安徽省怀宁县高河中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题（解析）

第页，共页2025年春高河中学高一第一次月考数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.若复数z满足为虚数单位)，则为A.3+5i B.3－5i C.－3+5i D.－3－5i【答案】A【解析】【详解】【考点定位】本题考查复数的基本运算之一除法，其中涉及分母实数化，这是复数运算中的常考点2.在中，点D是线段AC上靠近A的一个三等分点，点E是线段AB的中点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意结合平面向量基本定理和向量的加减法法则求解即可【详解】因为在中，点D是线段AC上靠近A的一个三等分点，点E是线段AB的中点，所以，故选：A3.已知的三内角所对的边分别是，设向量，若，则的形状是（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用平面向量平行的条件得，再利用余弦定理可得边的关系，即可得解.【详解】由题意，向量，且，则，故，整理得到，故，故或，即或，故的形状为等腰或直角三角形.故选：D.4.已知向量，，且．则在方向上的投影向量的坐标是（）A. B. C. D.．【答案】A【解析】【分析】根据向量数量积的运算及向量的坐标运算可得数量积的值，再根据投影向量的运算公式求解即可得答案.【详解】因为，，则，所以，则，所以在方向上的投影向量为.故选：A.5.已知，，，则下列说法正确的是（）A. B.C.与的夹角为 D.【答案】D【解析】【分析】根据向量运算和向量夹角公式，向量模依次判断每个选项得到答案.详解】，故，故错误；，故错误；，故，故，错误；，故，正确.故选：.【点睛】本题考查了向量数量积，向量夹角，向量模，意在考查学生的计算能力.6.振风塔，坐落于安徽省安庆市迎江寺内，原名万佛塔，又名迎江寺塔，后取名“振风”，享有“万里长江第一塔”和“过了安庆不看塔”的盛誉．此塔挺拔秀丽，气势宏伟，共有七层，如图，为测量振风塔的高度，小刘取了从西到东相距104（单位：米）的A，B两个观测点，在A点测得振风塔在北偏东的点D处（A，B，D在同一水平面上），在B点测得振风塔在北偏西，楼顶C的仰角为，则振风塔的高度（单位：米）为（）A.26 B.52 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意结合直角三角形分析运算即可.【详解】由题意可得：（米），在中，可得，则（米），在中，可得为等腰直角三角形，即（米）.故选：B.7.黄鹤楼地处蛇山之㠌､濒临万里长江，是武汉市地标建筑.已知黄鹤楼的高度约为米，在其一侧有一座建筑物，在它们之间的地面上的点（三点共线）处，测得楼顶､楼顶的仰角分别为和，在楼顶处测得楼顶的仰角为.则地面上两点之间的距离约为（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】B【解析】【分析】利用两角差的余弦公式可得，由题意求出，结合正弦定理计算即可求解.【详解】由题意得，，在中，，，所以，又米，由正弦定理，得，解得米，所以米.故选：B.8.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记，则该坐标系中和两点间的距离为（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】结合所给定义计算出后，结合数量积公式计算即可得.【详解】由题意，，则，所以，所以.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题不正确是（）A.复数不可能是纯虚数B.若复数，则当且仅当时，为虚数C.若是纯虚数，则实数D.若，则复数为纯虚数【答案】ABC【解析】【分析】根据复数的分类条件，逐项判断即可.【详解】对于A，当，时，复数为纯虚数，故A错误；对于B，当，时，，为虚数，故B错误；对于C，当时，为实数，故C错误；对于D，当时，，为纯虚数，故D正确.故选：ABC.10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（）A.若A>B，则B.，则C.若，则定为直角三角形D.若且该三角形有两解，则b的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理，结合各选项条件逐项求解判断.【详解】对于A，在中，，A正确；对于B，由余弦定理得，即，而，解得，B错误；对于C，由余弦定理得，整理得，为直角三角形，C正确；对于D，有两解，则，而，因此，D正确.故选：ACD11.点在所在的平面内，则以下说法正确的有（）A.若，则点为的外心；B.若，则点为的内心；C.若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心；D.若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心．【答案】AB【解析】【分析】A、B，分别假设为的内心、外心，利用向量的几何图形中的关系，及向量的运算律和数量积判断条件是否成立即可；C由正弦定理知，且，代入已知等式得，即知的轨迹一定经过的哪种心；D由，根据数量积的运算律及向量数量积的几何意义求的值，即知的轨迹一定经过的哪种心；【详解】A：若为的外心，分别为的中点，则，而，同理，又，故，故A正确；B：若为的内心，如图示：，同理，，，所以，，故B正确；C：由正弦定理可设，而，所以，D为BC的中点，则，即动点的轨迹一定经过的重心，故C错误.D：由，故，即，动点的轨迹一定经过的垂心，故D错误.