河北省唐县第一中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题（解析版）

高二年级下学期中考试数学考试时间：120分钟考试分数：150分一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.计算的值是（）A.62 B.102 C.152 D.540【答案】A【解析】【分析】利用组合和排列数公式计算【详解】故选：A2.将编号为1，2，3，4，5的小球放入编号为1，2，3，4，5的小盒中，每个小盒放一个小球，要使得恰有2个小球与所在盒子编号相同，则有（）种不同的放球方法，A.60 B.40 C.30 D.20【答案】D【解析】【分析】利用分步乘法原理，分步求出恰有2个小球与所在盒子编号相同的方法总数即可得解.【详解】如果有2个小球与所在的盒子的编号相同，第一步：先从5个小球里选2个编号与所在的盒子相同，有种选法；第二步：不妨设选的是1、2号球，则再对后面的3，4，5进行排列，且3个小球的编号与盒子的编号都不相同，则有两种，所以有2个小球与所在的盒子的编号相同，共有种方法，故D正确.故选：D.3.的展开式中的系数为（）A. B. C.40 D.80【答案】B【解析】【分析】根据多项式乘法可求展开式中的系数.【详解】因为，故可以来自5个因式的2个因式提供，余下3个因式提供，或者5个因式的3个因式提供，余下1个因式提供，一个因式提供，故的系数为，故选：B.4.某校甲、乙、丙、丁4个小组到A，B，C这3个劳动实践基地参加实践活动，每个小组选择一个基地，则每个基地至少有1个小组的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据分组分配以及分步乘法技术原理即可求解个数,由古典概型概率公式求解即可.【详解】每个小组选择一个基地，所有的选择情况有种，每个基地至少有1个小组的情况有,故概率为，故选：C5.下列说法中正确的是（）①设随机变量X服从二项分布②已知随机变量X服从正态分布且，则③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则④．A.②③④ B.①②③ C.②③ D.①②【答案】B【解析】【分析】根据二项分布的概率公式判断①，根据正态分布的性质判断②，根据条件概率判断③，根据方差的性质判断④.【详解】对于①：随机变量服从二项分布，则，故①正确；对于②：随机变量服从正态分布且，则，故②正确；对于③：事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则，，所以，故③正确；对于④：，故④错误．故选：B6.小明参加户外植树活动，种植了A，B两种树苗各5棵，A种树苗的成活率为0.8，B种树苗的成活率为0.6，记A，B两种树苗最终成活的棵数分别为，，则（）注：设X，Y为两个随机变量，则有.A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】根据二项分布的期望性质直接计算即可.【详解】服从二项分布，.同理，，.故选：C.7.某学生进行投篮训练，采取积分制，有7次投篮机会，投中一次得1分，不中得0分，若连续投中两次则额外加1分，连续投中三次额外加2分，以此类推，连续投中七次额外加6分，假设该学生每次投中的概率是，且每次投中之间相互独立，则该学生在此次训练中恰好得7分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，分为连中4次，额外加3分，剩余3次不中、连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续和有两次连中两回，三类情况，结合独立重复试验的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.【详解】根据题意，该学生在此次训练中恰好得7分，可分为三类情况：①若连中4次，额外加3分，剩余3次不中，满足要求，此时将连中4次看作一个整体，与其他三次不中排序，共有种选择，故概率为，②若连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续，故两次不中之间可能为一次中，也可能是三次中，有以下情况：中中中（不中）中（不中）中，中（不中）中中中（不中）中，中（不中）中（不中）中中中，则概率为，③若有两次连中两回，中中（不中）中中（不中）中，中（不中）中中（不中）中中，中中（不中）中（不中）中中，满足要求，则概率为，综上，该生在比赛中恰好得7分的概率为.故选：B.8.甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】由三局两胜的比赛制度可得随机变量可能的取值为2和3，分别求出概率，列出分布列，利用离散型随机变量的期望公式计算求得的值．【详解】随机变量可能的取值为2，3．，，故的分布列为：23故，由，解得或．故选：D．二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分.在给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分.9.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A.若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种B.若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种C.若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种D.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种【答案】BD【解析】【分析】A选项，定序问题采用倍缩法进行求解；B选项，采用插空法进行求解；C选项，分两种情况，若最左端排乙，最左端不排乙，分别求出两种情况下的排法，相加即可；D选项，使用捆绑法进行求解；【详解】对于A，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排列有种情况，故A错误；对于B，先安排丙，丁，戊三人，有种情况，再将甲乙两人插空，则有种情况，故甲乙不相邻的排法种数为种情况，故B正确；对于C，若最左端排乙，此时其余四人可进行全排列，故有种；若最左端不排乙，则最左端只能从丙，丁，戊选出1人，又乙不能在最右端，则有种情况，则共有种站法，故C错误；对于D，将甲与乙捆绑，看做一个整体且固定顺序，再与其他三人站成一排，故有种，故D正确；故选：BD10.已知离散型随机变量的分布列如下表所示，下列说法正确的有（）012A B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由题意得，解得可判断A，代入离散型随机变量的期望与方差公式即可判断BCD．