江苏省镇江市实验高级中学2024-2025学年高二下学期4月考试数学试题（解析）

第页，共页镇江市实验高中2024-2025学年第二学期4月考试高二数学试卷一、单选题1.某校高三年级共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考试结束后，学校采用按性别分层随机抽样的方法抽取容量为的样本，已知样本中男生比女生人数多8人，则（）A.20 B.30 C.40 D.48【答案】C【解析】【分析】利用分层抽样性质直接求解.【详解】根据分层抽样的性质可知，样本中男生人数为：，样本中女生人数为：，由题意，所以，所以.故选：C2.下列求导运算结果不正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用初等函数的导数公式以及导数的运算法则求解可判断每个选项的正误.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D正确.故选：A.3.某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是（）A. B.评分的众数估值为70C.评分的第25百分位数估值为67.5 D.评分的平均数估值为76【答案】C【解析】【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出，再根据平均数、百分位数及众数的计算规则计算可得.【详解】由题意：，解得，A错误，所以平均数为，故D错误；众数为，故B错误；因为，第百分位数估计为，故C正确；故选：C4.袜子由袜口､袜筒､脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为（）A.12 B.24 C.36 D.48【答案】C【解析】【分析】根据袜口和脚趾颜色是否相同进行分类讨论，由此求得正确答案.【详解】若袜口和脚趾颜色相同，则有种，若袜口和脚趾颜色不同，则有种，共有种．故选:C5.已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等建立关于的方程，求出；再利用二项式系数的性质即可求解.【详解】因为的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，所以，解得：.所以奇数项的二项式系数和为.故选：A.6.已知函数有2个实数解，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得，求得函数的单调性得到，转化为函数和的图象有2个公共点，结合图象，即可求解.【详解】由题意，，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，当时，可得，当所以函数的图象如图所示，函数和的图象有2个公共点，结合图象可得实数的取值范围.故选：B.7.设，则中最大的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，得展开式各项的系数与二项式系数相等或互为相反数，再利用二式系数的性质，即可求解.【详解】因为展开式的通项公式为，所以展开式各项的系数与二项式系数相等或互为相反数，又由二项式系数的性质知，二项式系数最大的项为第五、第六项，即，，所以中最大的是.故选：B.8.已知函数，若，使成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先研究函数是奇函数，再求导，用均值不等式和余弦函数特点，知道函数在整个取值范围递增.利用奇函数性质变成，结合单调性得出.参变分离，转化为求的最值即可.【详解】因为，所以为奇函数，又，故在上单调递增，由，得，所以，若，，即，只需，令，由对勾函数的性质可知在上单调递增，故，故.故选：D.二、多选题9.下列命题正确的有（）A.回归直线过样本点中心，且至少过一个样本点B.两个变量相关性越强，则相关系数r越接近1C.将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数，则其方差不变D.将9个数的一组数去掉一个最小和一个最大数，则中位数不变【答案】CD【解析】【分析】由回归直线的性质可判断A；由相关系数的性质可判断B；由方差的性质可判断C；由中位数的算法可判断D.【详解】对于A：回归直线恒过样本点的中心，可以不过任一个样本点，故A错误；对于B：两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近1，故B错误；对于C：将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，数据的波动性不变，方差不变，故C正确；对于D：由中位数的算法可知，将9个数的一组数去掉一个最小和一个最大数，则中位数不变，故D正确.故答案为：CD.10.对函数的描述正确的有（）A.的对称中心为B.若关于的方程有三解，则C.若在上有极小值，则D.若在上的最大值、最小值分别为、，则【答案】ABD【解析】【分析】利用函数对称性的定义可判断A选项；利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断B选项；利用函数的极值与导数的关系可判断C选项；分析可知，，，将两个等式相加，化简变形后可判断D选项.【详解】对于A选项，函数的定义域为，，所以，的对称中心为，A对；对于B选项，，则，由可得，列表如下：增极大值减极小值增如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，因此，实数的取值范围是，B对；对于C选项，若在上有极小值，则，C错；对于D选项，函数的增区间为、，减区间为，当时，；当时，；当时，.因为在上的最大值、最小值分别为、，则必有，，所以，，上述两个等式相加得，因为，，则，，，则，故，D对.故选：ABD.11.若，则下列说法正确的是（）A.