或2.已知点在抛物线上，若点到抛物线焦点的距离等于8，则焦点到抛物线准线的距离等于（）A.2B.1C.4D.83.设为抛物线的焦点，为抛物线上三点，若为的重心，则的值为（）A.1B.2C.3D.44.设是抛物线上两点，为原点，若，且的面积为16，则=（）A.B.C.D.5.直线与抛物线交于两点,若，则弦的中点到直线的距离等于（）A.B.C.D.6.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，则的值是（）A.B.C.D.7.已知拋物线的焦点为，过作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点，若，则（）A.B.C.D.8.已知双曲线的一条渐近线方程为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则常数的值为（）A.B.C.D.二、填空题9.抛物线与直线交于两点，是抛物线的焦点，则.10.在已知抛物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围为.三、解答题11.已知抛物线.（1）求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量的范围；（2）以坐标原点为顶点，作抛物线的内接等腰三角形，，若焦点是的重心，求的周长.12.已知抛物线过点.（1）求抛物线的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于（为坐标原点）的直线，使得直线与抛物线有公共点,且直线与的距离等于若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.13.如图，探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处.已知灯口圆的直径为60,灯深40，求拋物线的标准方程和焦点坐标.14.如图，已知直线交抛物线于两点，试在抛物线的这段曲线上求一点，使的面积最大，并求出这个最大面积.15.已知点在抛物线上运动，过点作轴的垂线段，垂足为.动点满足，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设直线，若经过点的直线与曲线相交于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论.参考答案一、选择题1.答案：C解析：设抛物线方程为或，由题意可得，所以其方程为或.2.答案：C解析：抛物线的准线方程为，因为为抛物线上的点，所以到焦点的距离等于它到准线的距离，所以，所以，所以焦点到抛物线准线的距离等于4,故选C.3.答案：C解析：依题意，设点,又焦点的坐标为，所以，则.4.答案：D解析：由，知拋物线上点关于轴对称，设则，解得.所以，，所以.5.答案：C解析：直线，即，故直线过抛物线的焦点.设，则，故，则弦的中点的横坐标是，弦的中点到直线的距离是.6.答案：D解析：设，则，则，过焦点，则有，，故选D.7.答案：C解析：由题意可知抛物线的焦点为，直线方程为，与抛物线方程联立消元得，解方程得所以.故选C.8.答案：D解析：双曲线的一条渐近线方程为，其右焦点坐标为抛物线的焦点坐标为，，解得.二、填空题9.答案：7解析：设，则.又，10.答案：解析：设关于直线对称，，即.设的中点为，则..三、解答题11.答案：见解析解析：（1）抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量的范围分别为轴，.（2）如图所示.由可知轴，设垂足为点，又焦点是的重心,则.因为，所以，所以，故设.代人，得，所以或.所以，所以，所以的周长为.12.答案：见解析解析：（1）将代入,得，故所求拋物线的方程为，其准线方程为.（2）存在.假设存在符合题意的直线，设其方程为，由得.因为直线与抛物线有公共点，所以，解得.由直线与直线的距离等于可得，解得.由于，所以.所以符合题意的直线存在，其方程为.13.答案：见解析解析：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系，使探照灯的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，轴垂直于灯口直径.设抛物线的标准方程为，由已知条件可得点的坐标是，且在抛物线上,代入方程，得，解得.故所求拋物线的标准方程为,焦点坐标是.14.答案：见解析解析：由解得.设点坐标为，为到直线的距离，的面积为.则，从而当时，.因此，当点坐标为时，的面积取得最大值，最大值为.15.答案：见解析解析：（1）设，