【详解】由题意可知，，解得或，当时，，不符合题意，舍去，，故A正确；，故B错误；当，1，2时，，1，4，，故C正确；，故D正确．故选：ACD．11.一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（）A.经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为B.若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1个的概率为C.经过6次试验后试验停止的概率为D.经过6次试验后试验停止的概率最大【答案】ABC【解析】【分析】对于A、B选项利用条件概率公式计算即可；对于C项，利用二项分布计算；对于D项，设实验次结束的概率为，令，由C项化简得，即得结果.【详解】记事件“一次实验硬币正面朝上”，则“一次实验硬币反面朝上”，则.从箱子中不放回地抽球，记“第次抽到白球”，记“第次抽到红球”，“第次硬币正面朝上且抽到白球”，“第次硬币正面朝上且抽到红球”，对于A项,，经过两次实验后，实验者手中恰好有2个白球的概率为：，故A正确；对于B项，已知第一次拿到白球，第二次拿到红球的概率为：,故B正确；对于C项，实验6次结束，则前5次有4次硬币正面朝上，第6次硬币正面朝上，故其概率为：，故C正确；对于D项，实验次结束的概率为，则，，令，得化简可得，解得，即，所以经过8次或9次实验后小球全部取出的概率最大，故D错误.故选：ABC【点睛】关键点睛：本题D选项的解决关键是理解试验停止时的条件，从而求得实验次结束的概率，利用作商法求得中的最大项，从而得解.三、填空题:本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．【答案】0.24##【解析】【分析】根据正态分布的对称性求解所求区间的概率即可.【详解】因为，所以，因此．故答案：0.24.13.已知能够被15整除，其中，则___________.【答案】14【解析】【分析】根据可得，则要使能够被15整除，只需能够被15整除即可，从而可得出答案.【详解】解：，所以，因为是的整数倍，所以能够被15整除，要使能够被15整除，只需要能够被15整除即可，因为，所以.故答案为：14.14.袋中装有5个相同的红球和2个相同的黑球，每次从中抽出1个球，抽取3次按不放回抽取，得到红球个数记为X，得到黑球的个数记为Y；按放回抽取，得到红球的个数记为.下列结论中正确的是_____________.①；②；③；④.【答案】①③④【解析】【分析】根据不放回抽取，确定红球个数的可能取值以及黑球个数为的可能取值，求出每个值对应的概率，即可求得，的期望和方差，判断①，②；按放回抽取，可知，求出其期望和方差，即可判断③，④.【详解】由题意抽取3次按不放回抽取，可得红球个数的可能取值为，黑球个数Y的可能取值为，则，，，，由，可得，，，故，所以，故①正确；，，所以，故②错误；抽取3次按放回抽取，每次抽取到红球的概率为，得到红球的个数记为，则，所以，，所以，，故③④正确.故答案为：①③④.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答过程应写到答题卡上，写在试卷上的无效.15.已知其中，，，，.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大.（1）求值及二项式系数最大项；（2）求（用数值作答）；（3）求的值（用数值作答）.【答案】（1）；（2）6561（3）3281【解析】【分析】（1）根据题意结合二项式系数最大时求出的值，再计算即可；（2）利用赋值法，令，求出即可；（3）利用赋值法，分别令和，得出两式，相加即可得.【小问1详解】因为展开式中仅有第5项的二项式系数最大，当为偶数时，仅有中间一项的二项式系数最大，即，所以，故.即，二项式系数最大项为第5项：；【小问2详解】令，得，所以.【小问3详解】令，得，令，得.两式相加可得.16.有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有大小、形状完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球；乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球．假设试验选到甲袋或乙袋的概率都是．（1）求从袋子中摸出红球的概率；（2）求在摸出白球的条件下，该球来自甲袋的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据全概率公式求解；（2）利用条件概率公式计算可得结果.【小问1详解】设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球"为事件，∵，∴，所以从袋子中摸出红球的概率为．【小问2详解】因为是对立事件，，又，所以，所以在摸出白球的条件下，该球来自甲袋的概率为.17.抽屉里装有5双型号相同的手套，其中2双是非一次性手套，3双是一次性手套，每次使用手套时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性手套或都为非一次性手套），若取出的是一次性手套，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性手套，则使用后经过清洗再次放入抽屉中.（1）求在第2次取出的是非一次性手套的条件下，第1次取出的是一次性手套的概率;（2）记取了3次后，取出的一次性手套的双数为X，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，1.606【解析】【分析】（1）根据条件概率的计算公式，分别求出对应事件的概率，代入计算即可；（2）根据题意，计算离散型随机变量的概率，得出分布列，计算期望即可.【小问1详解】设“第1次取出的是一次性手套”为事件A，“第2次取出的是非一次性手套”为事件B，则，，所以在第2次取出的是非一次性手套的前提下，第1次取出的是一次性手套的概率为.【小问2详解】记取出的一次性手套的双数为，则，，，则，则X的分布列为：0123数学期望18.从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人.（1）从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；（2）若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1）分布列见解析，期望1.2（2）分布列见解析，1.2【解析】【分析】（1）由题可知服从超几何分布，的取值为0，1，2，3.则易求的分布列和数学期望；（2）由题意可知服从二项分布，且，计算即可求得随机变量的分布列和数学期望.【小问1详解】由题意知，的值为，