展开式中奇数项的二项式系数之和为B.C.D.除以10的余数为9【答案】BC【解析】【分析】由二项展开式二项式系数之和的性质判断A；利用赋值法判断B；利用展开式通项公式判断C；利用构造二项式的展开式来解决整除和余数问题判断D.【详解】的展开式中奇数项的二项式系数之和为，故A错误；令，可得，令，，则，故B正确；，故C正确；，故除以10的余数为1，故D错误.故选：BC三、填空题12.已知一组数据1，3，5，的平均数为4，则这组数据的标准差为______.【答案】【解析】【分析】根据平均数列方程求出的值，再结合标准差的定义即可求解.【详解】由题知，解得.所以这组数据的标准差为.故答案为：.13.已知函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】求导确定单调区间，求得极值点，结合区间构造不等式求解即可.【详解】由，可知，，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，存在唯一极值点2，所以，解得：，又，所以，所以实数的取值范围是.故答案为：14.若，则正整数的值为_________．【答案】5或7【解析】【分析】由组合数的性质得到，列出方程，求出答案.【详解】由组合数性质：，可得，则，所以或，解得或.故答案为：5或7四、解答题15.将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.（1）有多少种放法？（2）每盒至多一球，有多少种放法？（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？（4）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？【答案】（1）256(种)（2）24(种)（3）144(种)（4）12(种)【解析】【分析】（1）由分步乘法计数原理求解即可；（2）根据排列的定义求解即可；（3）（方法1）先将4个小球分为三组，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，结合排列组合知识求解；（方法2）利用捆绑法结合排列组合知识求解；（4）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个结合组合知识求解；（方法2）根据隔板法求解.【小问1详解】每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法.【小问2详解】这是全排列问题，共有(种)放法.【小问3详解】（方法1）先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有种投放方法，故共有(种)放法.（方法2）先取4个球中的两个“捆”在一起，有种选法，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法，所以共有(种)放法【小问4详解】（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有(种)放法.（方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法，由分步计数原理得，共有(种)放法.16.若.求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【解析】【分析】（1）（2）（3）（4）（5）利用赋值法计算求值即可；【小问1详解】解：令，得；【小问2详解】解：令，得；【小问3详解】解：由（2）知，①令，得，②①②得，；【小问4详解】解：①②得，；【小问5详解】解：令，得，故；17.已知，．（1）当，时，求的展开式中含的项；（2）若的展开式中，倒数第2，3，4项的系数成等差数列，求的展开式中系数最大的项．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先求出的展开式，再根据多项式乘法求出的展开式中含的项；（2）根据的展开式中，倒数第2，3，4项的系数成等差数列求出，设的展开式中系数最大的项为第项，建立不等式即可求解.【详解】（1）当，时，，，则的展开式中含的项为，所以的展开式中含的项为．（2）在的展开式中，倒数第2，3，4项的系数分别为，，，所以，整理得，解得或．又，，所以．设的展开式中系数最大的项为第项，则，解得．又，所以，所以的展开式中系数最大的项为．18.2025年春晚最火的节目无疑是机器人扭秧歌．其中表演的机器人出自宇树科技，宇树科技是一家专注于高性能四足机器人研发和生产的中国科技公司．该公司以其创新的四足机器人在全球范围内广受关注，主要应用于教育、科研、娱乐和工业等领域，其中四大产品之一的机器人UnitreeA1具备较强的负载能里和环境适应性，可用于巡检与监控、物流和运用、安防与救援．现统计出机器人UnitreeA1在某地区2024年2月到6月的销售量如下表所示：月份23456销量425366109用最小二乘法得到UnitreeA1的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销量的方差．（1）求的值(结果精确到0.1)；（2）求的值，并根据（1）的结果计算5月销售量的残差．附：回归系数，相关系数．【答案】（1）（2）；残差为【解析】【分析】（1）根据题中数据可得，，，代入即可求的值；（2）根据线性回归方程必过样本中心点求的值，令，可得，即可得残差.【小问1详解】由表可得：，，因为，可得，又因为，可得，所以.【小问2详解】由表可知：，由（1）可知回归直线方程为，且，则，解得，此时，，可得，符合题意，所以，对于回归直线方程，令，可得，所以5月销售量的残差.19.已知函数．（1）若，求曲线在处切线方程；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出函数在某点的导数，该导数就是曲线在该点处切线的斜