故选：AB第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，且，则与的夹角为__________.【答案】【解析】【分析】根据垂直关系可得，再代入夹角公式运算求解.【详解】因为，若，则，即，可得，则，且，所以与的夹角为.故答案为：.13.已知复数z满足，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】由复数的几何意义，数形结合得出的最小值并求出即可.【详解】如图：，则的几何意义是复平面内的动点到定点的距离等于，对应的轨迹为以为圆心，半径为的圆．的几何意义为动点到定点的距离，由图形可知：当点位于时，取的最小值，由，所以的最小值为：，故答案为：414.折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图其展开几何图是如图的扇形，其中，，4，点在上包含端点，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】利用转化法，结合向量数量积运算、三角函数值域等知识求得正确答案．【详解】设是的中点，连接，由于，所以三角形和三角形是等边三角形，则四边形是菱形，则，，由于，所以，所以，所以的取值范围是,故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量.（1）若，求的值；（2）若，求实数的值；（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）且【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长；（2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值；（3）根据向量夹角与数量积的关系求解即可.【小问1详解】因为向量，且，所以，解得，所以.【小问2详解】因为，且，所以，解得.【小问3详解】因为与的夹角是钝角，则且与不共线，即且，所以且.16.已知的内角的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）若的面积为，求的周长和外接圆的面积；【答案】（1）；（2）周长、外接圆面积分别为、.【解析】【分析】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式可得，再根据三角形内角的性质求角的大小；（2）由三角形面积公式有，应用余弦定理得，即可求周长，再由正弦定理求外接圆半径，进而求面积【小问1详解】由，由正弦定理得，从而有，，则，由；【小问2详解】因为，所以，由余弦定理得：，即，解得，所以周长为，设外接圆半径为R，由，得，所以外接圆面积.17.为丰富学生课余活动，体育组陈老师和学生们一起做游戏：陈老师站在处，让甲同学站在处北偏东方向，距离处km的处，并让站在处北偏西75°的方向，距离处2km的处的乙同学以km/h的速度去追甲同学．此时，甲同学正以10km/h的速度从处向北偏东30°方向奔跑，问乙同学沿什么方向能最快追上甲同学？【答案】沿北偏东60°方向能最快追上.【解析】【分析】根据题意作出示意图，利用正弦定理和余弦定理解三角形即可.【详解】如图，设乙同学需要用时在处追上甲同学，则，，在△ABC中，，，，由余弦定理，得，，由正弦定理可得，，则与正北方向成90°角．在中，,由正弦定理，得，,即乙同学沿北偏东60°方向能最快追上甲同学．18.在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求角B的值；（2）若，判断的形状；（3）若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围.【答案】（1）60°；（2）等边三角形；（3）.【解析】【分析】（1）将角化边进行化简，然后结合余弦定理求解即可；（2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简即可判断；（3）根据条件表示边，再利用三角形的面积公式即可求解面积的取值范围.【小问1详解】∵，∴由正弦定理得，即，即，即，由余弦定理得，∵，∴；【小问2详解】∵∴，∴，∴，∴为等边三角形.【小问3详解】因为,由正弦定理,得所以因为为锐角三角形,则,从而,所以.19.已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；（2）记向量的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数的取值范围.（3）已知为的相伴特征向量，，问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，点【解析】【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换整理运算，注意以整体代入；（2）结合题意整理可得恒成立，分类讨论结合参变分离分析运算；（3）根据题意可得，整理得，设点结合，整理运算．【小问1